上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

这是一份上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了01，98与大于10，706，841，635，879，； 2等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．函数的定义域是________．
2．设集合，，若，则________．
3．在的展开式中，项的系数为________．
4．若（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则________．
5．的内角，，对边分别是，，．若，，，则________．
6．记为等差数列的前项和．若，，则________．
7．已知函数的最小值为5，则________．
8．已知是偶函数，则________．
9．将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．
10．某校高二有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为________．
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆．这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为________．
12．已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是________．
二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）条件．
A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
14．某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
15．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．3
16．已知数列满足，有如下两个命题：
命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”；
命题：“是严格增数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”．
则下列说法中正确的是（ ）
A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题
C．和都是真命题 D．和都是假命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知的最小正周期为．
（1）求的值以及函数的单调减区间；
（2）函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的大小．
19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图．
（1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将上图的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关．
（2）将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望．
附：（其中）．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点间的距离2转动杆一周的过程中始终有，点在线段的延长线上，且．
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；过点的直线与交于两点．记直线，的斜率分别为．证明：为定值；
（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，，设，
．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点；
（3）证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围．
科技知识达人
非科技知识达人
合计
男生
15
女生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆．这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为________．
【答案】
【解析】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，设，由，
可得，整理得．
所以动点的轨迹为以为圆心，4为半径的圆的一部分，
设圆与线段交于点，与线段交于点，在中，，
则，故
12．已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是________．
【答案】
【解析】令因为，故，平面向量在方向上的投影分别为，设
则：
从而：，故
由柯西不等式可得
化简得，当且仅当
即时取等号，故的最小值为．
二、选择题
13.B； 14.D； 15.B； 16.A
15.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】根据题意可知
∴点到直线的距离为故选：B
三、解答题
17.（1） （2） （3）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）列联表如下：
有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关。
（2）的分布列：
20.17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点间的距离2转动杆一周的过程中始终有，点在线段的延长线上，且．
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点．记直线，的斜率分别为．
（i）证明：为定值；
（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围．
【答案】（1） （2）（i）见解析 （ii）
【解析】（1）因为，所以
即点的轨迹是以为焦点的椭圆，设方程为，
则，解得，故点的轨迹的方程为.；
（2）证明：设直线与椭圆的交点坐标为，
①设直线斜率存在时，如图1，
联立，化简得，显然恒成立，所以，
则，，
又，所以，
所以
，所以，即为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图2，
显然，可得：即，
综上所述：为定值．
（ii）由题，
所以，由（i）可知：，
设，即，则，可得
又，所以，所以，则，
又直线的斜率存在，所以，所以综上：．
21.（1） （2） （3）科技知识达人
非科技知识达人
合计
男生
15
35
50
女生
5
45
50
合计
20
80
100a
0
1
2
3