初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）19.2 二次根式的乘法与除法第3课时教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）19.2 二次根式的乘法与除法第3课时教案及反思，共9页。教案主要包含了设计意图，师生活动，思维导图参考等内容，欢迎下载使用。
理解最简二次根式的概念，能灵活应用二次根式的性质和乘、除法法则进行化简运算，培养良好的运算习惯，提升运算能力．
教学重点
最简二次根式的概念；二次根式的化简．
教学难点
把二次根式化成最简二次根式．
教学过程
知识回顾
1．二次根式的乘法法则：(a≥0，b≥0)．
二次根式乘法法则的逆用：(a≥0，b≥0)．
2．二次根式的除法法则：(a≥0，b＞0)．
二次根式除法法则的逆用：(a≥0，b＞0)．
【设计意图】复习已学过的二次根式的乘、除法法则，为引出本节课的新知作铺垫．
新知探究
【问题1】在前面的学习中，我们进行了二次根式的乘法、除法运算，得到的结果有，，，，等，观察这些式子中的二次根式，它们有什么特点？
【师生活动】教师引导学生观察这些式子的被开方数的特征，学生自主观察，尝试总结，学生代表分享想法，师生共同提炼出被开方数的两个共性特点：不含分母，且不能再进行开方．学生在学习任务单上进行记录．
【新知】（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式．
【提醒】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．将一个二次根式化简实际上就是将它化成最简二次根式的形式．
【设计意图】以前面学习中的运算结果为素材，引导学生自主观察、归纳被开方数的特征，自然建构“最简二次根式”的核心概念，明确二次根式运算结果化简的基本要求，培养学生的抽象概括能力和规范表达意识.
例题精讲
【例1】下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由并化简为最简二次根式．
（1）； （2） （3）；
（4）； （5） （6）．
【师生活动】学生在学习任务单上独立完成，随后同桌之间互相交流判断结果与理由，教师巡视指导，并进行集中讲解，同步板书化简步骤与理由，帮助学生明确判断依据与化简方向．
【答案】解：（1）是最简二次根式；
（2）不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．；
（3）不是最简二次根式，因为被开方数中含能开得尽平方的因数16．
；
（4）是最简二次根式；
（5）不是最简二次根式，因为被开方数中含能开得尽平方的因式(a＋3)2．
；
（6）不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．．
【设计意图】通过例题，帮助学生巩固对最简二次根式概念的理解．
【例2】计算：
（1）； （2）； （3）．
【师生活动】学生在学习任务单上独立完成第（1）题，教师巡视指导，选择有代表性的解题方法（用法则转化为商的算术平方根再进行计算、分母有理化），请学生代表进行分享，师生共同总结出两种常见的去掉分母中根号的方法．学生继续完成第（2）、（3）题，教师讲解．
【答案】解：（1）解法一：；
解法二：；
（2）；
（3）．
【归纳】把一个二次根式化成最简二次根式，一般有以下两种情况：
（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以利用分数或分式的性质，以及商的算术平方根的性质进行化简，如；也可以利用商的算术平方根的性质以及分母有理化，使分母中不含二次根式，比如．
（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后把开得尽平方的因数或因式开出来，从而将式子化简．
【设计意图】通过展示并对比不同解法，帮助学生掌握去除分母中根号的方法，体会解法的多样性，提升运算策略与运算能力.
【例3】现在来看引言中的问题．
广播电视塔高h（单位：km）与广播电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r＝，其中R是地球半径，R≈6 400 km．那么，广播电视节目信号的传播半径之比，与广播电视塔的高度之比有怎样的关系呢？如果广播电视塔高h增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r是否也会增加到相应的倍数呢？
【师生活动】回顾章引言的情境和问题，学生借助已学知识在学习任务单上进行解答，教师请学生代表分享推导过程，重点强调“可约去，最后求出的传播半径之比与地球半径无关”．
【答案】解：设两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km．
由题意可知，它们的传播半径分别为km，km，
所以它们的传播半径之比是．
可以看出，这个比与地球半径无关．这样，只要知道h1，h2，就可以求出广播电视节目信号的传播半径的比值．
【设计意图】呼应章引言提出的问题，引导学生经历“实际问题→数学建模→运算化简→结论分析”的完整过程，切实体会数学知识在现实情境中的应用价值，提升运算能力和应用意识．
课堂练习
1．化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
2．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3．一个长方体的体积V＝，高h＝，求它的底面积S．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
解：．
答：这个长方体的底面积为．
【设计意图】通过练习，帮助学生进一步掌握运算法则，强化“被开方数不含分母、不含能开得尽平方的因数（因式）”的化简标准，提升学生的运算能力，为后续二次根式的加、减法运算奠定基础．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．最简二次根式有哪些特点？
2．如何将一个二次根式化简为最简二次根式？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
教材第11～12页习题19.2第4，8，9题．