人教版（2024）八年级下册（2024）19.2 二次根式的乘法与除法练习题

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）19.2 二次根式的乘法与除法练习题，共7页。
【解析版】

知识荟萃 "fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.2 二次根式的乘法与除法（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）解析版 初中数学人教版（2024）八年级下册.dcx" \l "_Tc4605" PAGEREF _Tc4605 \h 1
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题型讲练 "fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.2 二次根式的乘法与除法（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）解析版 初中数学人教版（2024）八年级下册.dcx" \l "_Tc1613" PAGEREF _Tc1613 \h 3
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中考真题 "fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.2 二次根式的乘法与除法（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）解析版 初中数学人教版（2024）八年级下册.dcx" \l "_Tc22629" PAGEREF _Tc22629 \h 9
分层训练 "fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.2 二次根式的乘法与除法（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）解析版 初中数学人教版（2024）八年级下册.dcx" \l "_Tc3032" PAGEREF _Tc3032 \h 13
"fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.2 二次根式的乘法与除法（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）解析版 初中数学人教版（2024）八年级下册.dcx" \l "_Tc1468" 基础夯实 PAGEREF _Tc1468 \h 13
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知识点梳理01：二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用
1.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
2.二次根式的乘法法则的逆用的推广
知识点梳理03：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
【易错点拨】
a≥0，b＞0时，才有意义；
如果被开方数时带分数，应先化成假分数
知识点梳理04：最简二次根式的概念
1.最简二次根式的概念
被开方数不含分母
被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.化简二次根式的一般方法
3.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。

题型1：二次根式的乘法
【典例精讲】（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【规范解答】解：，
故答案为：．
【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【规范解答】解：∵，，
∴，
故选：D．
【变式训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算： ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则计算即可．
【规范解答】解：，
故答案为：．
题型2：二次根式的除法
【典例精讲】（2025·上海浦东新·三模）已知函数，那么
【答案】3
【思路点拨】本题考查求函数值，二次根式的运算，把代入函数表达式，进行计算即可．
【规范解答】解：∵，
∴；
故答案为：3
【变式训练1】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）计算的结果是（ ）
A．B．4C．3D．
【答案】A
【思路点拨】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
根据二次根式的除法法则计算即可．
【规范解答】解：．
故选：A．
【变式训练2】（24-25八年级下·天津静海·月考）计算： ．
【答案】
【思路点拨】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则．
根据二次根式的除法法则进行计算即可．
【规范解答】解：



故答案为：
题型3：二次根式的乘除混合运算
【典例精讲】（24-25八年级下·上海·月考）计算：
【答案】
【思路点拨】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【规范解答】解：由题意可得，，，
∵，
∴，
∴



．
【变式训练1】（2024·广东茂名·一模）计算： ．
【答案】
【思路点拨】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的运算法则计算即可．
【规范解答】解：，
故答案为：．
【变式训练2】（24-25八年级下·广东茂名·月考）计算： ．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
同级运算从左向右进行计算即可．
【规范解答】解：，
故答案为：．
题型4：最简二次根式的判断
【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了二次根式的化简，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键．
根据最简二次根式的定义求解即可．
【规范解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路点拨】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；根据最简二次根式的定义，被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可．
【规范解答】解：∵最简二次根式需满足被开方数为整数且无开得尽方的因数，
对于A：，被开方数6为整数，且无平方因数，∴为最简二次根式；
对于B：，被开方数含分母，不是整数，∴不是最简二次根式；
对于C：，被开方数含平方因数4，∴不是最简二次根式；
对于D：，被开方数9为平方数，可开尽，∴不是最简二次根式；
故选A．
【变式训练2】（23-24八年级下·全国·期中）下列说法中正确的是 ．（填序号）
①若，则等于；
②使是正整数的最小整数n是3；
③是最简二次根式；
④计算的结果是1．
【答案】②④/④②
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．
利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案．
【规范解答】解：①∵，
∴，故①错误；
②是正整数的最小整数，
∴n是3，故②正确；
③，不是最简二次根式，故③错误；
④，故④正确．
故答案为：②④
题型5：化为最简二次根式
【典例精讲】（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可．
【规范解答】解：．
故答案为：
【变式训练1】（24-25八年级下·福建福州·期中）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查最简二次根式的识别，解题的关键是掌握：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此判断即可．
【规范解答】解：A．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故此选项符合题意；
C．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练2】（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）下列二次根式中不能再化简的二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
【规范解答】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、是不能再化简的二次根式，本选项符合题意；
故选：D．
题型6：已知最简二次根式求参数
【典例精讲】（24-25八年级下·广东汕尾·期末）已知与是同类二次根式，则的最小整数值为 ．
【答案】3
【思路点拨】本题考查同类二次根式．根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式”，先将化简为，根据被开方数相同，即可求解．
【规范解答】解：∵与是同类二次根式，
∴，
∴的最小整数值为3，
故答案为：3．
【变式训练1】（24-25八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ．
【答案】3
【思路点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可．
【规范解答】解：∵，
∴，
∵是最简二次根式，且为整数，
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
故答案为：3．
【变式训练2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值： ，使是最简二次根式．
【答案】（答案不唯一）
【思路点拨】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【规范解答】解：∵是最简二次根式，
∴或或等，
∴或或等，
故答案为：（答案不唯一）．

1．（2024·陕西西安·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】此题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出可得结论．
【规范解答】解：如图，设，交于点,
四边形是平行四边形，，相交于点O，，，
，，，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
2．（2024·全国·中考真题）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【规范解答】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
3．（2024·山东烟台·中考真题）计算的结果为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键．
先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可．
【规范解答】解：原式，
，
，
．
故答案为：．
4．（2024·福建厦门·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边上的动点，且，是线段上的动点，连接．若取最小值，则线段的长为 ．

【答案】
【思路点拨】本题考查的是矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作关于的对称点，连接，可得当共线，且时，，此时最小，证明四边形为矩形，可得，进一步可得答案．
【规范解答】解：如图，作关于的对称点，连接，

∴，
当共线，且时，
，此时最小，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由对称可得：，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴；
故答案为：．
5．（2024·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________；
(2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值．
【答案】(1)2；
(2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4
【思路点拨】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键．
（1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得；
（2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得．
【规范解答】（1）解：当时，则，
∵，
∴，
∴（当且仅当时取等号），
∴当时，的最小值为2．
当时，则，
∵，
∴（当且仅当时取等号），
∴，
∴当时，的最大值为．
故答案为：2；．
（2）解：，
当时，则，
∵，
∴（当且仅当时取等号），
∴（当且仅当时取等号），
∴（当且仅当时取等号），
由得：，解得或（不符合题意，舍去），
经检验，是方程的解，
所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4．

基础夯实
1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数．
【规范解答】解：A． = = ，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B．被开方数含分母，不是最简二次根式；
C． = ，可完全开方，不是最简二次根式；
D． 被开方数为质数，无分母和能开得尽方的因数，是最简二次根式．
故选：D．
2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项．
【规范解答】解： A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意；
C、被开方数为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意；
D、 ，含能开方的因数，不是最简，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可．
【规范解答】解：A．，故A选项不符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意；
C．，故C选项符合题意；
D．，故D选项不符合题意．
故选：C．
4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则， ，直接计算即可．
【规范解答】解：，其中已是最简二次根式，
故答案为：．
5．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数．
【规范解答】解：取，则，是有理数，满足条件．
故答案为．
6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ．
【答案】 1 2
【思路点拨】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可．
【规范解答】解：∵和都是最简二次根式，
∴，
解得，
故答案为：1；2．
7．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，分别是，的中点，，，则 ．
‍
【答案】
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
设，，由勾股定理得，整理得，然后根据即可求解．
【规范解答】解：设，，
∵，分别是，的中点，
∴．
由勾股定理得
，得，
则，
‍．
故答案为：．
8．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形．

(1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ；
(2)求留下部分的面积．
【答案】(1)，
(2)留下部分的面积为
【思路点拨】本题主要考查了算术平方根．
根据算术平方根的定义和正方形的面积求出正方形的边长；
根据两个正方形的边长可知留下矩形的长为，宽为，根据长方形的面积公式即可求出结果．
【规范解答】（1）解：较大正方形的面积是，
较大正方形的边长是；
较小正方形的面积是，
较小正方形的边长是；
故答案为：，；
（2）解：由可知裁去的较大正方形的边长为，较小正方形的边长为，
留下矩形的长为，宽为，
留下部分的面积，
答：留下部分的面积为．
9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算：
【答案】2
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的除法，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则，先计算二次根式的除法，再算零指数幂和负整数指数幂，最后算加减即可．
【规范解答】解：

．
10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算：．
【答案】2
【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的乘法，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，按运算顺序应用各运算法则进行计算即可得答案．
【规范解答】解：原式
．
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11．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的化简和运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则和运算法则．
通过计算每个等式的左右两边，判断是否相等．
【规范解答】解：对于选项A：，该选项不成立；
对于选项B：，，
∴左边=右边，该选项成立；
对于选项C：，，
，该选项不成立；
对于选项D：，
，该选项不成立；
故选：B．
12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母．
【规范解答】解：A. ，该选项不是最简二次根式；
B. ，该选项不是最简二次根式；
C. ，该选项不是最简二次根式；
D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式；
故选：D．
13．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
【规范解答】解：A、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
14．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）平行四边形的面积是12，M，N分别是的中点，P是直线上一点且，若，，则 ．
【答案】或
【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先根据平行四边形的面积计算公式求出；再分点P在点C左侧和点P在点C右侧两种情况，延长交于F，证明，得到，；求出的长，进而求出的长即可得到答案。
【规范解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
如图所示，当点P在点C左侧时，延长交于F，

∵，
∴；
∵，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∴，；
∵点N为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在点C右侧时，延长交于F，

∵，
∴；
∵，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∴，；
∵点N为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或。
15．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图（1）是一把折叠桌实物图，支架与交于点，．如图（2）是桌子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），桌面与地面水平线平行，，．那么展开后桌子的高度约为 ．

【答案】
【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求得 ，再根据勾股定理求得完全打开时的高度，即可求解．
【规范解答】解：如图所示，过点作于点，

∵ ，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，，即
∴，
∴ ，
∴在中，，
∴展开后桌子的高度约为．
故答案为：.
16．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是 ．

【答案】
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在中，由勾股定理可求出的长，则可求出的长，在中，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【规范解答】解：由题意得，，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，，
∴，
∴梯子的顶端向上滑动的距离是，
故答案为：．
17．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，矩形中，点H，F分别在边上，连接，将沿折叠，点D恰好落在线段上的点E处，同时将沿折叠，点B恰好落在线段上的点G处．连接，若，则 ， ．

【答案】 10
【思路点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，设，由折叠的性质可得，即可得，解得，故；由折叠的性质可得，即得，设，可得，解得，即，再由勾股定理得FG．
【规范解答】解：设，
由折叠的性质可得，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
设，则，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴FG；
故答案为：10，．
18．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点．

(1)若，则的度数为_____．
(2)求证：．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【思路点拨】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出；
（2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出；
（3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可．
【规范解答】（1）解： ∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴；
（2）证明：设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过C作于E，

∵，
∴由（2）得，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
19．（24-25八年级下·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【思路点拨】本题考查了二次根式性质，二次根式除法，二次根式乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）根据二次根式性质，二次根式除法法则化简，然后合并即可；
（）通过二次根式性质，平方差公式，二次根式乘法法则进行运算即可．
【规范解答】（1）解：



；
（2）解：



．
20．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．（结果保留根号）

(1)求处的游船到岸边的距离（即的长）；
(2)为了让游船靠岸，工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，求游船向岸边移动的距离．
【答案】(1)米
(2)米
【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
（1）在中，利用勾股定理计算出长；
（2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【规范解答】（1）解：在中，，米，米，
（米），
即处的游船到岸边的距离为米．
（2）解：工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，
（米），
在中，（米），
米，
即游船向岸边移动的距离为米．
方法
举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成分数
若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）