河南省郑州市第九十六中学八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版）

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一．选择题（每题3分，共10小题，满分30分）
1. 在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A. 5个B. 4个C. 3个D. 1个
2. 最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （ ）

A. B. C. D.
3. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
4. 三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A. 三条角平分线的交点
B. 三边中线的交点
C. 三边上高所在直线的交点
D. 三边的垂直平分线的交点
5. 用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A. 直角三角形的每个锐角都小于45°
B. 直角三角形有一个锐角大于45°
C. 直角三角形的每个锐角都大于45°
D. 直角三角形有一个锐角小于45°
6. 在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知不等式的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A. ﹣3B. ﹣2C. 2D. 3
8. 如图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形，若，则点到的距离为（ ）
A. B. C. 2D. 4
9. 在直角坐标平面内，一次函数图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. 方程 的解是
C. 当时，D. 不等式 的解集是
10. 如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为点B，点P是射线上一动点，点M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
二．填空题（每题3分，共5小题，满分15分）
11. 在中，已知的度数之比是，求________．
12. 某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
13. 若等腰三角形一腰上高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_____°．
14. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于的不等式的解集是_______．
15. 如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点，连接、、、，有如下结论： ①； ②； ③平分；④.其中正确的结论有_____（填序号）
三．解答题（共七道大题，满分75分）
16. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．
（1）
（2）
17. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
18. 如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．
19. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）在不等式①2x－1＜0，②x≤2，③x－（3x－1）＜－5中，不等式x≥2的“云不等式”是 _________ ；（填序号）
（2）若关于x的不等式x＋2m≥0不是2x－3＜x＋m的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠－1，关于x的不等式x＋3≥a与不等式ax－1＜a－x互为“云不等式”，求a的取值范围．
20. 洛邑古城是洛阳文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验，某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲乙两个汉服体验店租用单价分别是60元/件、80元/件，清明节期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下：
甲汉服体验店：按原价八折进行优惠；
乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分可按得以原价的五折进行优惠；
设该旅行团需要租用件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元．
（1）请分别求出关于的函数关系式；
（2）若该旅行团租用30件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？
21. 如图，中，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的周长．
（2）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动． 当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
（3）直接写出当为何值时，为等腰三角形？
22. 【问题初探】
（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．
①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到．
②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，D是边中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系．