河南省漯河市召陵区八年级上学期1月期末数学试题（解析版）-

这是一份河南省漯河市召陵区八年级上学期1月期末数学试题（解析版）-，共10页。
1．本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分．
2．本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器．本试卷分试题卷和答题卡两部分．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 近日，央视公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”．下列图案是部分生肖剪纸图案，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，单项式乘单项式，幂的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解决此题的关键．利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：、，故不符合题意；
，故不符合题意；
、，故符合题意；
，故不符合题意；
故选：．
3. 下列说法正确的个数有（ ）
① 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
② 直角三角形只有一条高
③ 三角形的高至少有一条在三角形内
④ 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解．
【详解】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；
②直角三角形有三条高，故错误；
③ 三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；
④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误；
故选A．
【点睛】本题考查三角形的中线、角平分线和高，解题的关键是清楚这三条线的定义和在三角形中的位置．
4. 下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项正确；
B、是整式的乘法，此项错误；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项错误；
D、是整式的乘法，此项错误，
故选：A．
5. 如图1，漯河大桥是漯河市的第一座跨河大桥，这座桥不仅是城市发展的见证者，也是漯河一道独特的风景和市民情感的牵绊．其侧面示意图如图2所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定条件，逐一进行判断即可．
【详解】解：由题意，可知：，；
∴当添加时，不能判定；故选项A符合题意；
当，利用可以判定；故选项B不符合题意；
当时，利用可以判定；故选项C不符合题意；
当时，利用可以判定；故选项D不符合题意；
故选：A．
6. 如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质；根据等边三角形三线合一的性质可得，由及即可求得的长．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：C．
7. 受降亭是中国历史上一个重要的纪念性建筑，它是为了纪念抗日战争胜利后日军在中国的投降仪式而建立的．如图，某亭子的地基平面图是一个正五边形，记为正五边形，连接和，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正五边形的一个内角的度数，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
8. “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过的速度是通过的1.3倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，利用小刚共用时10秒通过，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，
∴，
故选A
9. 两个边长为的大正方形与两个边长为的小正方形按如图所示放置，如果，阴影部分的面积是60，那么（ ）
A. 44B. 46C. 50D. 53
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键．
由图可得阴影部分面积为个直角三角形面积的和，用含、的式子表示出阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∴，
，
∴，
解得：．
故选：A ．
10. 如图，三角形中，于，于，且，与相交于点，下列结论中：①；②；③；④若平分，则，正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由角边角证明，其性质得，结论①，③正确；由垂直的定义和四边形的内角和等于求出，证明结论②正确；由角平分线概念，线段等量代换综合证明，结论④正确，进而即可得解．
【详解】解：，，
，，
，，
在和中，
，
，
结论①，③正确；
，，
，
结论②正确，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
结论正确；
综合所述，正确的结论有4个，
故选：．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分等相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 古语有云：“滴水穿石”若水珠不断滴在一块石头上，经过年，石头上会形成一个深为的小洞，数据用科学记数法表示为：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是_____．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：、满足，
，，
，，
为三角形的三边长，
，即，
第三边长可能是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
13. 将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式．首先根据多项式乘多项式的法则进行计算可得，合并同类项可得，根据积中不出现一次项，且二次项系数为，可得方程组，两个方程相减可得结果 ．
【详解】解：
，
积中不出现一次项，且二次项系数为，
，
得：．
故答案为： ．
14. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的范围，先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解，得：，
∵方程的解为非负数，且，即
∴，
∴且；
故答案为：且．
15. 如图，是等边三角形，是边上的高，，点E是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小值为______ ．

【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了最短路径问题及等边三角形的性质，理解“两点之间线段最短”是解题的关键．先根据“两点之间线段最短”找到最小值，再根据等边三角形的性质进行求解．
详解】解：如图：

∵是等边三角形，是边上的高，
∴，
∴B、关于直线对称，
，
∵是等边三角形，为的中点，
，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的运算：
（1）利用多项式除以单项式的法则进行计算即可；
（2）先进行乘法公式的计算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
（1）在图中作，使和关于轴对称；
（2）写出点关于轴的对称点的坐标 ；
（3）是轴上一个动点，如果以点为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为 ；
（4）点是轴上的一个动点，当最小时，画出点的位置．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）4 （4）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
（1）根据轴对称的性质确定点关于轴的对称点，然后顺次连接即可；
（2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可获得答案；
（4）连接，交轴于点，连接，即可获得答案．
【小问1详解】
解：如下图，即为所求；
【小问2详解】
解：∵，
∴点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：；
【小问3详解】
解：如下图，
当以为等腰三角形的腰时，可得，，，
当以为等腰三角形的底时，可得，
所以，以点为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点的个数为4．
故答案为：4；
【小问4详解】
解：如下图，连接，与轴的交点即为所求．
18. 下面是课堂上化简时甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”的过程．
任务：
（1）在“接力游戏”中，丁同学是依据_____进行变形的．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
（2）在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误原因是_____；
（3）请你写出该分式化简的正确结果．
【答案】（1）C； （2）乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
（3）
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）丁同学利用的分式的基本性质；
（2）乙同学去括号时，变号错误；
（3）根据分式的混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：在“接力游戏”中，丁同学是依据分式的基本性质进行变形；
故选C；
【小问2详解】
乙同学去括号时，变号错误；
故答案为：乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
【小问3详解】
原式
．
19. 如图，一条船上午时从海岛出发，以海里时的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处，分别从， 处望灯塔，测得，．
（1）求海岛到灯塔的距离；
（2）若这条船继续向正北方向航行，则什么时间船与灯塔的距离最小?
【答案】（1）从海岛到灯塔的距离为海里；
（2）若这条船继续向正北航行，上午时小船与灯塔的距离最短．
【解析】
【分析】（）根据三角形外角的性质求出，得到，则，求出即可；
（）如图，过点作于点，根据垂线段最短可知线段的长为小船与灯塔的最短距离，求出，根据含角的直角三角形的性质可得，再计算得出从到的时间即可；
本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握各性质是解决本题的关键．
【小问1详解】
由题意得：（海里）．
∵，，
∴，
∴，
∴（海里），
∴从海岛到灯塔的距离为海里；
【小问2详解】
如图，过点作于点，
∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，
∴，
又∵，
∴，
在中， ，
∴海里，
∴，
∴航行的时间为（小时），
∴若这条船继续向正北航行，上午时小船与灯塔的距离最短．
20. 如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点和点．
（1）作出边的垂直平分线；
（2）当时，判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧在两边相交于两点，然后过这两点作直线即可；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据，由三角形内角和定理得，推出，然后根据等边对等角的性质得到，即可证明结论．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，线段垂直平分线的作法，难度中等，熟记性质是解题的关键．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
小问2详解】
，理由如下：如图，连接
∵是的垂直平分线，
，
．
，
，
．
，，
，
，
，
，
．
21. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍．
（1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
（2）学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
【小问2详解】
解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，
根据题意得：，
解得：，
∴整数m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
22. 【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______．
（2）若x满足，求的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．

【答案】[教材原题] ；[类比探究] ；
[应用]（1）90；（2）5；[拓展]12
【解析】
分析】[教材原题]由题意知，；
[类比探究]由题意知，；
[应用]解：（1）将，代入，计算求解即可；
（2）由题意知，，根据，计算求值即可；
[拓展]由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据种草区域的面积和为，计算求值即可．
【详解】[教材原题]解：由题意知，，
故答案为：；
[类比探究]解：由题意知，，
故答案为：；
[应用]解：（1），
故答案为：90；
（2）解：由题意知，，
∴，
故答案为：5；
[拓展]解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得，，
∴种草区域的面积和为，
∴种草区域的面积和为12．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23. 下面是数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
【问题提出】
如图1，在中，，点在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形．
【问题探究】
乐学组：如图2，分别以点、点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，则即为所求作的三角形．
善思组：如图3，过点作于点，过点作于点相交于点，则即为所求作的三角形．
（1）乐学组得出的依据是_____，善思组得出的依据是_____．（横线上填序号：①；②；③；④）
【问题再探】
（2）善思组的同学们证得后，在图3的基础上连接，通过几何画板测量发现和的面积相等，请你一起来探究．
如图4，延长线段、交于点．连接，．……把未完成的说理过程补充完整．
（3）在（2）的条件下，已知，点是线段的三等分点，请直接写出的面积．
【答案】（1）①，③；（2）见解析；（3）或12
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）根据作图方法，结合全等三角形判定方法进行判断即可；
（2）延长线段、交于点．连接，证明，得到根据中线平分面积，得到，证明，得到即可得证；
（3）根据同高三角形的面积比等于底边比，求出结合（2）中结论即可得解．
【详解】解：（1）乐学组：由作图可知：，
又∵，
∴，
善思组：由作图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：①，③
（2）如图4，延长线段、交于点．连接，
．
，
，
在与中，，
，
，
，
，即．
在和中，
，
；
（3）或12．
点是线段的三等分点，
或，
由（2）可知：
或12．
解：原式甲同学
乙同学
丙同学
丁同学