河南省漯河市实验中学九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

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一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：B．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用顶点式的特殊形式可得顶点坐标．
【详解】∵函数是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．
3. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为36，，则的长为（ ）
A. 6B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形与旋转，勾股定理，根据旋转的性质，得到，得到，进而推出正方形的面积等于四边形的面积，求出的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵把绕点A顺时针旋转到的位置，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵正方形，
∴，，
∴；
故选D．
4. 不透明的袋子中装有红球2个，黄球3个，白球5个，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球恰好是白球的概率为（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据概率公式求解即可．
【详解】解：．
故选D．
5. 如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由题意可知，，设桥拱半径，则，，在中，根据勾股定理求出r的值即可．
【详解】解：如图，连接．
由题意可知，且过圆心，
∴．
设桥拱半径，则，，
在中，，
∴，
解得：，
∴桥拱半径为．
故选B．
6. 在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，与相似比是，若点的坐标为，则其对应点的坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标是原坐标乘以或．
【详解】解：点的坐标为，且位似中心是原点，与的相似比是，
对应点的坐标是或，
故选：D．
7. 已知在中，，，则的值等于（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的定义可知，可设，由勾股定理求出，然后根据正切的定义代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴可设，
则，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握正弦定义：对边与斜边的比值；正切的定义：对边与邻边的比值；是解本题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法，连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值，熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．
【详解】连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵、在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，由，
∴，
故选：．
9. 如图，在中，平分，交于点D，过D作的平行线交于M，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平分，，可得，从而得到，再根据，即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，根据题意得到是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正三角形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】边长为的正三角形的中心与原点O重合，得到，，由轴得到，，，，由题意得到第次旋转结束时，点A的坐标与第3次旋转后坐标相同，求出旋转3次后的坐标，即可得到答案．
【详解】解：∵边长为的正三角形的中心与原点O重合，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，，，
∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴每4次旋转一周，
∵，
∴第次旋转结束时，点A的坐标与第3次旋转后坐标相同，
如图，轴于点D，则，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即第次旋转结束时，点A的坐标为．
故选：C
【点睛】此题考查了旋转的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，得到次旋转结束时，点A的坐标与第3次旋转后坐标相同是解题的关键．
二、填空题(每题3分，共15分)
11. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】将点代入反比例函数，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12. 如图，在中，，垂足为点，若，，则等于 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用等腰直角三角形的正弦算出，再运用正切算出的值．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟练运用特殊角的正弦值是解题的关键．
13. 如图，，是相对的两处悬崖，千米，千米，是连接两崖的一条公路，千米．现有一辆游览车P在公路上来回行驶，当与相似，且时，P，B两点间的距离为___________千米．
【答案】1.2或0.84
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：设，则，
若，
∴，
，
解得（舍去），；
若，
∴，
，
解得．
综上所述，的长度为1.2或0.84，
故答案为：1.2或0.84．
14. 如图，菱形的边长为6，，是以点A为圆心，长为半径的弧，是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为_____________．（结果保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，是解题的关键．连接，过点作垂直于，易得阴影部分的面积等于的面积，勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：连接，过点作垂直于，

∵菱形的边长为6，，
∴，，
∴均为等边三角形，且面积相等均等于菱形面积的一半，
∴，
∴，
由题意，得：弓形，弓形，
∴弓形弓形，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，E为上的点，将绕点E在平面内旋转，点B的对应点为点D，且点D在的边上，当恰好为直角三角形时，的长为_____________．
【答案】或
【解析】
【分析】先求解，再分两种情况讨论：如图，当时，当时，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：∵，，，，
∴．
为直角三角形时分两种情况∶
①如图，当时，设，
由，，
∴，
∴，
∴，
解得；
②当时，设，
同理可得：，
∴，
∴，
解得．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，作出正确的图形是解本题的关键．
三，解答题(共75分)
16. 计算
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，二次根式的混合运算，熟记特殊角三角函数是解题的关键．
（1）求出特殊角的三角函数值，再根据二次根式混合运算法则即可求解．
（2）把特殊角的三角函数值代入，然后化简二次根式计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键．
(1)利用公式计算即可．
(2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可．
【小问1详解】
一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性，
故抽到决策类人工智能的卡片的概率为，
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种．
故两张卡片中不含D卡片的概率是．
18. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】（1）45cm；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接AD，证明，即圆心O到EF的距离为OD，再求出OD即可；
（2）设，求出，作交AB于点H，求出，，即可求出阴影面积．
【小问1详解】
解：连接AD，
∵D为弧BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即圆心O到EF的距离为OD，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
作交AB于点H，
∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，分割法求阴影部分的面积，（1）的关键是证明；（2）的关键是求出DH，OA的长度，理解阴影部分的面积包括扇形和三角形两部分．
19. 如图在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图象的任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为
（2）不等式的解集为或
（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）先通过一次函数求出点A坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）求出点B的坐标，根据图像求解即可；
（3）根据图像求出，再根据求出，即可求出
【小问1详解】
解：把点代入直线得：
∴点A的坐标为：，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为，
【小问2详解】
解：由（1）得：点A的坐标为：，
同理可求，点B的坐标为：，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：把代入得：，
即点C的坐标为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点P的纵坐标为3时，则，解得，
当点P的纵坐标为时，则，解得，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键．
20. 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.3米，点B距地面10.8米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，≈1.4）
【答案】14
【解析】
【分析】作AH⊥EF于H，作AD⊥BN于D，则易得四边形AHND为矩形，所以DN=AH=2.3，则BD=8.5，利用∠BAD=45°得到AD=BD=8.5，在Rt△ABD中利用正切值求出CD的长，然后计算CD-BD即可．
【详解】作AH⊥EF于H，作AD⊥BN于D，如图，
AH＝2.3，∠BAD＝45°，∠CAD＝65°，BN＝10.8，易得四边形AHND为矩形，
∴DN＝AH＝2.3，
∴BD＝BN﹣DN＝10.8﹣2.3＝8.5，
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝8.5，
在Rt△ABD中，∵tan∠CAD＝，
∴CD＝10.8tan65°＝10.8×2.1＝22.68，
∴CB＝CD﹣BD＝22.68﹣8.5＝14.18≈14
答：云梯需要继续上升的高度BC约为14米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
21. 如图，在矩形中，点在边上，交于．
（1）求证：；
（2）若为中点，cm，cm，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质及垂直的定义得出和，可得，再由相似三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据矩形得性质及线段中点得出，再由勾股定理得出，最后利用（1）中结论求解即可．
小问1详解】
证明：四边形是矩形
∵，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
四边形是矩形
∴，
∵为中点，
，cm，cm，
，
由（1）得，
∴
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，该图形是典型的“一线三等角”中的“三垂直”模型，熟练掌握此类模型的证明方法是解题的关键．
22. 小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标．

（1）请求出b和n的值；
（2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
（3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当点P的坐标为何值时？的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）由题意，对称轴为，求解参数b，解析式确定参数n；
（2）由两解析式构建方程，求解交点的横坐标，进而确定交点坐标；
（3）作轴，交于点N，设，则，得，于是，得解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，即；
当时，，即；
【小问2详解】
解：由题意，得，
解得，（舍去）或，于是，
∴点M的坐标．
【小问3详解】
解：作轴，交于点N，
设，则，
∴．
∴
当时，S有最大值，即，
此时，．

【点睛】本题考查运用函数性质确定待定参数，运用方程求图象交点，二次函数极值；掌握二次函数的性质、基本的数形结合能力是解题的关键．
23. 【特例感知】
（1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是________；
【类比迁移】
（2）如图2，和是等腰直角三角形，，请写出线段与数量关系，并说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】
分析】（1）根据题意证明出，然后求解即可；
（2）根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可；
（3）过点作，使，连接，，，．首先证明出，然后得到点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，进而求解即可．
【详解】解：（1）∵和是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴
∴；
（2），
证明：如图2，和是等腰直角三角形，
∴
∴即
∵，
∴，
即，
又∵
∴
∴，
∴
（3）如图3，过点作，使，连接，，，．
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∴
∵，，
∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆．
∴当在的延长线上时，的值最大，
最大值为．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，相似三角形的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点．