河南省漯河市召陵区九年级上学期期中数学试题（解析版）-

这是一份河南省漯河市召陵区九年级上学期期中数学试题（解析版）-，共33页。
1．本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分．
2．本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器．本试卷分试题卷和答题卡两部分．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为，
故选：A．
3. 若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左平移个单位，再向上平移个单位B. 向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 向右平移个单位，再向上平移个单位D. 向右平移个单位，再向下平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由抛物线
根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线，
则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
故答案为：．
4. 如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）
A. ∠COE=∠DOEB. CE=DE
C. OE=BED.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理可得：，DE=CE，进而得到∠COE=∠DOE，无法得到OE=BE．
【详解】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴，DE=CE，，
∴B，D选项正确；
∵，
∴，
∴∠COE=∠DOE，
∴A选项正确；
只有当∠COE=60°时，才有OE=BE．
∴C选项不成立；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和圆心角、弧之间的关系．解题的关键是熟练掌握垂径定理．垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
5. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣3=0 一个根为 3，则另一个根为（ ）
A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣6
【答案】B
【解析】
【分析】设方程的另一根为x，利用根与系数的关系可得到关于x的方程，可求得答案．
【详解】解：
设方程的另一根为x，
∵方程x2+mx-3=0一个根为3，
∴3x=-3，解得x=-1，即方程的另一根为-1，
故选B．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题的关键．
6. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（ ）．
A. 如B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质即可得．
【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转得到△，
，，
，
∵，
，
故选：B．
7. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行榄式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件．
设半径为，则，由垂径定理得，然后利用勾股定理可求出答案
【详解】解：如图，连接，
设半径为 ，则

，

中，
，
∴
解得
故选：C．
8. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：，
故选：C．
9. 若抛物线 y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小
C. 对称轴为 x=﹣1D. c 的值为﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】由条件可求得点 c 的值，再利用二次函数解析式，逐项判断即可．
【详解】解：
∵y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0，﹣3），
∴c=﹣3，故 D 正确，不符合题意，
∴抛物线解析式为 y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为 x=﹣1，当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大，故 A、
C 正确，不符合题意，B 不正确， 故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是求得函数解析式、化为顶点式．
10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，由此得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，、是上两点，，是弧的中点，判断四边形的形状是_____．

【答案】菱形
【解析】
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，菱形的判定和圆周角定理，连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，则有，证明和都是等边三角形，由四边相等的四边形是菱形即可求解，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等及等边三角形的判定与性质，菱形的判定方法．
【详解】如图，连接，

∵是弧的中点，
∴ ；
又∵，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形是是菱形，
故答案为：菱形．
13. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______
【答案】
【解析】
【分析】作轴于H，由题可得，即可求出和，由第二象限点特征横坐标为负数纵坐标为正数即可
【详解】解：如图，作轴于H．
由题意：，
∴，
∴， ，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米．
【答案】7
【解析】
【分析】建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2），过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可．
【详解】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：，点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
,
令，得
解得（舍），
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型求解是解题的关键．
15. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，、（）的长分别是一元二次方程的两个实数根，为直线上的动点，连接，若点的坐标为，则的值为_____，的最小值为___．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，坐标与图形，垂线段最短；根据题意将代入方程，求得的值，进而求得的坐标，勾股定理求得的长，根据垂线段最短，等面积法，即可求解．
【详解】解：∵、（）的长分别是一元二次方程的两个实数根，点的坐标为，
∴是一元二次方程的解，
∴，
解得：，
∴原方程为，
即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
当时，最小，此时，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握其解法是解题的关键．
（1）运用因式分解法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：
因式分解得：，
∴或，
∴，
【小问2详解】
解：
右边因式分解得：，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
∴，．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标，并画出△A3B3C3．

【答案】（1）图形见解析；A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）图形见解析；A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）图形见解析；A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）.
【解析】
【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．
【详解】（1）如图，△A1B1C1为所作，
因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，
所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；
（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，
所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；
（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）.

18. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值．
【答案】（1）证明详见解析
（2）的值为或
【解析】
【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法：
（1）先计算，从而可得结论；
（2）由根与系数的关系可得，再代入，建立方程求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：由根与系数的关系，得，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴的值为：或．
19. 下面是小海同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程．已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点A．求作：过A点的⊙O的一条切线．
作法：① 连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E；
② 以点A为圆心，AO的长为半径画弧，以点O为圆心，DE的长为半径画弧，两弧交于点B；
③ 连接OB交⊙O于点C，作直线AC．
则直线AC是⊙O的一条切线．
请你根据小海同学的设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明：
∵ OB=DE=2OD=2OC，
∴ 点C为OB的中点．
∵ AO=AB，
∴ AC⊥OB（ ）（填推理的依据）．
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形三线合一；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据题给出的答案确定依据即可．
【详解】（1）补全图形如图所示；
（2）∵ OB=DE=2OD=2OC，
∴ 点C为OB的中点．
∵ AO=AB，
∴ AC⊥OB（等腰三角形三线合一），
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线（过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：等腰三角形三线合一；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查圆的切线，掌握切线的判定是解题的关键．
20. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
（1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围．
【答案】（1）；
（2）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元；
（3）捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价范围是．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题．
根据销售单价每上涨元，每天销量减少个，列出与之间函数关系式，根据规定销售单价不低于元，且不高于元可得自变量的取值范围；
根据利润销量单件利润可以得到，利用二次函数的性质求出最大利润；
根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：根据题意得：
整理得：，
配方得：，
，抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而增大，
又，
当时，有最大值，最大值为，
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元；
【小问3详解】
解：根据题意可得：剩余利润为元，
捐款后每天剩余利润不低于元，
，
，
解方程，
可得：，，
又，，
要使捐款后每天剩余利润不低于元，则，
答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是．
21. 与都是等边三角形，连接．
（1）如图①，当点在同一条直线上时，则______度；
（2）将图①中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置．求证：；
（3）在将绕点旋转的过程中，当点在一条直线上时，若，请直接写出的长．
【答案】（1）120 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据邻补角互补求解即可；
（2）根据等边三角形的性质，，，，进而得出，，再由全等三角形的性质即可得证；
（3）先求出，再分点在和的延长线上，过点作的垂线，构成直角三角形求解，即可得出结论．
【小问1详解】
∵是等边三角形，
∴，
∵点在同一条直线上，
∴；
【小问2详解】
证明：与都是等边三角形，
，，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，，
，
当点在的延长线上时，如图③，
过点作于，则，
在中，，，
，
根据勾股定理得，，
，
在中，
根据勾股定理得，；
当点在的延长线上时，如图④，
过点作于，则，
在中，，，
，
根据勾股定理得，，
，
在中，
根据勾股定理得，；
即满足条件的的长为或．
【点睛】本题考查了图形的变化旋转，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
【答案】（1）①，；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，
解得，．
②由①知，，
∴
∴最大值
当时，
则
解得，
又∵时，
∴当时，
则
解得
∴这两个位置之间的距离．
【小问2详解】
解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为，
将，代入，得
，
解得，
∴．
23. 如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知．
（1）求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．
（2）点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标．
（3）若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点Q的坐标为：或或
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键．
（1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）由面积，即可求解；
（3）过点M作直线交y轴于点R，得到直线的表达式为：，即可求解；过点T作直线，得到直线的表达式为：，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
令，则，解得：（舍去）或，
即；
【小问2详解】
解：过点M作轴交于点H，
由点A、B的坐标设直线的表达式为：，则，解得：，
故直线的表达式为：，
设点，则点，
则面积，
∵，故当时，面积最大，
此时点；
【小问3详解】
解：由（2）知，直线的表达式为：，
过点M作直线交y轴于点R，
设直线的表达式为：，则，解得：，
则直线表达式为：，则点，
则，
联立和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或3，即点，
则点A下方取点T，使，则点，
过点T作直线，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：，
则点或，
综上，点Q的坐标为：或或．