河南省实验中学九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

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（时间：100分钟，满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（ ）
A. 2，3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将变形为，再根据一次项系数及常数项的定义即可得到答案.
【详解】根据题意可将方程变形为，则一次项系数为，常数项为．故选D．
【点睛】本题考查二次方程，解题的关键是掌握一次项系数及常数项的定义.
2. 中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架结构为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩（lǐn）等主要构件建造而成，各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架．如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：榫的左视图为：
．
故选：D．
3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，则，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据得到反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小直接判断即可得到答案，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
【详解】解：反比例函数，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
，，
，
故选：A．
5. 如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、，，，故本选项不符合题意；
B、，，，故本选项不符合题意；
C、由图形可知，只有，不能判断，故本选项符合题意；
D、，，，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界练上不计入试验结果），得到如下数据：
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有
解得：，
即不规则图案的面积为．
故选：B．
7. 如图，点，，都是正方形网格格点，连接，，则的正弦值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
设小正方形边长为1，
，，，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故选：B．
8. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口方向向下B. 当时，随的增大而减小
C. 对称轴是直线D. 经过点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，故A选项正确不符合题意；
对称轴为直线，故C选项正确不符合题意；
当时，随的增大而增大，故B选项错误符合题意；
令，得，
抛物线经过点0,1，故D选项正确不符合题意．
故选：B．
9. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，根据，，求出，根据“圆内接四边形的对角互补”求出即可，熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：，
，
四边形内接于，
，
，
故选：C．
10. 如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于，过点作于，交的延长线于，则，易证得四边形是矩形，然后利用可证得，则，于是证得四边形是正方形，则，再证明和是等腰直角三角形，则，，最后根据勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于，交的延长线于，则，
，
，，
四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
矩形是正方形，
，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，垂直于同一直线的两直线平行，两直线平行内错角相等，三角形的内角和定理，等角对等边，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，构造和全等是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分）
11. 已知，则的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查比例的性质，根据题意设，代入根据比例的性质化简即可．
【详解】解：设,
∴，
故答案为．
12. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．
【答案】####
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13. 若二次函数自变量x=2时，函数值有最大值，则这样的二次函数关系式可以是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意确定出顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出一个函数解析式即可．
【详解】解：∵二次函数自变量x=2时，函数值y有最大值−1，
∴顶点坐标为(2,−1)，∴二次函数关系式可以是y=−(x−2)2−1.故答案为y=−(x−2)2−1(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质并加以运用．
14. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）
【答案】51
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解．
【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，
设，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：51．
15. 菱形的边长为4，，对角线、交于点，点为线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，则线段长的最小值为______，最大值为______．
【答案】 ①. 1 ②. 2
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，在上取点，使，连接，由旋转得，，，由菱形的性质可得，，，进而可得为等边三角形，则，，证明，可得．由题意知，点为的中点，可知当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值，进而可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：在上取点，使，连接，
由旋转得，，，
．
四边形为菱形，
，，．
，
为等边三角形，
，，
，，
．
在和中，
，
，
．
，
，
点为的中点．
当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值，
的最大值为2，
即线段长的最大值为2．
，，
，
，
，
即线段长的最小值为1．
故答案为：1；2．
三、解答题（共75分）
16. 解方程或计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）利用因式分解法解方程；
（2）根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质特殊角三角函数值计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
或，
∴，；
【小问2详解】
解：原式
17. 一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，不负韶华梦，读书正当时！我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动．
（1）小胡从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为_____．
（2）我校计划从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》被选中的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】本题主要考查用列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握概率的计算方法是解题的关键．
（1）根据概率公式的计算方法即可求解；
（2）用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：4部名著A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》中，随机选择1部，
∴选中《红楼梦》的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
∴共有12种等可能结果，其中B．《红楼梦》被选中有6种，
∴《红楼梦》被选中的概率为．
18. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出时，的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）4
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键．
（1）将点，代入得，，进而可得反比例函数的表达式，点，将，代入即可得出一次函数的表达式；
（2）根据一次函数与反比例函数交于点，，结合函数的图象即可得出当时，的取值范围；
（3）设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，则点，点，由此可得，，，然后根据可得出答案．
【小问1详解】
解：将点代入，解得
把代入，得到，解得，
反比例函数的表达式为，点，
将，代入，
得，解得，
一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：一次函数与反比例函数交于点，，
根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，的取值范围是：或；
【小问3详解】
解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图所示：
对于，当时，，当时，，
的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点，，
，，
，，
．
19. 如图，在中，，是边上的中线．
（1）尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由．
【答案】（1）图见解析
（2）当为等腰直角三角形，即时，四边形为正方形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—复杂作图、直角三角形斜边上的中线、正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接即可．
（2）当是等腰直角三角形时，四边形为正方形．结合直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定、等腰直角三角形的性质证明即可．
小问1详解】
解：如图，在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，
则射线、线段即为所求．
【小问2详解】
解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形．
理由：，，
四边形为平行四边形．
，是边上的中线，
，
四边形为菱形．
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形为正方形．
20. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E，连接．

（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，从而可得，再根据等腰三角形的性质和平行线的性质，即可证得答案；
（2）连接，先证明，则，根据三角函数的定义，可求得的长，最后根据勾股定理可求得的长，从而得到答案．
【小问1详解】
连接，
直线是的切线，切点为C，
，
又，
，
，
，
，
，
平分；
【小问2详解】
连接，
是的直径，
，
又，
由（1）得，
，
在中，，
，
在中，，
．

21. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种，某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩．
（1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率；
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利2160元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为多少元？
【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为
（2）销售单价应定为元．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键：
（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，根据2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩，列出方程进行求解即可；
（2）设销售单价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可．
【小问1详解】
解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为；
【小问2详解】
设销售单价应定为元，由题意，的：
，
解得：，
∵使消费者尽可能获得实惠，
∴；
答：销售单价应定为元．
22. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
（1）根据上述数据，求y与x之间的函数关系式；
（2）已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由．
【答案】（1）
（2）羽毛球能越过球网，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意找出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
（1）由表格可知抛物线的顶点为，即得出抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值即可；
（2）令时，求出y的值，再与羽毛球场的球网高度比较即可．
【小问1详解】
解：由表格得：抛物线的顶点为，且过点，
∴，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：羽毛球能越过球网，
理由：当时，，
∴羽毛球能越过球网．
23. “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，中，，为边上的中线．将沿射线的方向平移，得到，其中点，，的对应点分别为，，，如图2，当线段经过点时，连接，，请解决下列问题：
【数学思考】
（1）请直接写出四边形的形状：______；
【深入探究】
（2）如图3所示，老师将图2中绕点按顺时针方向旋转得到，其中点、的对应点分别为、，线段、分别与边交于点、．
①“勤学小组”提出问题：当时，试猜想线段和的数量关系，并证明；
②“善思小组”提出问题：若中，，，当为等腰三角形时，请直接写出的面积．

【答案】（1）矩形；（2）①，证明见解析；②3或
【解析】
【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据平移的性质可得，再证出四边形是平行四边形，从而可得，然后证出四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得；
（2）①根据图2，利用平移的性质和等腰三角形的三线合一可得，再根据如图3，证出，根据矩形的性质和等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得；
②过点作于点，先利用勾股定理求出，在中，解直角三角形求出，再分三种情况：（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ），利用解直角三角形求出的长，利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：（1）∵在中，，为边上的中线，
∴，
由平移的性质得：，
∴，四边形是平行四边形，，
∴，（平行四边形的性质），（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
故答案为：矩形．
（2）①，证明如下：
如图2，由平移的性质得：，
∴，
∵为的斜边边上的中线，
∴，
∴，
∴，
如图3，由旋转的性质得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）已得：四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②∵在中，，为边上的中线，，，
∴，，
由（1）已证：，，即，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
由（2）①已证：，
∴，
如图，过点作于点，

在中，．
（Ⅰ）当时，为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴此时面积为；
（Ⅱ）当时，为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴此时的面积为；
（Ⅲ）当时，为等腰三角形，
∴，（等腰三角形的三线合一），
如图，作的角平分线，交于点，过点作于点，

∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，解得，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴此时的面积为；
综上，的面积为或．
水平距离x/m
0
2
4
6
8

竖直高度y/m