广西壮族自治区梧州市2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题（含答案解析）

这是一份广西壮族自治区梧州市2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，一个这种细菌第1次分裂产生的后代个数是2，之后每次分裂产生的后代个数是前一次分裂产生的后代个数的两倍，那么第5次分裂产生的后代个数是（ ）
4. 已知双曲线的离心率为，则（ ）
5. 的展开式中的系数为（ ）
6. 已知且，则（ ）
7. 等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（ ）
8. 已知正实数a，b满足和，则（ ）
二、多选题
9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ）
10. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ）
11. 设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在抛物线上，，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题
12. 曲线在点处的切线斜率为______．
13. 5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______．
14. 在正四面体ABCD中棱AB，CD没有公共点，作两个平行于AB和CD的截面，已知这两个截面的面积分别为和，且它们之间距离为，则该正四面体棱长为______cm．
四、解答题
15. 已知等差数列的前n项和为，数列满足，且，，．
(1)分别求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，已知，，，E是线段PC上的一点（与P，C不重合）．
(1)证明：；
(2)若，求直线BE与平面所成角的正弦值．
17. 已知椭圆C：的焦距为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)过点作直线l与C交于A，B两点，x轴上存在点N使得直线NA与直线NB的斜率之和为0．
（ⅰ）求点N的坐标；
（ⅱ）求面积最大时，直线AB的斜率．
18. 已知函数，．
(1)求在内的单调性；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围；
(3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．
19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%．
(1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）
（ⅰ）求关于p的函数表达式；
（ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．16
B．32
C．64
D．128
A．1
B．
C．
D．2
A．8
B．16
C．24
D．32
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．
D．3
A．
B．
C．
D．
A．
B．的面积为
C．
D．
A．
B．函数为偶函数
C．在上单调递减，在上单调递增
D．不等式的解集为
A．
B．若直线PF交C于另一点Q，则
C．若M，N为C上不同的两点，，则面积的最小值为
D．若M，N为C上不同的两点，的垂心为F，则