广西壮族自治区梧州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试 数学 Word版含解析

这是一份广西壮族自治区梧州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试 数学 Word版含解析，共10页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5豪米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.双曲线的焦距为
A.B.3C.D.6
2.5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为
A.B.C.D.
3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是
A.B.C.或D.或
4.已知向量，则向量在向量上的投影向量为
A.B.C.D.
5.北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为
A.2880B.1440C.720D.576
6.已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为
A.1B.2C.3D.4
7.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为
A.B.C.D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为点，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知展开式的所有二项式系数之和为256，若，则
A.B.C.D.
10.已知随机事件A，B的对立事件分别为，若，则
A.B.
C.若A，B独立，则D.若A，B互斥，则
11.如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点，若点为正方体内部（含边界）的点，满足，则
A.点的轨迹为四边形AEGF及其内部
B.当时，点的轨迹长度为
C.当时，
D.当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.由数据可得关于的线性回归方程为，若7，则______.
13.已知随机变量，若，则______.
14.已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于A，B两点，且，则直线的斜率是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）已知关于x，y的方程.
（1）当为何值时，方程表示圆；
（2）若圆与直线相交于M，N两点，且，求的值.
16.（本小题满分15分）某超市为调查顾客单次消费金额与性别是否有关，随机抽取70位当日来店消费的顾客，其中女性顾客有40人，统计发现，单次消费超过100元的占抽取总人数的，男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的.
（1）根据所给数据完成列联表，是否有的把握认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联？
（2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中女性人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：（其中.
参考数据：
17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，是PA的中点.
单次消费超过100元
单次消费不超过100元
合计
女性
男性
合计
0.050
0.025
0.01
3.841
5.024
6.635
（1）求证：平面平面MCD；
（2）若，求平面PBC与平面MCD夹角的余弦值.
18.（本小题满分17分）学习小组设计了如下试验模型，有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束.假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为.
（1）求首次摸球就试验结束的概率；
（2）在首次摸球摸出红球的条件下.
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
19.（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且.
（1）求的方程；
（2）若点为直线上的一点，直线PA交于另外一点（不同于点）.
①记的面积分别为，且，求点的坐标；
②若直线PB交于另外一点，点是直线MN上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
2024～2025学年高二（上）期末抽样检测•数学试题
参考答案、提示及评分细则
1.D因为，所以焦距.故选D.
2.A因为每名毕业生都有4种选择，所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为.故选A.
3.C当直线过原点时，其方程是，符合题意；当直线不过原点时，其斜率为-1，所以方程是．故选C.
4.B向量在向量上的投影向量为.故选B.
5.A先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为.故选A.
6.A圆的标准方程为，圆心，半径，圆的标准方程为，圆心，半径，所以，圆内切，所以与圆都相切的直线只有1条.故选A.
7.C设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为，由，得，化简得，解得，即本次测试的不合格率为.故选C.
8.D由题意可得，所以，又，所以，又，所以，化简，得，即，解得，又，所以.故选D.
9.ABD由题意知，所以，故A正确；，令，得，所以，故B正确；令，得，令
，得，所以，故C错误；二项式的展开式通项为，所以的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数，即为负数，为正数，令，得，所以，故D正确.故选ABD.
10.ACD因为，故A正确，由A知，故B错误；因为A，B独立，则，则，故C正确；因为，互斥，，所以，所以0，故D正确.故选ACD.
11.ABD对于A，取上一点，使得，连接EH，FH，HB，易证四边形AFHB和四边形BHGE是平行四边形，所以，所以四边形AEGF为平行四边形，因为，由空间向量基本定理可知，所以在四边形AEGF内（或边界上），故A正确；对于B，当1时，，所以，即在线段EG上，点的轨迹长度为线段EG的长，所以，故B正确；对于C，当时，易得点为线段AF的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，得，则，则，所以不成立，故C错误；对于D，当时，，分别取AF，EG的中点M，N，连接MN，P在线段MN上，，所以由，可得，平面ABCD的一个法向量为.设AP与平面ABCD所成的角为，所以
，设，因为，则，则代入上式并化简可得，当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为，D正确.故选ABD.
12.32依题意，，由，得，解得，所以.
13.因为，所以，所以，所以.
14.抛物线的准线为，所以，设直线的方程为，，由得，所以，即，，因为，所以，得，所以或所以.
15.解：（1）由圆的一般方程性质可知：，解得，
所以当时，方程表示圆．…………………………………………………………………………5分
（2）由，得，
所以该圆圆心为，半径.…………………………………………………………………7分
所以圆心到直线的距离，………………………………………10分
根据弦长公式可知：，即，解得.…………………………13分
16.解：（1）由题意得如下列联表：
…………………………………………………………………………………………………………………2分
由列联表中的数据，计算得
，
故有的把握认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联.…………………………………6分
（2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，
女性有人，…………………………………………………………………………………7分
所以的可能取值为0，1，2，3，
则，………………………………………………………9分
，………………………………………………………11分
故的分布列为
………………………………………………………………………………………………………………13分
所以．……………………………………………………15分
单次消费超过100元
单次消费不超过100元
合计
女性
15
25
40
男性
20
10
30
合计
35
35
70
0
1
2
3
17．（1）证明：因为是PA的中点，所以，………………………………1分
因为平面MCD，所以平面………………………3分
又平面PAB，所以平面平面MCD．…………………………………………………………4分
（2）解：因为，所以，
因为平面PAD，所以平面PAD，
又平面PAD，所以.………………………………………………………………………5分
因为，所以，所以……………………………………………6分
所以CD，AD，PD两两垂直，故以为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，.
则，………………………………………………………………………8分
设是平面PBC的法向量，则即令，得，所以.………………………………………………………………………………………………10分
由（1）知平面MCD，所以平面MCD的一个法向量为.……………………11分
因为，…………………………………………………13分
所以平面PBC与平面MCD夹角的余弦值为.……………………………………………………15分
18.解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件.
（1）.
所以摸球一次就试验结束的概率为.……………………………………………………………………4分
（2）①因为是对立事件，，………………………………………………6分
所以，
所以选到的袋子为乙袋的概率为.…………………………………………………………………………10分
②由①，得，……………………………………………………12分
所以方案一中取到白球的概率为
，……………………………14分
方案二中取到白球的概率为
，…………………………16分
因为，所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
…………………………………………………………………………………………………………………17分
19.解：（1）由题意知……………………………………………………………………………2分
解得，…………………………………………………………………………………………3分
所以的方程为.………………………………………………………………………………4分
（2）由题意可知，，设，因为直线PA交于另外一点（不同于点），
所以，又双曲线的渐近线为，故，解得，
所以直线，即，
由得，所以，解得
，……………………………………………………………………………………………6分
所以.…………………………………………………………………7分
①因为，又，
所以，………………………………………………………………………………9分
解得或，即点的坐标为或．…………………………………………10分
②直线，即，由得，即，所以，解得，
所以，…………………………………………………………12分
所以直线MN的斜率，…………………………………………13分
所以直线MN的方程为，………………………………………14分
令，得，解得，
所以直线MN恒过定点，………………………………………………………………………16分
又，即，点是HO的中点，所以.……………………17分