专题03 一次函数与反比例函数综合-2026年广东地区中考数学二轮专题复习试题（含答案）

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数与反比例函数图像综合判断
题型02 一次函数与反比例函数的交点问题
题型03 一次函数与反比例函数的实际应用
题型04 一次函数与反比例函数的比大小取值范围问题
题型05 一次函数与反比例函数综合：面积问题
题型06 一次函数与反比例函数综合：特殊三角形存在性问题
题型07 一次函数与反比例函数综合：特殊四边形存在性问题
题型08 一次函数与反比例函数综合：相似问题
题型09 一次函数与反比例函数综合：三角函数问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次函数与反比例函数图像综合判断
典例引领
【典例01】（2025·广东清远·二模）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【典例02】（2025·广东广州·二模）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东深圳·一模）函数与函数在同一平面直角坐标系下的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2025·广东惠州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
题型02 一次函数与反比例函数的交点问题
典例引领
【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）若直线与双曲线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例02】（2025·广东汕头·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是 _____________．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东惠州·三模）反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．2
【变式02】（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________．
【变式03】（2025·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为______．
题型03 一次函数与反比例函数的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东深圳·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数．
(1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ．
(2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事．
北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表：
日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为．
请你根据以上材料，回答以下问题：
①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式．
②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？
③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？
【典例02】（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下：
(1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由；
(2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式；
(3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比.
(1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值；
(2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？
【变式02】（2025·广东汕尾·一模）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为．
(1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格：
①表格中的___________；
②请在图3中画出对应的函数图象；
(2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
(3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由．
【变式03】（2025·广东佛山·二模）综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下：
【问题解决】
(1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
(2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10．
①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3）
题型04 一次函数与反比例函数的比大小取值范围问题
典例引领
【典例01】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【典例02】（2025·广东肇庆·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，的取值范围为（ ）
A．B．2C．或D．或
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东揭阳·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
【变式02】（2025·广东广州·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
题型05 一次函数与反比例函数综合：面积问题
典例引领
【典例01】（2025·广东清远·一模）如图，中的，，顶点在第四象限，直角边在轴上，是斜边的中点，连接并延长交轴于点，的面积为，已知点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)如图，点是点关于直线的对称点，点在过点的射线：上，且点位于第三象限内，若的面积是面积的倍，求点的坐标．
【典例02】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．求：
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积．
(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东清远·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P是x轴上的一个动点，当的面积为2时，求点P的坐标．
【变式02】（2024·广东阳江·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的长．
(3)求的面积．
【变式03】（2025·广东广州·二模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边，分别交于点，（不与边的端点重合），连接，，．
(1)若为边的中点，求的值及点的坐标；
(2)若，求的面积．
题型06 一次函数与反比例函数综合：特殊三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．

(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
【典例02】（2025·广东揭阳·三模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．

(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东梅州·一模）如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点A．

(1)求a和k的值；
(2)将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接、．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段的长度；
②在线段运动过程中，连接，若是直角三角形，求所有满足条件的m值．
【变式02】（2025·广东河源·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式03】（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点的直线交反比例函数的图像于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标．
题型07 一次函数与反比例函数综合：特殊四边形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．

(1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数．
①求的值及点的坐标；
②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由；
(2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数．
①请在图2中画出平行四边形；
②若，求平行四边形的面积；
③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东潮州·一模）如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点.

(1)求k的值；
(2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值.
【变式02】（2025·广东深圳·二模）如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点．
(1)求值；
(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ．
题型08 一次函数与反比例函数综合：相似问题
典例引领
【典例01】（2025·广东广州·二模）如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，，，双曲线与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．
(1)若点E是AB的中点，求点F的坐标；
(2)将沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作于点．问：与是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．
【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过上的点D，与交于点E，E是的中点，连接．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求直线的解析式．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点和点B，与x轴交于点C，且，点D是线段上一点．
(1)求直线与反比例函数的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)若，求点D的坐标．
【变式02】（2025·广东江门·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，．
(1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标；
(2)如图2，当，连接，时，求m的值；
(3)当时，若，求b的值．
题型09 一次函数与反比例函数综合：三角函数问题
典例引领
【典例01】（2025·广东湛江·二模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，直线经过点、点，反比例函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出此反比例函数的图象．
(3)直接写出的值为______．
【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）如图，点，在反比例函数的图象上，经过点A、的直线与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)若，完成下列填空：
①______，______．
②将反比例函数的图象向上平移个单位长度，所得的图象的函数解析式为_____．
③若正比例函数与反比例函数交于点、，以为斜边作等腰，则点所在的图象的函数解析式为______．
(2)连接、，若，求点到直线的距离．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线与交于点，点的坐标为，轴于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）若将矩形向下平移个单位，使点落在反比例函数的图象上，求的值；
（3）求的值．
【变式02】（2025·广东茂名·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，将直线绕点A顺时针旋转交x轴于点C．交y轴于点E．
(1)求一次函数的表达式；
(2)设点D为反比例函数的图象与直线的唯一公共点，连接，证明：；
(3)在（2）的条件下，点P为反比例函数位于第二象限图象上的动点，且点P在点D上方，连接交直线于点F，并将射线绕点O顺时针旋转交反比例函数的图象于点Q，当时，求点P的坐标．
题●型●训●练
1．（2025·广东河源·二模）已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（ ）
A．或B．
C．或D．
2．（2025·广东·模拟预测）一次函数与反比例函数（，）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广东清远·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
4．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________．
5．（2025·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________．
6．（2025·广东惠州·一模）如图所示，中，为上一点，且．双曲线经过，两点．若．则___________．
7．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线（）于点，，交轴于点，交轴于点，已知轴于点，轴于点，当四边形的面积为5时，则的值是______．
8．（2025·广东韶关·二模）已知点是反比例函数和一次函数上的一点，则点到原点的距离为______．
9．（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，点B在直线上，则的最小值为______．
10．（2025·广东汕尾·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点B．
(1)求a与k的值；
(2)由图象可知，当x______时，；
(3)若点M为x轴上的动点，当的周长最小时，求点M的坐标．
11．（2025·广东清远·二模）如图，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
(1)求，的值，并求反比例函数的解析式；
(2)设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标．
12．（2025·广东揭阳·二模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点P在线段的延长线上．
(1)如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图2，连接并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足，求点Q的坐标．
13．（2025·广东惠州·二模）实践与研究：
(1)根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图像．
(2)观察两个函数图像，的图像可以由的图像怎么变换得到？
(3)当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图像无交点，试确定的取值范围．
14．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．
(1)求一次函数及反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规过点B作，交线段于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形的面积．
15．（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，点A在点B的左侧，连接，点C为的中点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)设平面内一动点P的坐标为，已知，求的值．考向解读
基础必考题，多为选择/填空，考查k、b的符号与函数图象位置的关联，常结合图象过象限、增减性、图象交点特征判断，侧重数形结合的基础应用。
方法技能
①牢记规律：一次函数y=kx+b，k定增减、b定与y轴交点；反比例函数y=kx，k定图象所在象限；
②根据系数符号逐一排除错误图象，或由图象反推系数符号。
考向解读
核心基础题，选择/解答题均有，考查联立方程求交点坐标，常结合交点个数（0/1/2个）、交点在指定象限、交点到坐标轴距离考查，是综合题的基础考点。
方法技能
①联立两个函数解析式，消去y得到一元二次方程；
②解一元二次方程求x，代回原函数求y得交点坐标；
③根据交点个数判断判别式Δ的符号，根据象限限制确定解的取值范围。
降雪量(毫米）
销售单价（元）
47
45
44
跳绳持续时间（单位：秒）
0
30
60
90
140
…
平均相对心率
40
60
70
76
82
…
考向解读
中档应用题，以解答题为主，考查实际问题中的函数建模，常涉及行程（速度/时间）、工程（工效/工作量）、销售（单价/销量）、几何（面积/边长）等场景，侧重用函数表示数量关系并解决实际问题。
方法技能
①根据实际题意，分别确定一次函数、反比例函数的解析式（求k、b）；
②结合问题要求，代入求值、求取值范围或最优解；
③验证结果的实际意义（如数量为正）。
0
1
2
3
4
5
6
7
．．．
2
1.5
1.2
0.75
0.6
．．．
实验组
风速v（）
旋转角速度ω（）
推力F（N）
1
5
4
24
考向解读
高频基础题，选择/填空/解答题均有，考查结合图象判断函数值的大小关系，核心是“图象上谁在上，谁的函数值大”，常要求求x的取值范围，侧重数形结合能力。
方法技能
①先求两函数交点横坐标（分界点）；
②在平面直角坐标系中，分区间观察一次函数图象在反比例函数图象上方/下方的区域；
③写出对应区域的x取值范围（注意反比例函数x≠0）。
考向解读
中档高频题，解答题为主，考查函数图象与坐标轴、交点围成的图形面积计算，常涉及三角形、四边形，核心是“化斜为直、割补法”，是综合题的常考考点。
方法技能
①求关键坐标（交点、函数与坐标轴的交点、垂足）；
②割补法将不规则图形转化为规则图形（三角形、矩形），或利用“铅锤法、水平宽法”求三角形面积；
③根据坐标求线段长度（横平竖直为边长），代入面积公式计算。
考向解读
难点综合题，解答题压轴小问，考查在函数图象上找动点，使三点构成特殊三角形（等腰、直角、等边三角形，以等腰/直角为主），侧重分类讨论和方程思想。
方法技能
①设动点坐标（结合函数解析式，用一个未知数表示）；
②根据特殊三角形的性质分类讨论（如等腰三角形：两两边相等；直角三角形：勾股定理/斜率乘积为-1）；
③列方程求解，检验点是否在函数图象上并舍去不合题意的解。
考向解读
压轴难点题，解答题最后一问，考查在函数图象上找动点，使四点构成特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形，以平行四边形为主），侧重分类讨论、数形结合和中点坐标公式。
方法技能
①设动点坐标（用未知数表示），确定已知点坐标；
②根据特殊四边形的性质列等式（如平行四边形：对角线互相平分，中点坐标相等）；
③分类讨论不同的顶点组合方式，列方程求解；
④检验点的位置和函数图象的匹配性。
考向解读
压轴中档题，解答题为主，考查函数图象上的三角形与已知三角形相似，常结合坐标求线段长度、角度，侧重相似三角形的判定定理（AA/SAS/SSS）和分类讨论。
方法技能
①求关键点坐标，计算相关线段的长度和角度；
②根据相似三角形的判定定理分类讨论（如AA：找相等的角）；
③利用相似的比例关系列方程，求解动点坐标；
④检验解的合理性。
考向解读
中档综合题，选择/解答题均有，考查结合函数图象求三角函数值，常涉及函数图象与坐标轴、交点构成的直角三角形，侧重三角函数的定义和坐标求线段长度。
方法技能
①找直角三角形（利用函数与坐标轴的垂直关系，或作垂线构造直角）；
②根据点的坐标求直角三角形的三边长度（横平竖直为直角边）；
③根据三角函数的定义（对边/斜边、邻边/斜边、对边/邻边）计算三角函数值。
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