2026年广东中考数学二轮复习 专题03 一次函数与反比例函数综合(题型专练)(广东专用)

这是一份2026年广东中考数学二轮复习 专题03 一次函数与反比例函数综合(题型专练)(广东专用)，共43页。
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数与反比例函数图像综合判断
题型02 一次函数与反比例函数的交点问题
题型03 一次函数与反比例函数的实际应用
题型04 一次函数与反比例函数的比大小取值范围问题
题型05 一次函数与反比例函数综合：面积问题
题型06 一次函数与反比例函数综合：特殊三角形存在性问题
题型07 一次函数与反比例函数综合：特殊四边形存在性问题
题型08 一次函数与反比例函数综合：相似问题
题型09 一次函数与反比例函数综合：三角函数问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次函数与反比例函数图像综合判断
典例引领
【典例01】（2025·广东清远·二模）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数、反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：若，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限；
若，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限．
故选：A．
【典例02】（2025·广东广州·二模）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据题意可得，再根据一次函数和反比例函数经过的象限分别求出对应选项中的符号，看是否一致即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴；
A、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第二、三、四象限，则，不符合题意；
B、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，符合题意；
C、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，不符合题意；
D、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，不符合题意；
故选：B．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东深圳·一模）函数与函数在同一平面直角坐标系下的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．
分和两种情况讨论，然后根据一次函数和反比例函数所经过的象限逐一判断即可．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，无符合的图象；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合此种条件的图象只有B选项，
故选：B．
【变式02】（2025·广东惠州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误；
C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确．
故选：D．
题型02 一次函数与反比例函数的交点问题
典例引领
【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）若直线与双曲线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点以及反比例函数图像的中心对称性；熟练掌握反比例函数图像关于原点对称是解决问题的关键．反比例函数的图像是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点的坐标为，
∴它们的另一个交点的坐标是．
故选：A．
【典例02】（2025·广东汕头·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是 _____________．
【答案】或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一元二次方程判别式的应用以及函数图象的对称性是解题的关键．
将直线与反比例函数联立方程，转化为一元二次方程，根据判别式判断公共点个数，再结合对称性确定的取值范围．
【详解】解：将代入，可得，
整理得．
在方程中，，，，则
．
当直线与反比例函数有两个公共点时，方程有两个不同的实数根，即，
所以，
解得或．
故答案为：或．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东惠州·三模）反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键．
根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴
；
故选：A．
【变式02】（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可．
【详解】解：令，
∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点关于原点对称，
∴；
故答案为：．
【变式03】（2025·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为______．
【答案】12
【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意．
联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解；
【详解】解：将代入得，
整理得，
∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点，
，
或0（舍去），
故答案是：12．
题型03 一次函数与反比例函数的实际应用
典例引领
【典例01】（2025·广东深圳·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数．
(1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ．
(2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事．
北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表：
日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为．
请你根据以上材料，回答以下问题：
①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式．
②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？
③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？
【答案】(1)；或；
(2)①；②降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元；③60元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键．
（1）根据反比例函数的性质即可解答；
（2）①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解；
②设销售利润为，根据利润（销售单价成本）日销售量，结合y与k关系和p与k的关系，得到w与k的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解；
③设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，解方程即可．
【详解】（1）解：反比例函数 ，，
函数图象在第一、三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小，
当时，，
当时，y的取值范围是；
当时，，
当时，x的取值范围是或；
故答案为：；或；
（2）解：①设
将，代入，
得，
解得，
∴；
②设销售利润为，则
依题意得，，
∵，
∴在时，随着的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为元，
答：降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元．
③∵降雪量为毫米，
∴原售价为44元，
∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手20袋，
∴小敏阿姨购买了15袋，赠送了5袋；
设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则
依题意得，，
解得，
答：此时店铺的一袋茉莉香茶为60元．
【典例02】（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下：
(1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由；
(2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式；
(3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？
【答案】(1)不能，理由见解答
(2)
(3)300秒
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征和待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
（1）分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征判断即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）根据题意列关于的不等式并求其解集即可．
【详解】（1）解：初中所学函数不能很好地表示随变化的规律．
理由如下：
∵当自变量的增加值相同时，的增加值不同，
∴不是的一次函数，
∵与的积不是一个定值，
∴不是的反比例函数，
∵当自变量的增加值相同时，相邻值的增加值的差不相同，
∴不是的二次函数，
∴初中所学函数不能很好地表示随变化的规律．
（2）解：设，即（为常数，且），
将和分别代入，
得，
解得，
∴ y与之间的函数表达式为，
（3）解：根据题意，得，
解得：，
∴跳绳运动持续时间300秒需要休息．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比.
(1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值；
(2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？
【答案】(1)，
(2)有效制冷时间是9分钟
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键．
（1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可；
（2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解．
【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为，
由图象可知，点在函数图象上，
，
解得，，
当时的反比例函数关系式为．
当时，，
解得，；
（2）解：当时，，
解得：，
设当时的一次函数关系式为，
由图象可知，点，点在函数图象上，
则，
解得：
当时的一次函数关系式为，
当时，，
解得，，
（分钟）．
答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是9分钟．
【变式02】（2025·广东汕尾·一模）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为．
(1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格：
①表格中的___________；
②请在图3中画出对应的函数图象；
(2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
(3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由．
【答案】(1)①1；②见解析
(2)增大
(3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解；
②依据题意，根据表格数据描点即可得解；
（2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解；
（3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解．
【详解】（1）解：①由题意，将代入中，
∴，
．
故答案为：1．
②图象如下图所示，即为所求．
；
（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，
又∵I随R的增大而减小，
∴I随着m的增大而增大．
故答案为：增大．
（3）解：不能，理由如下：
由题意，设（，b为常数） 将，代入，得，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵由（2）知I随着m的增大而增大，
∴当时，．
∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量．
【变式03】（2025·广东佛山·二模）综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下：
【问题解决】
(1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
(2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10．
①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3）
【答案】(1)
(2)①现有装置不能产生推力，详见解析；②当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力
【分析】本题主要考查实际问题与反比例函数和解一元一次方程，
（1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度；
（2）①根据保持风速不变，可求得现有装置能产生的最大推力为60，
②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可．
【详解】（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
现有装置不能产生推力；
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
题型04 一次函数与反比例函数的比大小取值范围问题
典例引领
【典例01】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质及两函数图象交点的应用，解题的关键是利用正比例函数和反比例函数的对称性确定两函数在第三象限的交点横坐标，再结合图象判断时的取值范围．
先根据正比例函数（）过一、三象限，反比例函数（）过一、三象限，可知两函数图象的交点关于原点对称；由第一象限交点A的横坐标为4，可得第三象限交点的横坐标为-4；再分象限观察图象，第一象限中当时，第三象限中当时，综合得的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴正比例函数的图象过一、三象限，反比例函数的图象过一、三象限，且两函数图象的交点关于原点对称．
已知两函数在第一象限交于点A（横坐标为4），则第三象限的交点横坐标为．观察图象：在第一象限，当时，；在第三象限，当时，，故时的取值范围是或．
故选：D．
【典例02】（2025·广东肇庆·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，的取值范围为（ ）
A．B．2C．或D．或
【答案】D
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求．
【详解】解：由图象可知，当时，x的取值范围为或．
故选：D．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东揭阳·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】C
【分析】反比例函数与一次函数的图象相交于点，，得到，求得，利用数形结合思想，确定解集即可．
本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，掌握解析式不等式解集的确定是解题的关键．
【详解】解：反比例函数与一次函数的图象相交于点，，
得到，
故，
解得，
故不等式即的解集为或．
故选：C．
【变式02】（2025·广东广州·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．根据反比例函数与一次函数的交点问题解答本题即可．
【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，
点的横坐标为．
根据函数图象可知：当时，的取值范围是或．
故选：B
题型05 一次函数与反比例函数综合：面积问题
典例引领
【典例01】（2025·广东清远·一模）如图，中的，，顶点在第四象限，直角边在轴上，是斜边的中点，连接并延长交轴于点，的面积为，已知点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)如图，点是点关于直线的对称点，点在过点的射线：上，且点位于第三象限内，若的面积是面积的倍，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合，解直角三角形，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意得到，得到，然后利用代入求解即可；
（2）首先求出，然后得出，根据题意得到，如图，过点作，垂足为，交轴于点，得到，进而求解即可．
【详解】（1）由题意，是斜边的中点
在中，，且
，
点在第四象限
点在反比例函数的图象上
；
（2）由题意，点是点关于直线的对称点
把代入，得
在射线的反向延长线上，即，，均在直线上
点是点关于直线的对称点
轴
的面积是面积的倍
如图，过点作，垂足为，交轴于点
，
点的横坐标为
点在直线上
点的坐标为．
【典例02】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．求：
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积．
(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】(1)
(2)，6
(3)，或
【分析】（1）先将B点坐标代入反比例函数中求出m的值，然后将点A点坐标代入可求出A点坐标，接下来结合A与B坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式.
（2）首先令，求出C点坐标，进而将分成两个三角形分别计算面积再加和即可；
（3）观察图象可知A点到原点之间与B点的右边区域符合要求，据此写出答案.
【详解】（1）解：∵的图象与反比例函数的图象相交于点，
∴代入，得，，
解得，
∴，
∴，，代入，得，
解得，
∴
（2）解：由（1）知，，直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
∴由图象看出，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是，或
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东清远·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P是x轴上的一个动点，当的面积为2时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
（1）把点C坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出点B坐标，再根据求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
设反比例函数解析式为，
∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∴；
∵，且的面积为2，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点P的坐标为或．
【变式02】（2024·广东阳江·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的长．
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)3
【分析】（1）利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值，把点的坐标代入即可求得的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；
（2）利用两个函数的解析式求得、的坐标，进一步即可求得的长度；
（3）通过三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，反比例函数、一次函数图像上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，轴，
∴，
∴，
∴反比例函数为，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数为．
（2）
∵过作轴，交过点的一次函数的图象于点，
∴当时；，
∴，，
∴．
（3）
∵，
∴，
∴．
【变式03】（2025·广东广州·二模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边，分别交于点，（不与边的端点重合），连接，，．
(1)若为边的中点，求的值及点的坐标；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)， 点E坐标为
(2)15
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解；
（1）先根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可；
（2）设点D的坐标为，点E坐标为，证明，可得，即，求出 或32（不合题意，舍去），则点D的坐标为，点E坐标为，求出，，即可解答．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，为边的中点，
∴点的坐标为，
代入得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
点E坐标为．
（2）∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点，
设点D的坐标为，点E坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，或32（不合题意，舍去），
则点D的坐标为，点E坐标为，
∴，
∴，，
∴．
题型06 一次函数与反比例函数综合：特殊三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．

(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】(1)把代入求出，再把代入求出k的值即可；
(2)联立方程组求出B点坐标，结合图象即可得时，x的取值范围；
(3)当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到．
【详解】（1）将代入，
得，，
∴,
∴，
将代入，得，，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）联立，解得，，或，
∴，
观察图象可得:当时，；
（3）①当时，轴，
∴；
②当时，
如图，过点A作轴于点D，
则，

∵，
∴，，
∵直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【典例02】（2025·广东揭阳·三模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．

(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)
(3)存在，，或，或或．
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
（1）将代入的得，于是得到反比例函数的解析式为，将，代入解方程组即可得到结论；
（2）过作轴于点，过作轴于点，得到，于是得到结论；
（3）根据点与点关于原点对称，得到，设，①当时，②当时，③当时，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）将代入的得，
反比例函数的解析式为，
将代入得，
，
将，代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）过作轴于点，过作轴于点
，，，，
的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积，
的面积梯形的面积；
（3）延长交反比例函图象于点，
点与点关于原点对称，
，
设，
，，，
①当时，，
，
解得，
，或，；
②当时，，
，
解得，
；
③当时，，
，
解得，
，
综上所述，，或，或或．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东梅州·一模）如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点A．

(1)求a和k的值；
(2)将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接、．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段的长度；
②在线段运动过程中，连接，若是直角三角形，求所有满足条件的m值．
【答案】(1)，
(2)①；②1或5
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，平移的性质，两点间的距离公式，勾股定理，、等，根据两点间的距离公式求出、的值，运用勾股定理进行分类讨论是解题的关键．
（1）先根据待定系数法求出一次函数的解析式，在将点代入求出a值，待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）①根据平移的性质可得点D的纵坐标为1，代入求出点D的坐标，得出平移的距离，求出点C和点和点E的坐标，即可求解；
②根据平移的性质可得，，根据两点间的距离公式求出、的值，结合题意，根据勾股定理进行分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，得=1，
∴一次函数解析式为，
将点代入得：，
∴ ，
将点代入，可得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解∶ ①∵点恰好落在反比例函数图象上，点D是点B平移后的对应点，
∴点D的纵坐标为1，
当时，，解得，
∴，，
∴，
∵点C作轴，交反比例函数图象于点E，
∴，
∴ ，
②若，如图1所示，则，；
若，与题意不符，舍去；
若，如图2所示，设，，
则，
，
，
∵为直角三角形
∴
∴
解得
综上，的值为1或5．

【变式02】（2025·广东河源·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①， ；②
(2)或或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解；
（2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解；
【详解】（1）解：①将代入 得： ，
解得：；
∴反比例函数的表达式为： ；
∴，即：；
将、代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
②设一次函数与轴交于点，如图所示：
由得；
∴
∴
（2）解：设点，
，则，
解得：；
，则，
解得：或（舍）；
，则，
解得：；
综上所述：点P的坐标为或或
【变式03】（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点的直线交反比例函数的图像于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为：
(2)点的坐标为
【分析】本题考查是一次函数与反比例函数的综合，涉及反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的性质并数形结合．
（1）先求出点坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）根据已知条件求出坐标，再求出的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线的解析式和反比例函数的解析即可求解．
【详解】（1）解：将点代入中，
得：，
解得：，
，
将代入反比例函数中，得：，
解得：，
反比例函数表达式为：；
（2）如图，过点作轴于点，
，
，
在中，令，则，
解得：，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，将，代入，
得：，
解得：，
直线的表达式为：，
联立，
解得：（舍去）或，
点的坐标为．
题型07 一次函数与反比例函数综合：特殊四边形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
（1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案；
（2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题；
（3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：过点作轴于，

对于一次函数，
当时，，
，
的面积为1．
，
，
当时，，
，
将点代入反比例函数得：
，
反比例函数解析式为；
（2）解：设，则，
，，
，
，
解得，
点在直线下方的双曲线上，
，
当时，，
；
（3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下：
当时，
解得或，
经检验，或都是方程的根，
，
设，，其中，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
当、为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．

(1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数．
①求的值及点的坐标；
②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由；
(2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数．
①请在图2中画出平行四边形；
②若，求平行四边形的面积；
③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由．
【答案】(1)①，②6
(2)①见解析②36③
【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理解题意是解答本题的关键．
（1）①先判断函数的图象经过点B，求出m的值，设点D的坐标为，代入可得，从而可得点D的坐标；②求出点C的坐标为，可判断点A，点C在反比例函数图象上，从而可得结论；
（2）①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形；
②由可求出点B的坐标，根据中心对称的性质可得出点C的坐标，过点A作于点E，过点B作于点F，根据可得结论；
③根据两点间距离公式求出的长，根据得出，结合求出的值即可．
【详解】（1）解：①若函数过点A，则当时，，
所以，函数不过点A，
∵函数是平行四边形的“”函数，
∴函数过点，
把点的坐标代入得，；
∵轴，
∴设点D的坐标为，代入得，，
解得，，
∴；
②∵四边形是平行四边形，，，
∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的，
所以，点C的坐标为，
∵，
∴点A，C在反比例函数的图象上，
∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时；
（2）解：①如图，即为所画；

②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，

根据中心形的性质得，
∵
∴，
又
∴，
∴
；
③平行四边形可以成为矩形，
∵，
∴，
若四边形是矩形，则有：，
∴
整理得，
又，
∴，
∵，
∴，
联立，
解得，，或（舍去）
∴．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东潮州·一模）如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点.

(1)求k的值；
(2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值.
【答案】(1)
(2)或或
(3)不变，
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式；
（2）由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．
（3）连接，易证，故，，，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，
∴，，
∴，，
∵E为中点，且横坐标为，根据中点坐标的计算方法，
∴，
设，
由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，
则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点，
∴，
∴，
∴，，
∵D点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴反比例函数的解析式为，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设，，
①当为边时：
如图1所示：若为平行四边形，
∵，，则，
解得，
此时，；
如图2所示，若为平行四边形，
∵，，则，
解得，
此时，；
②如图3所示，当为对角线时：，且；
∵，，
∴，
解得，
∴，；
故点Q的坐标为：或或；
（3）解：如图4，连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
四边形中，，而，
∴，
∵四边形内角和为，
∴，
∴，
∴．
【变式02】（2025·广东深圳·二模）如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点．
(1)求值；
(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质，一次函数与反比例交点问题；
（1）根据中点坐标可得代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式为，当时，，得到，设点的坐标为，得到，，，，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论；
（3）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标．
【详解】（1）解：，且点为中点，
∴，
∵在双曲线上，
；
（2）由（1）可得反比例函数解析式为
∵在上，
设
∵四边形是平行四边形，，，
∴
∴
∴，
，
设直线的解析式为，
代入，
∴
解得：
直线的解析式为，
当时，，
，
，
设点的坐标为，
轴，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为；
（3）由（1）知，
反比例函数的解析式为，
点在双曲线上，点在轴上，
设，，
①当为边时：
如图1，若为平行四边形，

则，
解得，
此时，；
如图2，若为平行四边形，

则，
解得，
此时，；
②如图3，当为对角线时，
，且；
，
解得，
，；
故点的坐标为或或．
题型08 一次函数与反比例函数综合：相似问题
典例引领
【典例01】（2025·广东广州·二模）如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，，，双曲线与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．
(1)若点E是AB的中点，求点F的坐标；
(2)将沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作于点．问：与是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，相似比为
【分析】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；
（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为，点F坐标为，即可得，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．
【详解】（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入，可得k=4，
即反比例函数解析式为：，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标=，
∴点F的坐标为（4，1）；
（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为，点F坐标为，
则，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过上的点D，与交于点E，E是的中点，连接．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求直线的解析式．
【答案】(1)点D的坐标为；
(2)直线的解析式为或．
【分析】（1）先求出点的坐标，从而求出反比例函数的解析式，再求出，即可得出点的坐标；
（2）按照和进行分类讨论，计算每种情况对应的点和点的坐标，用待定系数法即可得直线的解析式．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，为的中点，
∴，，．
∴，
∴．
∴双曲线的解析式为，
∵点在双曲线上，
∴．
∴，
∴点的坐标为．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴当和相似时，可分两种情况：
当时，，
即，
∴．
∴易得，即与重合．
此时设直线BF的解析式为，
把点的坐标代入，得，
∴，
∴直线的解析式为．
当时，，
即，
∴,
∴,
∴此时设直线的解析式为，
把，的坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为．
综上所述，若和相似，则直线的解析式为或．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点和点B，与x轴交于点C，且，点D是线段上一点．
(1)求直线与反比例函数的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)若，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】 本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题、求函数的解析式、相似三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键．
（1）设直线交y轴于F，先将代入求得m；再求得直线与坐标轴的交点F、C坐标，得到，，再由等腰三角形的判定得到，进而求得，再将代入中求得，即可求解；
（2）先联立方程组求得点B的坐标，再结合图象求解即可；
（3）利用相似三角形的性质求得，过D作轴于E，则，再利用等腰直角三角形的判定和性质求得，进而求得即可．
【详解】（1）解：设直线交y轴于F，
将代入中，得，
∴反比例函数的解析式为；
对于，当时，，
∴，则，
当时，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，解得，
将代入中，得，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：联立方程组，解得或，
∴，
由图象得：当或时，直线位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或；
（3）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
过D作轴于E，则，
∴，，
∴．
【变式02】（2025·广东江门·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，．
(1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标；
(2)如图2，当，连接，时，求m的值；
(3)当时，若，求b的值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据题意得到，两点坐标，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据，得坐标，可求出直线的解析式，则坐标可表示，根据三角形面积的计算即可求解；
（3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即可知，根据两点之间距离的计算得到，，，，由，得到，由此列式求解即可．
【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为，
，
点是的中点，且，
，
解得，
，
把点代入反比例函数解析式得，，
解得，，
反比例函数解析式为，
把点代入一次函数解析式得，，
解得，，
一次函数解析式为，
联立反比例函数、一次函数解析式得，，
解得，，，
；
（2）解：当时，同理，，
点是的中点，且，
点的横坐标为，纵坐标为，即，
点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，
，，
解得，，，
一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，，
，
如图所示，过点作轴于点，
，，
，，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，即，
，
，
整理得，，
，
解得，或，
或，
解得，或；
（3）解：当时，一次函数解析式为，
把点代入得，，
，则，
，则点，，
，
把点代入得，，
，
反比例函数解析式为，
，
解得，，，
，
当时，，即设一次函数与轴交点，
，
同理，，
，
，则，
设直线的解析式为，
，
解得，，
直线的解析式为，
当时，，即，
由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
，
整理得，，
，
当时，，
，，如图所示，
当时，，
，，如图所示，
若，的值为或．
题型09 一次函数与反比例函数综合：三角函数问题
典例引领
【典例01】（2025·广东湛江·二模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，直线经过点、点，反比例函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出此反比例函数的图象．
(3)直接写出的值为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，画反比例函数图象，求锐角的余弦值，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求直线解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，选取画出反比例函数图象，即可求解；
（3）根据矩形的性质以及勾股定理得出，进而证明，即可求解．
【详解】（1）解：直线经过点、点
将、点代入得
解得
一次函数的表达式为
（2）解：∵反比例函数的图象经过点．
∴，
∴
如图所示，选取
（3）解：∵、，
∴
∴
∴
∵四边形是矩形，
∴
∴
∵，即
∴
故答案为：．
【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）如图，点，在反比例函数的图象上，经过点A、的直线与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)若，完成下列填空：
①______，______．
②将反比例函数的图象向上平移个单位长度，所得的图象的函数解析式为_____．
③若正比例函数与反比例函数交于点、，以为斜边作等腰，则点所在的图象的函数解析式为______．
(2)连接、，若，求点到直线的距离．
【答案】(1)①-2；8；②；③
(2)
【分析】（1）①根据点A坐标，利用待定系数法求出k，再求出B点坐标即可；
②将反比例函数y=的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为；
③如图1中，作MPy轴于P，EQx轴于Q，证明OPMOQE，推出，设点E坐标为(x，y)，列出式子进而求解即可；
（2）作AEy轴于E，BFx轴于F，如图2中，在RtAOE中，，在RtBOF中，，而，所以，根据m+n=0得出m与n的值，进而求解即可．
【详解】（1）①∵A(2，4)，
∴4=，
∴k=8，
∵B(-4，n)在，
∴n=-2，
故答案为：-2；8；
②将反比例函数y=的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为．
故答案为：．
③如图1中，作MPy轴于P，EQx轴于Q，
可得，
∵以为斜边作等腰，
∴OM=OE，
又∵，
∴，
在OPM和OQE中，
，
∴OPMOQE，
∴，设点E坐标为(x，y)，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）作AEy轴于E，BFx轴于F，如图2中，
在RtAOE中，
，
在RtBOF中，
，
而，
∴，
又∵m+n=0，
解得m=2，n=-2，
则A(2，4)，B(-4，-2)，
设直线AB的解析式为y=px+q，
把A(2，4)，B(-4，-2)代入得，，
解得，
∴直线AB的解析式为y=x+2，
∴C(-1，0)，D(0，1)，
∴是等腰直角三角形，
又∵CD=，
∴点O到直线AB的距离=．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线与交于点，点的坐标为，轴于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）若将矩形向下平移个单位，使点落在反比例函数的图象上，求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据待定系数法将把点代入即可求出的值；
（2）在中，由勾股定理可计算的长，根据矩形性质可知，从而求出B点坐标，再由反比例函数求出矩形向下平移后对应点坐标即可解答；
（3）由矩形性质可知，，根据（2）可得D点坐标，在中求出即可．
【详解】解：（1）把点代入，得
．
解得．
（2）∵，，轴于点．
∴，，．
由勾股定理，得
∵四边形是矩形，
∴．
∴点的横坐标为，
由，知反比例函数的解析式为
当时，，
∴下移的距离．
（3）∵四边形是矩形，
∴，，
∴点的横坐标为:，
∴．
∵，，
∴，，
由勾股定理，得．
∴．
【变式02】（2025·广东茂名·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，将直线绕点A顺时针旋转交x轴于点C．交y轴于点E．
(1)求一次函数的表达式；
(2)设点D为反比例函数的图象与直线的唯一公共点，连接，证明：；
(3)在（2）的条件下，点P为反比例函数位于第二象限图象上的动点，且点P在点D上方，连接交直线于点F，并将射线绕点O顺时针旋转交反比例函数的图象于点Q，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）待定系数法直接求解即可；
（2）求出直线得解析式，联立直线和反比例函数的解析式，根据只有一个交点，求出的值，进而求出点的坐标，过点D作轴于H，推出，进而推出，即可．
（3）先证相似，可得面积比即为相似比的平方得到边的数量关系，然后设未知数，解方程后求出函数解析式，最后联立解析式求交点坐标即可．
【详解】（1）解：中，令，
∴，
∴．
∵，直线过点A，B，
∴，解得．
∴一次函数的表达式为：．
（2）证明：，
，
∵直线AB的解析式为，
，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴直线的解析式为，
由，得，
∵只有唯一公共点，
∴，
∴，
∴，
由，
解得，
∴，
过点D作轴于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）作轴于点M，作轴于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
当P在D上方的图像上，过点D作交于点G，
∴．
如图，过点G作轴于点H，过点D作交于点I，
同法可得：．
∴．
设，，则，，
∴．
∴．
∴，
同（2）法可得：直线的解析式为：．
联立，得或（不合题意，舍去）．
∴P点坐标为．
题●型●训●练
1．（2025·广东河源·二模）已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集，先求出一次函数和反比例函数的交点横坐标，根据函数图象分析得出答案即可，熟练掌握根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数和反比例函数，
∴时，，
整理得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，
如图，画出图象观察分析，
∴当时，的取值范围为或，
故选：A．
2．（2025·广东·模拟预测）一次函数与反比例函数（，）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质．根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】解：当时，，或，．
当，，则一次函数经过一、二、三象限，反比例函数（，）经过一、三象限，故选A符合；
当，时，则一次函数经过二、三、四象限，反比例函数（，）经过一、三象限，故排除B；
当时，，或，．
当，时，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数（，）经过二、四象限，故排除C；
当，时，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数（，）经过二、四象限，故排除D．
故选：A．
3．（2025·广东清远·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键．解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入即可求得b的值．
【详解】解：联立，
解得或，
∵，
∴，即点的坐标为．
如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴，即点的纵坐标为2．
将代入，得，即点的坐标为．
由平移的性质得直线的解析式为，
将点代入，得．
故选：A．
4．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________．
【答案】
【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键．
先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可．
【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点，
当时，，当时，
∴，
∴，
∵为线段的中点，
∴点，
∵直线是第一象限的角平分线，且，
∴直线垂直直线，
∵对于，当时，，
∴在直线上，
∴当时，线段最小，此时点P在直线上，
∵点P在反比例函数的图象上，
联立与得：
，解得：或，
∴点，
∴，，
∴的最小值为．
故答案为：
5．（2025·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解；
【详解】函数与的图象交于点
故答案为：．
6．（2025·广东惠州·一模）如图所示，中，为上一点，且．双曲线经过，两点．若．则___________．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
过点作轴，过点作轴，垂足为，则，可得，由双曲线经过，两点，得到，设，可求直线，继而得到，那么，即可求解．
【详解】解：过点作轴，过点作轴，垂足为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵双曲线经过，两点．
∴，
∴，
设，
设直线，
∴，
解得：，
∴直线，
当，则，
解得：，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线（）于点，，交轴于点，交轴于点，已知轴于点，轴于点，当四边形的面积为5时，则的值是______．
【答案】5
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出四边形的面积是解题的关键．
设直线与双曲线的交点为和，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求得，，然后利用四边形的面积梯形面积的面积列式计算即可．
【详解】解：由题意，设直线为，
∴交轴于点，
设直线与双曲线的交点为和，
，
解得，
，
∵四边形的面积梯形面积的面积，
，
解得．
∴的值为5．
故答案为：5．
8．（2025·广东韶关·二模）已知点是反比例函数和一次函数上的一点，则点到原点的距离为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，联立函数解析式是解题的关键．
联立，整理得，结合题意可知，，利用勾股定理表示出，整体代入即可求解．
【详解】解：联立，
整理得：，
∵点是反比例函数和一次函数上的一点，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∴点到原点的距离为．
故答案为：．
9．（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，点B在直线上，则的最小值为______．
【答案】
【分析】如图，过作直线的平行线：直线，当直线与的唯一交点为，且直线时，最小，可得：，此时方程有两个相等的实数根，求解（舍去），求解，过作于，证明，可得，从而可得答案.
【详解】解：如图，过作直线的平行线：直线，
当直线与的唯一交点为，且直线时，最小，
联立，
∴，
整理得：，此时方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：（舍去），
∴直线，
如图，记直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当，则，当，则，则，
∴，，
∴，
∴，
记直线与轴交于点，
过作于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值；
故答案为：
10．（2025·广东汕尾·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点B．
(1)求a与k的值；
(2)由图象可知，当x______时，；
(3)若点M为x轴上的动点，当的周长最小时，求点M的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，求一次函数解析式，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）先求出点的坐标，待定系数法求出k的值即可；
（2）图象法求出不等式的解集即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点．
【详解】（1）解：把代入，得：；
∴，
∴；
（2）由图象可知：当时，；
（3）∵，
∴当时，，
∴，
如图，作点关于轴的对称点，连接，则，；
∵的周长，其中为定值，
∴当在线段上时，的周长最小，
设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴当时，，
∴．
11．（2025·广东清远·二模）如图，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
(1)求，的值，并求反比例函数的解析式；
(2)设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握交点的意义是解题的关键．
（1）根据直线经过，，两点，可求出，的值，进而求出、两点的坐标，再代入反比例函数的解析式计算即可；
（2）先求出，设，则，由可得，即，求出，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象经过，两点，
，
解得：，
，
，，
将代入反比例函数中得：，
解得：，
反比例函数的解析式为；
（2）如图，
当时，，
解得：，
，
设，则，
的面积为，，
，
，
即，
解得：或，
当的面积为时，点的坐标为或．
12．（2025·广东揭阳·二模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点P在线段的延长线上．
(1)如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图2，连接并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足，求点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的综合应用．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式；设点B的坐标为，则，，根据线段列出方程求出m值即可得到点B的坐标；
（2）根据条件可推出，再证明，利用相似三角形性质列出，即，求出即可得到线段长，继而得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
∴，，
∴反比例函数的解析式为；
设点B的坐标为，则，，
∴，，
∵，
∴，
整理得：，
∴或（不符合题意舍去），
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点P在直线图象上，轴，由（1）可知，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，将，代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为．
13．（2025·广东惠州·二模）实践与研究：
(1)根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图像．
(2)观察两个函数图像，的图像可以由的图像怎么变换得到？
(3)当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图像无交点，试确定的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)将 的图象向右平移1个单位，得到的图象．
(3)
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，函数图象上点的特点；掌握函数图象的画法，数形结合是解题的关键．
（1）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可；
（2）根据函数图象的变换得出平移方法；
（3）分别将代入直线，求出，求出 的图象与y轴的交点为，把代入直线，求出，根据与在轴右侧的图像无交点即可确定的取值范围．
【详解】（1）解：描点，连线，如图即为两函数图像
（2）解：将 的图象向右平移1个单位，得到的图象．
（3）解：因为的图象由 的图象向右平移1个单位得到，
此时动直线与函数图象的交点也向右平移1个单位得到，
将代入直线，得，
当时，，
∴ 的图象与y轴的交点为，
将代入直线得，
故要使得与在轴右侧的图像无交点，则．
14．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．
(1)求一次函数及反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规过点B作，交线段于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
(2)图见解析，9．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法，尺规作图等知识，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）把代入可得，故反比例函数的表达式为，再求出，用待定系数法可得一次函数的表达式为；
（2）以C为圆心，任意长为半径作弧交于E，交于F，以B为圆心，长为半径作弧交于G，再以G为圆心，的长为半径作弧交前弧于H，作射线交于D，点D即为所求；求的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得，
反比例函数的表达式为，
把代入得：，
解得，
，
把，代入得：，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：以C为圆心，任意长为半径作弧交于E，交于F，以B为圆心，长为半径作弧交于G，再以G为圆心，的长为半径作弧交前弧于H，作射线交于D，如图：
点D即为所求；
∵，设的解析式为：，则，
解得，
∴的解析式为：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．
15．（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，点A在点B的左侧，连接，点C为的中点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)设平面内一动点P的坐标为，已知，求的值．
【答案】(1)，
(2)24
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数，中点坐标，求代数式的值，理解题意是解题关键．
（1）将两个函数联立求解即可确定，再由题意即可确定点C坐标；
（2）根据题意得出，然后整理，整体代入计算即可．
【详解】（1）解：联立两个函数
解得：或，
∵点A在点B的左侧，
∴，
∵点C为的中点，
∴即；
（2）由（1）得，
∵，P的坐标为，
∴，整理得：，
∴
∵，
∴原式．考向解读
基础必考题，多为选择/填空，考查k、b的符号与函数图象位置的关联，常结合图象过象限、增减性、图象交点特征判断，侧重数形结合的基础应用。
方法技能
①牢记规律：一次函数y=kx+b，k定增减、b定与y轴交点；反比例函数y=kx，k定图象所在象限；
②根据系数符号逐一排除错误图象，或由图象反推系数符号。
考向解读
核心基础题，选择/解答题均有，考查联立方程求交点坐标，常结合交点个数（0/1/2个）、交点在指定象限、交点到坐标轴距离考查，是综合题的基础考点。
方法技能
①联立两个函数解析式，消去y得到一元二次方程；
②解一元二次方程求x，代回原函数求y得交点坐标；
③根据交点个数判断判别式Δ的符号，根据象限限制确定解的取值范围。
降雪量(毫米）
销售单价（元）
47
45
44
跳绳持续时间（单位：秒）
0
30
60
90
140
…
平均相对心率
40
60
70
76
82
…
考向解读
中档应用题，以解答题为主，考查实际问题中的函数建模，常涉及行程（速度/时间）、工程（工效/工作量）、销售（单价/销量）、几何（面积/边长）等场景，侧重用函数表示数量关系并解决实际问题。
方法技能
①根据实际题意，分别确定一次函数、反比例函数的解析式（求k、b）；
②结合问题要求，代入求值、求取值范围或最优解；
③验证结果的实际意义（如数量为正）。
0
1
2
3
4
5
6
7
．．．
2
1.5
1.2
0.75
0.6
．．．
实验组
风速v（）
旋转角速度ω（）
推力F（N）
1
5
4
24
考向解读
高频基础题，选择/填空/解答题均有，考查结合图象判断函数值的大小关系，核心是“图象上谁在上，谁的函数值大”，常要求求x的取值范围，侧重数形结合能力。
方法技能
①先求两函数交点横坐标（分界点）；
②在平面直角坐标系中，分区间观察一次函数图象在反比例函数图象上方/下方的区域；
③写出对应区域的x取值范围（注意反比例函数x≠0）。
考向解读
中档高频题，解答题为主，考查函数图象与坐标轴、交点围成的图形面积计算，常涉及三角形、四边形，核心是“化斜为直、割补法”，是综合题的常考考点。
方法技能
①求关键坐标（交点、函数与坐标轴的交点、垂足）；
②割补法将不规则图形转化为规则图形（三角形、矩形），或利用“铅锤法、水平宽法”求三角形面积；
③根据坐标求线段长度（横平竖直为边长），代入面积公式计算。
考向解读
难点综合题，解答题压轴小问，考查在函数图象上找动点，使三点构成特殊三角形（等腰、直角、等边三角形，以等腰/直角为主），侧重分类讨论和方程思想。
方法技能
①设动点坐标（结合函数解析式，用一个未知数表示）；
②根据特殊三角形的性质分类讨论（如等腰三角形：两两边相等；直角三角形：勾股定理/斜率乘积为-1）；
③列方程求解，检验点是否在函数图象上并舍去不合题意的解。
考向解读
压轴难点题，解答题最后一问，考查在函数图象上找动点，使四点构成特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形，以平行四边形为主），侧重分类讨论、数形结合和中点坐标公式。
方法技能
①设动点坐标（用未知数表示），确定已知点坐标；
②根据特殊四边形的性质列等式（如平行四边形：对角线互相平分，中点坐标相等）；
③分类讨论不同的顶点组合方式，列方程求解；
④检验点的位置和函数图象的匹配性。
考向解读
压轴中档题，解答题为主，考查函数图象上的三角形与已知三角形相似，常结合坐标求线段长度、角度，侧重相似三角形的判定定理（AA/SAS/SSS）和分类讨论。
方法技能
①求关键点坐标，计算相关线段的长度和角度；
②根据相似三角形的判定定理分类讨论（如AA：找相等的角）；
③利用相似的比例关系列方程，求解动点坐标；
④检验解的合理性。
考向解读
中档综合题，选择/解答题均有，考查结合函数图象求三角函数值，常涉及函数图象与坐标轴、交点构成的直角三角形，侧重三角函数的定义和坐标求线段长度。
方法技能
①找直角三角形（利用函数与坐标轴的垂直关系，或作垂线构造直角）；
②根据点的坐标求直角三角形的三边长度（横平竖直为直角边）；
③根据三角函数的定义（对边/斜边、邻边/斜边、对边/邻边）计算三角函数值。
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