热点03 方程、不等式与函数的实际应用-2026年广东地区中考数学二轮专题复习试题（含答案）

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热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 解二元一次方程组
题型02 解分式方程
题型03 解不等式组
题型04 一元二次方程含参数问题
题型05 方程与不等式的综合问题
题型06 方程与一次函数的综合问题
题型07 方程与二次函数的综合问题
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 解二元一次方程组
例1（2025·广东佛山·三模）解方程组：．
例2（2025·广东汕头·三模）解方程组：．
【变式1】（2024·广东·模拟预测）解方程组：
【变式2】（2024·广东·模拟预测）解方程组：
题型02 解分式方程
例1（2025·广东清远·三模）解方程：．
例2（2024·广东·模拟预测）解方程：
【变式1】（2024·广东·模拟预测）解分式方程：
(1)；
(2)；
【变式2】（2025·广东·模拟预测）解分式方程：．
解：方程两边同乘以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项､合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________；
任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程．
题型03 解不等式组
例1（2024·广东·模拟预测）解不等式组
例2（2024·广东·模拟预测）解不等式:
【变式1】（2024·广东·模拟预测）解不等式组．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）解不等式组：
题型04 一元二次方程含参数问题
例1（2024·广东·模拟预测）已知：关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
(2)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
例2（2024·广东汕头·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值．
【变式1】（2025·广东惠州·一模）关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若为该方程的两个实数根，且满足．
①求k的值；
②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积．
题型05 方程与不等式的综合问题
例1（2025·广东珠海·三模）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车、A款车每千米行驶费用a元，B款车每千米行驶费用比A款车多元．
(1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用；
(2)设：小明一家年平均行驶里程为x km，A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：元，请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案．
例2（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元．
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？
【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）年月日是第个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品已知同类图书中每本书价格相同，购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元．
(1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？
(2)经过评选有名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过元，那么科技类图书最多能买多少本？
【变式2】（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克．
(1)若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量．
(2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克
题型06 方程与一次函数的综合问题
例1（2025·广东汕头·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）．
(1)求出在售价为元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
(3)商场能否实现平均每月15000元的销售利润？
例2（2025·广东韶关·一模）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
【变式1】（2025·广东珠海·三模）广州增城是著名的荔枝之乡，优质荔枝品种有“挂绿”“桂味”“糯米糍”“仙进奉”等某荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗进行种植，已知每株挂绿荔枝苗的价格比每株糯米糍荔枝苗的价格贵元，且用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．
(1)求购买每株挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗的价格分别是多少元？
(2)该荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗共100株已知挂绿荔枝苗和糯米糍荔枝苗的成活率分别为和，若要使这批荔枝苗的成活率不低于，且购买荔枝苗的总费用最少，则应购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗各多少株？最少费用是多少元？
【变式2】（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)．
(1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？
(2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？
【变式3】（2025·广东肇庆·二模）滚滚西江，浩浩荡荡至此．一座古老的村庄，一座饱经风雨的天主教堂，以及流传了多年的故事，让上清湾村充满了神秘色彩．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造网红打卡点，推动乡村振兴，上清湾村计划打造特色旅游项目；现需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，且用元钱购买甲种树苗的株数与用元钱购买乙种树苗的株数刚好相等．
(1)求甲、乙两种树苗每株的价格；
(2)现上清湾村计划购买甲、乙两种树苗共株．调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和，要使这批树苗的成活率不低于，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？
题型07 方程与二次函数的综合问题
例1（2025·广东清远·二模）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
(1)求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
(2)今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？
例2（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系，
(1)请直接写出与的函数关系式；
(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【变式1】（2024·广东·模拟预测）某网店以35元/件的进价购进一批纪念品，当售价为60元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件．
(1)求日销售量的平均增长率．
(2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售4件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【变式2】（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位．
(1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m；
(2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．

（20分钟限时练）
一、单选题
1．（2025·广东韶关·二模）不等式组的解集为（ ）
A．无解B．C．D．
2．（2025·广东中山·模拟预测）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·广东韶关·三模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
二、填空题
4．（2026·广东中山·模拟预测）不等式组的最小整数解是___________．
5．（2025·广东东莞·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
6．（2025·广东惠州·二模）若关于的不等式组无解，则的取值范围为___________．
三、解答题
7．（2025·广东东莞·模拟预测）解不等式组：
8．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下：
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
9．（2025·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值．
10．（2025·广东茂名·三模）高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠久而驰名中外．在销售挂绿荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高于80元，商家发现销售量y（千克）与每千克售价（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求关于的函数关系式．
(2)设该商家挂绿荔枝的销售额为（元），当每千克售价定为多少元时，销售额最大？最大销售额是多少？
11．（2025·广东佛山·三模）某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子销售．经过市场调研，、两种品牌粽子销售较好．已知种品牌粽子的单价比种品牌粽子的单价便宜2元，用480元购买种粽子的数量是用360元购买种粽子数量的2倍．
(1)求品牌粽子的单价为多少元？
(2)如果该超市将种品牌粽子的售价定为6元，种品牌粽子的售价定为10元．超市准备购进两种品牌的粽子共500个进行销售，总利润不低于1800元，问超市至多购进种品牌粽子多少个？
12．（2025·广东深圳·模拟预测）某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
13．（2025·广东珠海·三模）研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下．
(1)若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？
(2)若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？
14．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等．
(1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？
(2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？
近三年：根据近几年广东中考试题，“方程、不等式与函数的实际应用”部分的考试方向是突出建模思想与综合应用。试题严格依据课标，高度关注运用函数、方程、不等式解决实际问题的能力，常结合生活情境（如行程、利润、方案设计）或广州本土文化背景设计应用题。在题型上，该板块分布较广：选择题和填空题常考查函数图象与方程、不等式的关联（如利用函数图象解不等式、一元二次方程根的判别式与函数交点问题）；解答题中，实际应用题几乎每年必考，常以一次函数、二次函数或反比例函数为载体，结合方程或不等式进行方案决策与最优化问题求解。此外，函数与几何综合题也常渗透方程思想。
预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在真实情境和跨学科背景下考查模型观念与应用意识。试题可能进一步创新设问方式，例如将函数与方程结合，设计多任务型探究题。考试题型预计保持稳定：选择题中仍会出现函数图象与方程、不等式的综合辨析；填空题可能涉及利用函数模型解决简单实际问题；解答题大概率继续考查函数的实际应用（如利润最值、方案设计），重在检验学生将实际问题抽象为函数、方程、不等式模型并综合运用解决的能力。
解｜题｜策｜略
1. 灵活选择消元法：根据方程组特征选择方法。若同一未知数系数相反或相等，优先用加减消元法；否则可用代入消元法，将方程变形代入求解。
2. 规范步骤求准确：按“消元—解一元一次方程—回代”流程操作，特别注意符号处理和系数化简。
3. 重视检验防增失：将解代回原方程组验证，确保满足每个方程，避免计算失误。
解｜题｜策｜略
1. 转化思想解方程：将分式方程转化为整式方程，去分母时确定最简公分母。若分母是多项式，先因式分解；分子是多项式要看作整体加括号。
2. 规范求解防漏乘：方程两边同乘最简公分母，注意不要漏乘常数项。去括号时若括号前是负号，括号内每一项都要变号。
3. 务必检验防增根：求出整式方程的解后，必须代入最简公分母检验。若最简公分母不为0，则是原方程的解；若为0，则是增根需舍去。
解｜题｜策｜略
1. 先分别求解：准确求出每个不等式的解集，特别注意系数化为负数时不等号方向要改变。
2. 借助数轴定解集：在数轴上表示各解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找”的口诀确定公共部分。
3. 规范表示结果：解集可用不等式形式或在数轴上表示，注意端点用实心点（含等号）或空心圈（不含等号）。
解｜题｜策｜略
1. 紧扣判别式定范围：根据方程根的情况（两个不等实根、相等实根、无实根），利用判别式Δ=b²-4ac建立不等式或等式，求出参数的取值范围。
2. 结合根与系数关系：运用韦达定理表示含参数的对称式（如x₁+x₂、x₁·x₂），再代入条件构造方程求解。
3. 注意分类讨论思想：当二次项系数含参数时，需先讨论系数是否为0（分一元一次方程和一元二次方程两种情况），再运用判别式求解。
解｜题｜策｜略
1. 审题建模抓关键：仔细阅读题目，抓住关键词（如“至少”、“不超过”、“不低于”等），找出隐含的等量关系和不等关系，设出未知数列出方程组和不等式组 。
2. 联立求解定范围：先解方程组求出未知数的表达式，再代入不等式确定参数的取值范围或求最值 。
3. 检验取舍保合理：求出解后，既要检验是否满足方程（组）和不等式（组），又要结合实际情境检验解的合理性（如人数应为整数、价格应为正数等）。
解｜题｜策｜略
1. 求交点建联系：联立方程（组）与一次函数解析式，求出交点坐标。交点坐标同时满足方程和函数关系，是解题的关键桥梁。
2. 利用图象解不等式：根据一次函数与方程（组）的交点，结合函数图象的位置关系（图象在上方则函数值大），确定不等式的解集。
3. 构建模型求最值：在动态问题中，先根据题意建立方程或函数关系，再利用一次函数的增减性（随自变量的变化趋势）求出最值或取值范围。
解｜题｜策｜略
1. 联立方程求交点：将一次函数或方程与二次函数解析式联立，通过解方程组求出交点坐标，这是数形结合的基础。
2. 利用判别式定范围：根据抛物线与直线交点个数，运用判别式Δ建立等式或不等式，确定参数取值范围。
3. 构建模型求最值：在动态问题中，先建立二次函数模型，再利用配方法或顶点坐标公式求出面积、距离等的最值。
第一步：，
第二步：，
第三步：，
第四步：．
第五步：检验：当时，．
第六步：原分式方程的解为．