重庆市綦江中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命题人：刘佳威 审题人：陈昱霏
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知集合 ， ，
故 .
2. 在复平面内，复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数 的代数形式，再利用虚部的定义可以求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以复数 的虚部为 ,
故选：C.
3. 要得到函数 的图象，只需将 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】A
【解析】
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【详解】易知 ，
故要得到函数 的图象，只需将 的图象向左平移 个单位长度.
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】转化 ，再利用两角和的余弦公式即得解
【详解】由题意，
故选：A
【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，
属于基础题
5. 在 中， ，那么此三角形（ ）
A. 解的个数不确定 B. 无解
C. 有一解 D. 有两解
【答案】B
【解析】
【分析】借助正弦定理计算即可判断.
【详解】由正弦定理可得 ，即 ，
由 ，显然 无解，故此三角形无解.
6. 复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】复数 满足 ，其对应的点是以原点为圆心， 为半径的圆上的点，
复数 几何意义是复数 对应的点到点 的距离，
所以 的最大值为 ，
故选：D.
7. 已知 中，若 ，且点 在 上，则
（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】 中，由 ，得 ，
，又 ，且点 在 上，则 ，
所以 .
8. 在 中，角 的对边分别为 ， ， ，则
的内切圆的半径 为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合正弦定理、余弦定理，由三角形的面积公式列方程，化简求得 的值.
【详解】依题意 ，由正弦定理得 ，
，
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,
，由于 ，所以 ，
所以 ，由于 ，所以 .
，
由余弦定理得 ，
，则 ，
，其中 是三角形 内切圆半径，
即 ，解得 .
故选：D
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知向量 ， ，下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 为钝角，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算计算即可.
【详解】对于 A 选项，当 时， ，故 A 选项正确；
对于 B 选项，当 时， ,解得 ，故 B 选项不正确；
对于 C 选项，若 ，则 ，所以 ，所以 C 选项正确；
对于 D 选项，依题意， ，且 ， ，
故 ，故 D 选项错误.
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10. 某个简谐运动可以用函数 ， 来表示，其中部分图象如
图所示，则（ ）
A.
B. 该简谐运动的频率为 2，初相位为
C. 直线 是 的一个对称轴
D. 点 是曲线 的一个对称中心
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象可得 ，选项 A，利用 的图象与性质可得 ，即可判
断选项 A 的正误；选项 B，由频率和初相位的定义，结合 ，即可求解；选项 C，直接
求解 对称轴即可判断 C；选项 D， ，利用 性质，求出
的对称轴和对称中心，即可判断出选项 D 的正误.
【详解】由图知 ，由图像知 ，又 ，所以 ，
又由五点作图法知，第三个点为 ，所以 ，得到 ，
所以 ，
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对于选项 A：设 ，由 ，
得到 ，即 ，
因为 对应的是方程在 轴右侧的第一个与第二个解，故 ,
所以 ，故选项 A 正确；
对于选项 B：因为 ，所以频率为 ，由 知初相位为 ，所以选项 B
错误；
对于选项 C：令 ，解得 ，
当 时， ，故直线 是 的一个对称轴，选项 C 正确；
对于选项 D：因为 ，
由 ，即 ，
故点 是曲线 的一个对称中心，故选项 D 正确；
11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是
重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知 的外心为 ，重心为 ，
垂心为 ，且 ，以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A 选项，作出辅助线，得到 ，由向量数量积公式得到 ；B 选项，
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作出辅助线，利用向量数量积的几何意义得到 ；C 选项，
，故 ，由欧拉线定理可知， ，故 C 项正确；D 选项，由
余弦定理和同角三角函数关系得到 ，由正弦定理得到 ，故
，从而 .
【详解】A 选项，延长 交 于点 ，由于点 是 的重心，
可得 ，
所以 ，故 A 正确；
B 选项，过 的外心 分别作 的垂线，垂足为 ，如图，
易知点 分别是 的中点，
则
，故 B 项错误；
C 选项，因为点 是 的重心，所以 ，
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故
，
由欧拉线定理可知，重心 到外心 的距离是重心 到垂心 距离的一半，
即 ，所以 ，则 ，故 C 项正确；
对 D 选项，作 于 ，则 为 中点，
，
由余弦定理可得 ，则 ，
设外接圆半径为 ，则 ，即 ，
则 ，
则
，故 D 项错.
故选：AC
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，且 与 的夹角为 30°， 为与 方向相同的单位向量，则向量 在向量 上的投影向量
为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的公式计算即可.
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【详解】由已知
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故答案为： .
13. 已知 为锐角， ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得.
【详解】由 ， 为锐角，则 ，
由 为锐角，则 ，又 ，故 ，
则 ，
故
，
又 为锐角，故 .
14. 已知函数 在区间 上恰有 2 个零点，则 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，将问题化为 内恰有 2 个整数，再分类讨论求参数范围.
【详解】由题设 ，且 ，
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由 在区间 上恰有 2 个零点，
只需 内恰有 2 个整数，即 ， ，
当 ，则 ，
当 ，则 ，
当 ，则 ，无解，
同理 时， 均无解，
综上， 的取值范围为 .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知 ．
（1）若 的夹角为 ，求 ；
（2）若 ，求 与 夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助数量积与模长的关系及数量积公式计算即可得；
（2）借助平面向量垂直定义与平面向量夹角公式计算即可得.
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
由 ，故 ，
即 ，则 .
16. 在 中，内角 的对边分别为 ，且
（1）求角 ；
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（2）若 ，且 边上的中线 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得；
（2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得 ，利用余弦定理计算可得
，即可得 、 ，从而可计算出 ，即可得其周长.
【小问 1 详解】
由正弦定理将角化为边可得 ，
即 ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
故 ，即 ，又 ，故 ；
【小问 2 详解】
，则
，即 ，
由余弦定理可得 ，
故 ， ，
则 ，
故 的周长为 .
17. 已知函数 ， 的最小正周期为 ．
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 的值；
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（3）求不等式 的解集．
【答案】（1） ， .
（2） ， ， ， ．
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性；
（2）利用整体代入法可得值域，即可得解；
（3）根据三角函数的性质解不等式即可.
【小问 1 详解】
由题意
，
又函数的最小正周期为 ，则 ， ，所以 ，
即 ，
当 ，即 ， 时， 单调递减，
的单调递减区间是 ， ；
【小问 2 详解】
，则 ，故 ，
，此时 ，即 ，
，此时 ，即 ；
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【小问 3 详解】
由已知 ，即 ，
所以 或 ， ，
即 或 ， ，
所以不等式的解集为 ．
18. 如图，A，B 是单位圆上的相异两定点（ 为圆心）， （ ），点 C 为单位圆上的动
点，线段 AC 交线段 于点 M（点 M 异于点 、B），记 的面积为 ．
（1）记 ，求 的表达式；
（2）若
①求 的取值范围；
②设 ，记 ，求 的最小值．
【答案】（1） （ ）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式和数量积的定义，写出 的表达式；
（2）由 ，将数量积转化为三角函数，求函数值域即可；
利用向量共线将 用 t 表示，求函数的最值.
【小问 1 详解】
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因为 ， ，
所以 （ ）．
【小问 2 详解】
①设 ， ，则 ，
，
所以 ， ，
又 ，所以 ，则 ．
②设 ，则 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
化简得， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 ．
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【点睛】因为 ，M，C 三点共线，所以 表示向量 和 的数乘关系，设
，借助 ，可得 .
19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于 19 世纪提出，其定义如下：设 P 是
内一点，若 ，则称点 P 为 的布洛卡点，角 为 的布洛
卡角.如图，在 中，记它的三个内角分别为 ，其对边分别为 的面积为 S，点 P
为 的布洛卡点，其布洛卡角为 ，请完成以下问题：
（1）若 ，求 的大小及 的值；
（2）已知 的条件下，解下列两个问题：
①若 ，求 的值；
②若 ，求 S.
【答案】（1）
（2）①12；②
【解析】
【分析】（1）根据角的关系求得 ，在 、 中，分别由正弦定理可得
， ，由商数关系求 的值；
（2）由 ，可得 ，对于①在 、
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、 中由余弦定理结合代数运算可得 ，再根
据面积可求 的值；②由面积公式结合余弦定理可得 ，结合①可得
，平方展开运算得解.
【小问 1 详解】
在 中， ，
所以 ，而 为锐角，故 ，所以 ，
所以 ，而 ，故 .
又 ，故 ，
在 中，由正弦定理有 ，所以 ，
在 中，由正弦定理有 ，所以 ，
所以 ，故 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，即 ，
① ，所以
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在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
三式相加得
，
整理得： .
②又
又由①知 ，
所以 ，
故 ，
整理得： ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 .
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