2022-2023学年重庆市綦江区重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市綦江区重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，则，的中点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列是纯虚数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，则与夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某中学高一年级有名女生，现采用按比例分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，已知样本中有名男生，则该中学高一年级的学生数量是(    )

A. 名 B. 名 C. 名 D. 名

5.  化简为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  对高一班的第一学月数学成绩进行抽样调查得到样本数据：，，，，，，，，，，据此估计该班数学成绩的第百分位数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知非零向量，满足，且，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，与平行，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中为非零常数，则(    )

A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同

10.  关于方程，下列说法正确的是(    )

A. 该方程在实数范围内无解 B. 该方程可能有个复数解
C. 是它的一个复数解 D. 是它的一个复数解

11.  下列说法正确的是(    )

A. 长度为的向量都是零向量
B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使
C. 若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角一定为钝角
D. 若，是同一平面内两个不共线的向量，则可以表示该平面内所有向量

12.  已知，且与的夹角满足，则下列向量可能与垂直的是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，则 ______ ．

14.  写出与向量反向的单位向量______ ．

15.  已知点是的重心，则 ______ ．

16.  已知菱形的边长为，则的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算；
已知的模为，求．

18.  本小题分
如图，已知为平面直角坐标系的原点，．
求点和点的坐标；
求向量在向量上的投影向量．

19.  本小题分
綦江区东溪中学，始建于年，位于千年古镇东溪镇，是一所有着悠久历史和深厚文化底蕴并能与时俱进、持续创新的学校东溪中学设施齐全，拥有：米标准环行跑道的塑胶球场；可供人住宿的学生公寓；区内一流的理化生室、微机室、多媒体室、电子阅览室；先进的校园广播电视系统、网络系统和“一卡通”电子消费系统学校的标志性建筑是投资万元并于年投入使用的“飞机楼”飞机楼以展翅腾飞，搏击长空的形象彰显了东溪中学“扶摇直上九万里”的鸿鹄之志．

小华同学为了估算飞机楼的高度，她进行了一番估测：飞机楼底部中点近似处于球场的中心轴上，飞机楼正前方的塑胶球场可近似看作两个等大半圆夹一个矩形的形状，估测得圆的半径为，站在两个半圆圆心记为点，处分别测得对飞机楼顶点的仰角为和．
估算距离；
根据以上数据估算飞机楼高度结果保留位小数可能用到的数据：

20.  本小题分
为了解某中学高一年级语文测试情况，抽取了该校高一年级的位学生的语文测试成绩，做出如图所示的频率分布直方图，并知道分段的学生有人．
求参数和；
根据直方图提供的信息，估计高一年级语文成绩的平均数、中位数和众数假设各分段内的成绩均匀分布．

21.  本小题分
如图所示中，，平分．
求；
若，求的长．

22.  本小题分
已知平面向量
若，求；
当为何值时最小，最小值是多少．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，已知，，
由于，，
则，的中点坐标为．
故选：．
根据题意，由中点坐标公式计算可得答案．
本题考查中点坐标公式，注意中点坐标的形式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：对于复数，，，
当时，为纯虚数，故只有满足定义．
故选：．
由纯虚数的定义直接可得．
本题考查纯虚数的概念，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据向量的坐标即可求出，和的值，然后即可求出与夹角的余弦值．
本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设该中学高一年级的学生数量是名，
由题意可得，
解得．
故选：．
由题意可得，求解即可．
本题考查了分层抽样的计算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
根据向量的加减混合运算计算即可．
本题考查了向量的混合运算，熟练掌握运算公式是解题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：共个数，，故第百分位数为第位数，
该班数学成绩的第百分位数为．
故选：．
根据百分位数的公式计算即可．
本题考查百分位数的计算，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，且，
与的夹角为．
故选：．
根据可得出，得出，然后即可求出的值，进而得出与的夹角．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，
与平行，
，
，
故选：．
根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出．
本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平均数、中位数、标准差、极差，是基础题．
利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．

【解答】

解：对于，两组数据的平均数的差为，故A错误；
对于，两组样本数据的样本中位数的差是，故B错误；
对于，设原样本数据的样本方差和标准差分别为，，新数据的样本方差和标准差分别为，，
因为，，，即，
两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；
对于，，为非零常数，
原数据组的样本极差为，新数据组的样本极差为，
两组样本数据的样本极差相同，故D正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：关于方程，由于它的判别式，
故该方程在实数范围内无解，故A正确；
利用求根公式求出它的根，
故C正确，而、D错误．
故选：．
由题意，利用实系数一元二次方程虚根成对定理，求根公式得出结论．
本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理，求根公式的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：中，由零向量的定义可知A正确；
中，当为零向量时，则结论不正确，所以不正确；
中，两个向量的数量积小于时，当两个向量为反向共线，也符合条件，所以不正确；
中，由向量的基本定理可知，D正确；
故选：．
中，由零向量的定义判断它的真假；中，没有强调为非零向量；中，当向量为反向时，满足条件，判断它的的真假；中，由向量的基本定理判断它的真假．
本题考查向量的定义及向量的基本定理的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，且与的夹角满足，
，可得，
，
，解得或；
或，
当时，结合选项与其垂直的向量为；
当时，结合选项与其垂直的向量为
故选：．
根据已知条件求得，进而求出，再代入向量的夹角计算公式求出，进而求解结论．
本题主要考查向量的夹角，向量垂直，考查计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
反向的单位向量为
故答案为：
与向量反向的单位向量为．
本题考查向量数乘运算的坐标形式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设为的中点，则，又为的重心，
则，所以．
故答案为．
利用向量的三角形法则和重心定理即可得出．
熟练掌握向量的三角形法则和重心定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
的取值范围为．
故答案为：．
可知：，根据进行数量积的运算即可求出的取值范围．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：；
，，，
，，
，． 

【解析】由复数的四则运算法则直接求得；
先由复数的模得到关于的方程，再求出即可得到．
本题考查复数的四则运算，复数的模，共轭复数等知识，属于基础题．
 

18.【答案】解：过作轴，垂足为，过作轴，垂足为，
过作，垂足为，如图所示，

由题可得，
，，，，
，，
则，，
由知，
向量在向量上的投影向量为：
则向量在向量上的投影向量是． 

【解析】结合图象以及已知条件即可求得，坐标；
利用投影向量公式计算即可求得答案．
本题考查平面向量数量积的运算性质，考查投影向量的运算，数形结合思想，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意可得，
；
设，由题意可得，，
，，解得． 

【解析】由已知可得，计算即可；
设，由已知可得，计算即可．
本题考查解三角形在生活中的应用，属中档题．
 

20.【答案】解：，，
由频率分布直方图知，成绩落在分段的频率为，
；
样本的平均数为，
设样本的中位数为，前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
样本的中位数落在内，
，，
分段的小矩形最高，样本的众数为，
估计高一年级语文成绩的平均数为，中位数为，众数为． 

【解析】由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于求出，再由频数样本容量频率求出；
在频率分布直方图中求出样本的平均数、中位数、众数，再由样本估计总体即可得．
本题考查在频率分布直方图中求样本容量、小矩形的高、平均数、中位数、众数等数据特征，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，，，
，，且，
，
由正弦定理得．
：：：，，
，，
又，
在中，，可得，可得，
，可得，可得
由知，
又，
由可得，解得． 

【解析】由题意利用三角形的面积公式以及正弦定理即可求解；
由已知可求，的值，在中，利用余弦定理可求，在中，可求，由，又，联立即可求解的值．
本题考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和方程思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，所以，
因为，
所以，
解得或．
因为，
所以，
所以，
当时，取得最小值为． 

【解析】由向量垂直的坐标表示列方程即可求出答案；
计算，代入向量的模长计算公式，结合二次函数的性质计算可得结果．
本题考查了平面向量数量积的运算以及应用，属于基础题．