重庆市渝北中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚；
2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答：
3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂：
4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写．
一、单项选择题：．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】B
【解析】
【详解】因为向量，，所以.
2. 如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（ ）

A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】根据异面直线的定义判断ABD；根据线线平行可证四点共面，即可判断C.
【详解】由图可知：直线、直线、直线均与直线异面，故ABD错误；
连接，

由题意可知：，，则，
可知四点共面，所以直线与直线不是异面直线，故C正确.
3. 如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】平行四边形．中，，，为的中点，所以.
4. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题：
①若，，则或；
②若，，则；
③若，，，，则；
④若，，，则或与异面
以上命题正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【详解】对于①，若，，则或，所以①正确；
对于②，若，，则与平行或异面，所以②错误；
对于③，缺少与相交的条件，无法推出，所以③错误；
对于④，若，，，则或与异面，所以④正确.
5. 已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合圆台侧面积公式求上下底面半径以及母线长，进而可得圆台的高，即可得体积.
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为，
则，解得，则，
所以该圆台的体积为.
6. 直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】
将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图
在左图中，由于，，得是等边三角形，故．
在右图中，．
两点之间线段最短，连接，最小为．
7. 在中，角，，的对边分别为，，满足，，分别是与，同向的单位向量，，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰（非等边）三角形或直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【详解】由，得，故．
由倍角公式，
化简得，
又由可得，
由余弦定理，代入，
化简得，即，故是等边三角形．
8. 若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知点是的重心，根据三点共线结合向量运算可得，，结合题意可得，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，即，可知点是的重心，
则，
因为三点共线，则，且，
可得，
又因为，则，可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 已知，，若，则
B. 若，，则在方向上的投影向量的坐标为
C. 若，，，则点的坐标为
D. 若，则与同向的单位向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【详解】对于选项A：因为，，
若，则，所以，故A正确；
对于选项B：若，，则，，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故B正确；
对于选项C：若，，，
则点为线段的中点，对应的坐标为，即为，故C错误；
对于选项D：若，则，
所以与同向的单位向量的坐标为，故D正确.
10. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ）
A. 点的轨迹经过线段的中点
B. 点的轨迹长度为
C. 直线与直线为异面直线
D. 三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接，，则，
且平面，平面，所以平面.
又因为是中点，则，
且平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，
所以点的轨迹为线段（不含端点）.
对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确；
对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误；
对于C，因为平面，平面，，
所以直线与直线为异面直线，故C正确；
对于D，因为平面，点是棱的中点，
则，所以D正确；
11. 在中，角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（ ）
A. 是的充要条件
B. 若，则为等腰三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 已知，，若有两解，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用大角对大边、正弦定理可判断A选项；利用正弦函数的单调性与对称性可判断B选项；正弦函数性质结合锐角三角形定义可判断C；利用正弦定理判断D.
【详解】对于A选项，由和大角对大边，
得，A对；
对于B选项，因为、，则、，
因为，所以或或，
若，则；若，则；
若，则，这与的内角和定理矛盾.
综上所述，为等腰或直角三角形，B错；
对于C，若为锐角三角形，则，则，
因函数在上单调递增，所以，
同理可得，
则成立，故C正确；
对于D，，
根据正弦定理，
因为有两解，
则，解得，
则的取值范围是，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将腰长为的等腰直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得旋转体的体积为______．
【答案】##
【解析】
【详解】可知所得旋转体为两个共底面的圆锥的组合体，且底面半径为1，高为1，
所以所得旋转体的体积为.
13. 已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，再求球的表面积．
【详解】因为，则，可知的外接圆半径，
设该球的半径为，则，即，解得，
所以该球的表面积是.
14. 在平面四边形中，是等边三角形，，在直线两侧，，（，为常数），则当四边形的面积取得最大值时，______．
【答案】
【解析】
【分析】设，利用余弦定理整理可得，结合面积公式整理可得四边形的面积，进而分析最值.
【详解】设，
在中，由余弦定理可得，
则四边形的面积
，
因为，则，
当，即时，取到最大值，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出义学说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足：，，与的夹角．
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据数量积可得，根据数量积的运算律求模长；
（2）根据向量垂直可得，根据数量积的运算律运算求解；
（3）根据向量平行可知存在实数满足，结合平面向量基本定理运算求解.
【小问1详解】
因为，，与的夹角，则，
可得，所以.
【小问2详解】
因为，则，
即，解得.
【小问3详解】
因为，则存在实数满足，
可得，解得，
所以.
16. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）设，连接，可得，进而可得线面平行；
（2）根据题意可知点到平面的距离相等，转换顶点结合锥体体积公式运算求解.
【小问1详解】
设，连接，
由题意可知：为的中点，且为的中点，则，
且平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
由题意可知：为的中点，则点到平面的距离相等，
则三棱锥的体积.
17. 记中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求的大小；
（2）若，的周长为6，求的面积；
（3）若，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用射影定理得到，再结合诱导公式与三角形性质求解即可.
（2）结合题意得到，再利用余弦定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可.
（3）利用余弦定理得到，再结合基本不等式建立不等式，进而求解最大值即可.
【小问1详解】
因为，
所以由射影定理得，得到，
则，则，
而，得到，解得.
【小问2详解】
因为， 的周长为6，所以，
由余弦定理得，则，
即，解得，则.
【小问3详解】
由已知得，则由余弦定理得，
则，即，令，
可得，即，由基本不等式得，
当且仅当时取等，则，解得.
18. 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足：，．
（1）证明：；
（2）若，，求的值；
（3）求的取值范围（以下公式供选用：）．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用余弦定理结合倍角公式可得，进而分析证明即可；
（2）根据题意可得，，进而可得；
（3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合余弦函数有界性运算求解.
【小问1详解】
因为，由余弦定理可得，
则，
且，则，可得或，
若，且，则，
与题意相矛盾，所以.
【小问2详解】
因为，由正弦定理可得，即，
且，则，可得，
且，所以.
【小问3详解】
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，可得，
所以的取值范围为.
19. 如图，在中，点在线段上，为等边三角形．
（1）若，，，，求线段的长度；
（2）若，，，求线段长度的最大值；
（3）若，，平分，设与内切圆半径分别为与，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题设得，应用向量数量积的运算律求模长即可得；
（2）由，设，应用向量数量积的运算律、三角恒等变换及辅助角公式得的解析式，即可求最大值；
（3）设，，与内切圆半径，角平分线的性质得，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据范围即可求出结果.
【小问1详解】
由已知，，
则，
又，，，
所以；
【小问2详解】
由已知，，
则
，
又，，，
所以
，
，
令，则，
所以
，，
当，最大；
【小问3详解】
已知，，平分，
由角平分线的性质有，则，
设，，与内切圆半径，
由，即，得，
由，，
则，
又，，
所以，则，
由，
，
所以，
令，则，
而，则，