重庆市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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数学试题卷
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、单选题（本大题共 8 个小题，每题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 40 分）
1. 若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转 ，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆
的两焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得 ，结合离心率公式即可求解.
【详解】由题意 .
故选：B.
2. 一组数据 78，70，72，79，80，84，86，88，81，94 的第 70 百分位数是（ ）
A. 84 B. 85 C. 86 D. 88
【答案】B
【解析】
【分析】首先要将数据从小到大排序，然后根据公式 （ 为数据个数， 为对应的百分数）计
算出指数 ，再根据 的情况确定第 百分位数.
【详解】给定的数据为 78，70，72，79，80，84，86，88，81，94，排序后为 70，72，78，79，80，81，
84，86，88，94.
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已知数据个数 ， ，根据公式 .
当 是整数时，第 百分位数是第 项与第 项数据的平均值.
这里 是整数，所以第 70 百分位数是第 项和第 项数据的平均值，即 .
这组数据的第 70 百分位数是 85.
故选：B.
3. 若曲线 （其中 e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设切点为 ，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，
可得到 ，有两条切线转化为 有两个不等的实根，
即可求出 a 的取值范围，进而得到正确选项.
【详解】设切点为 ， ，
所以切线的斜率 ，
则此曲线在 P 处的切线方程为 ，
又此切线过坐标原点，所以 ，
由此推出 有两个不等的实根，所以 ，解得 或 ，
故选：A．
4. 某人有 2 个孩子：在已知其中一个是男孩的条件下，另外一个是女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件概率公式即可求解.
【详解】设两个孩子分别为 ，其中一个是男孩的条件下，则总共有： 是男孩且 是女孩，或 是女孩
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且 是男孩，或 都是男孩三种情况，
所以已知其中一个是男孩的条件下，另外一个是女孩的概率为 .
故选：C.
5. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 31 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】变形得 ，再根据二项展开式的通项公式即可得到答案.
【详解】由题意变形得 ，
则根据展开式通项得 ，代入 ，
则常数项为 .
故选：C.
6. 2025 年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这 5 位
同学相约一起去电影院观看，要求 5 人坐在同一排相邻的 5 个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁
相邻，则不同的座位排列方法有（ ）种.
A. 32 B. 28 C. 24 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算.
【详解】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有 种，
当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有 种，
所以不同的座位排列方法的种数是 .
故选：B
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7. 英国数学家泰勒给出如下公式： ，其在数学、物理、工程等领域有广泛应
用，则 的近似值（结果精确到 0.001）最接近为（ ）
A. 0.323 B. 0.325 C. 0.327 D. 0.329
【答案】C
【解析】
【分析】对 求导可得 ，继而将 代入，近似计算，即
得答案.
【详解】由题意知 ，
两边求导可得 ，即 ，
则 ，
故选：C
8. 若关于 x 的方程 （其中 、 ）有实根，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先将方程转化为 ，再通过构造几何意义，转化为求函数 的最大
值，再结合几何意义，即可求解.
【详解】设 的零点为 ，则 ，即 ，
设 为直线 上的一点，
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坐标原点 到直线 的距离为 ，因为 到原点的距离 ，
下求 的最小值，令 ，则
在 为减函数，在 为增函数，即 ，
此时 ，所以 的斜率为 ，
此时 的最小值为 ，此时 ，
故选：C.
二、多选题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 有两个极值点
B. 直线 是函数 的切线
C. 的对称中心是
D. 有且仅有三个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，可判断极值点，判断 A；根据导数的几何意义可判断 B；计算
可判断 C；根据函数的单调性结合零点存在定理以判断 D.
【详解】因为函数 ，所以 ，
令 ，
当 或 时， ， 在 上都单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
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故 为函数的极大值点， 为函数的极小值点，
即 有两个极值点，A 正确；
不妨设直线 是曲线 的切线，则满足 ，
则 ，即切点坐标为 ，
而 ，
说明假设不成立，即直线 不是曲线 的切线，B 错误；
因为 ，
故点 是曲线 的对称中心，C 正确；
由 A 可知 有两个极值点 ，且 ，
，
结合 的单调性可知函数在 各有一个零点，
即函数 有 3 个零点，D 正确；
故选：ACD
10. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 ，过 的直线交抛物线 于 ，
两点，交直线 于点 ， ， ，则（ ）
A. 的面积的最大值为 2 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 A，设直线 ，联立抛物线方程可得 ，根据
结合韦达定理求解即可；对 B，根据韦达定理判断即可；对 C，根据韦达定理结合
抛物线方程判断即可；对 D，根据题意结合平面向量的坐标运算可得 ，再代入韦达定理求解即可.
【详解】设直线 ，由 得： ，
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则 ；
选项 A：
应是最小值为 2，故 A 错误；
选项 B： ，故 B 正确；
选项 C： ， ，则 ，故 C 正确；
选项 D：由 ， ，
得： , ，
∴ ，故 D 正确.
故选：BCD
11. 在正方体 中，若 A 点处有一个质点，随机的沿正方体的各条棱或面对角线或体对角
线移动到其它顶点为一次移动，且每个顶点移动到其它任意一个顶点的概率都相同，设质点移动 n 次后还
在底面 ABCD 的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 为等比数列 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意找出点在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面 概率即可逐步分析计算
确定 A，B，通过构造等比数列及等比数列通项公式的计算判断 C,D.
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【详解】
依题意，每一个顶点随机的沿正方体的各条棱或面对角线或体对角线移动到其它顶点，共有 7 个顶点，其
中 3 个在同一底面，
所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为 ，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概
率为 ，
所以 ，故 A 选项错误；
对于 B： ，故 B 选项正确；
对于 C：因为 ，
所以 ， ， ， ，
所以 不为等比数列，故 C 选项错误；
对于 D：由于 ，
且 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，故 D 选项正确.
故选：BD.
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若随机变量 且 ，则 ______.
【答案】0.34
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【解析】
【分析】根据正态分布的性质，先确定正态分布曲线的对称轴，再利用正态分布曲线的对称性求出
.
【详解】已知随机变量 ，所以正态分布曲线关于直线 对称.
因为正态分布曲线关于直线 对称，所以 .
已知 ，所以 .
由于正态分布曲线关于直线 对称，所以 .
又因 ，且 ，
所以 .
故答案为：0.34.
13. 直线 l 与双曲线 交于 A、B 两点，且 l 过该双曲线的右焦点.若满足条件 的
直线 l 有且仅有 4 条，则 a 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出过右焦点与两支相交及与右支相交的最短弦长，再结合已知建立不等式求解即得.
【详解】过右焦点的直线与双曲线 两支相交所得的最短弦即为双曲线的实轴，长为 ；
过右焦点的直线与双曲线 右支相交所得的最短弦即为双曲线的通径，长为 ，
依题意， ，而 ，解得 ，
所以 a 的取值范围是 .
故答案为： .
14. 已知有一组数据共 25 个，其平均数是 6，方差是 4，现去掉其中 5 个数据：5，6，8，10，11，则余下
的 20 个数据的方差为______
【答案】2 45
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【解析】
【分析】设去掉其中 5 个数据前后的方差分别为 ，这 25 个数据为 ，首先
求得 .
【详解】设去掉其中 5 个数据前后的方差分别为 ，这 25 个数据为 ，
由题意 ，
，
.
故答案为：2.45.
四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近 5 年两国交易额（单位：百亿元），结果见
表：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码 x 1 2 3 4 5
交易额 y 9 12 17 21 26
（1）统计学中常用线性相关系数 r 来衡量两个变量 y 与 x 之间线性关系的强弱.一般认为：若
，则负相关性很强；若 ，则正相关性很强；若
，则相关性一般；若 ，则相关性很弱.请用表中数据计算出
r，并说明 y 与 x 的线性相关程度.
（2）求出 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 2025 年两国的交易额.
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参考数据： ；
参考公式： ；回归方程 ， ， .
【答案】（1）0.998；变量 与 的线性相关程度很强；
（2） ； 百亿元.
【解析】
【分析】（1）直接将数据代入公式计算，即可得答案；
（2）利用最小二乘法求得 关于 的线性回归方程为 ，再将 代入，即可得答案；
【小问 1 详解】
由题意，根据表格中的数据，
可得： ， ，
则 ，
，
所以
所以变量 与 的线性相关程度很强.
【小问 2 详解】
由（1）可得 ， ， ，
又由 ，
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所以 ，则 ，
可得 关于 的线性回归方程为
令 ，可得 ，
即 年两国的交易额交易额 百亿元.
16. 2025 年 1 月，某视频 APP 发布，该模型在全球范围内引发广泛关注，现为了对其产品用户的使用行为
进行统计分析，收集了若干名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日
使用时长不小于 60 分钟的用户称为“忠实粉丝”.
（1）求 a 的值：
（2）采用分层抽样的方法，已经从样本中每日使用时长在 ， 的用户中抽取出了 7 人，现
从这 7 人中随机抽取 2 人作进一步分析，记 X 为 2 人中忠实粉丝的人数，求 X 的分布列和期望.
（3）用样本频率估计总体概率，从该产品所有用户中随机抽取 10 人，记 为其中“忠实粉丝”的人数，
时对应的概率记为 ，则 k 为多少时 最大？
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率和为 1 求解可得 ；
（2）根据分层抽样性质可得抽取的 7 人中，有 4 人是忠实粉丝，则 可取 0，1，2，进而可得分布列与数
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学期望；
（3）由题意 ，再根据二项分布的公式求解最值即可.
【小问 1 详解】
由 ，解得 ．
小问 2 详解】
由频率分布直方图可知， 与 的用户数之比为 3：4，
所以用分层抽样抽取的 7 人中，有 4 人是忠实粉丝，从 7 人中任取 2 人， 取 0，1，2，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 ；
【小问 3 详解】
用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取 1 人，他为忠实粉丝的概率为
所以
，解得： ，又 ，故 时概率最大.
17. AI 正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对 DeepSeek 的使用情况，随机调查了 200 人，得
到如下数据：
使用情况
学历 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
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本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
（1）依据 的独立性检验，能否认为 DeepSeek 的使用情况与学历有关？
（2）某校组织“AI 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有 3 道题目，甲、乙同
时依次作答，3 道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得 0
分；若一人答对而另一人答错，答对的得 10 分，答错的得 分.比赛结束后，3 道题的得分之和为该选手
的最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为
，乙正确回答每道题的概率为 .
（i）求甲的总分为 10 分的概率；
（ii）求在甲的总分为 10 分的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率.
参考公式与数据： ，其中 .
临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）认为 DeepSeek 的使用情况与学历无关
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）先假设 DeepSeek 的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和 6.635
去比，根据独立性检验的理论即可做出判断；
（2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，再根据 重伯努利实验的概率计算式计
算即可；
（ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲得分是 10 分的同时乙恰好回答对 1 道题的概率，
再按照条件概率的计算式计算即可.
【小问 1 详解】
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零假设为 ：DeepSeek 的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得 ，
依据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此可以认为 成立，即认为 DeepSeek 的使用情况与学历无关；
【小问 2 详解】
（ⅰ）当甲，乙同时回答第 道题时，甲得分为 ，
，
，
，
比赛结束甲的得分 的取值为 10 的概率为：
，
（ⅱ）设 “比赛结束后甲总分是 10 分”， “比赛结束时乙恰好答对一道题”，
由（i）可得 ，
，
则 ，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率为 ．
18. 已知双曲线 ，点 .
（1）过点 P 分别作 和 垂直于双曲线的两条渐近线，A、B 为垂足，求 的面积：
（2）若 C、D 两点都在双曲线上运动，且 ，作 于点 H，求证：动点 H 在定圆上，并
求出此定圆的方程.
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【答案】（1） ；
（2）证明见解析，定圆的方程为 .
【解析】
【分析】（1）求出渐近线方程得 ，再根据点到直线的距离的公式和面积公式即可得到答案；
（2）首先考虑直线 的斜率存在时，采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再化简 并
代入韦达定理式，求解得 或 ，再分别验证，最后再考虑直线 的斜率不存在时的情
况即可.
【小问 1 详解】
两渐近线 的方程分别为 ，即 ．
则 ，
设 的倾斜角为 ，则 ．
故 ．
从而 ．
【小问 2 详解】
①若直线 的斜率存在时，设 ，联立 ，消 得：
，设 ，则 .
由
即 ，
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即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
解得 或 ，
直线 的方程为： （不符，舍）或 ．
直线 过定点 ．
②若直线 的斜率不存在时，设 ，联立 ，
得 或 ，
即 ，
由 得 或 （不符，
舍去）．
直线 的方程为 ，此时也过定点 ．
在 中，取 中点 ，则 ．
故动点 在以点 为圆心，2 为半径的定圆上，
且此定圆的方程为 ．
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19. 已知函数 （其中 e 为自然对数的底数， ）.
（1）若函数 在其定义域上不单调，求证： .
（2）若 对任意 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得 ， ，只需证明 ，利用导数分析
单调性可证明结论；
（2）不等式等价转化为 ，对 分类讨论可得结果.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
当 时， ， 在 上为减函数，不合题意.
当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，符合题意，
此时 ，
要证 ，只需证 ，即证 ，
不等式 等价于 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，故 .
小问 2 详解】
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由题意得，
，
令 ，则等价于 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，则 ， 在 上单调递减，
当 时，令 ，则 ，故 在 上单调递增，
又 ，所以存在唯一的 ，使得 ，
且当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调
递增，
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，故存在唯一 ，使得 ，
从而 ；
由（1）知：①当 时， 是减函数，故 的值域为 ，此时存在 恒成
立，符合题意；
②当 时， 是减函数，故 的值域为 ，此时存在 ，不符
合题意；
③当 时， ，又当 时， ，故 的值域为
，
若 即 时， ，此时 恒成立，符合
题意，
若 即 时，取 ，此时存在 ，不符合题意.
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综上所述，实数 的取值范围为 .
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