重庆市綦江中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上.写在本试题上无效.
3.考试结束后，将本试题和答题卡一并收回.
一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导运算中，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合导数的基本运算直接判断即可.
【详解】选项A：，故A正确；
选项B：，故B错误；
选项C：，故C正确；
选项D：，故D正确.
2. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选B
考点：排列、组合及简单计数问题．
3. 已知函数，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对函数求导，再求，进而可得所求函数值.
【详解】函数，所以，，
解得，，
所以.
4. 一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（ ）
A. 48种B. 72种C. 144种D. 216种
【答案】B
【解析】
【详解】三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法，
若两个家庭之间有1个空位的排法有；
若两个家庭之间有2个空位的排法有；
所以符合要求的排座方式一共有种.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定函数定义域，判断函数奇偶性，即可判断B；当时，，利用导数判断此时函数的单调性，即可判断A，C，D，即得答案．
【详解】函数的定义域为，
设，则，故为偶函数，
其图象关于轴对称，则B中图象错误；
又当时，，
由，得，由，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故A、C错误，故选D.
6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可.
【详解】.
7. 展开式中的系数为（ ）
A. 68B. －80C. －68D. 80
【答案】C
【解析】
【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择，
选或或．
设选的有个，选的有个，那么选的有个，
则有，解得或或，
即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个；
因此含项的系数为.
8. 设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】设，
，即，
，
在上单调递减，又，
不等式，
即，，
原不等式的解集为.
故选：D
【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解.
二、多项选择题.本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 将7个小球放入3个盒子中，下列说法正确的有（ ）
A. 若小球相同、盒子不同，每个盒子至少1个球，放法为15
B. 若小球相同、盒子不同，允许空盒，放法为21
C. 若小球不同、盒子相同，每个盒子至少1个球，放法为301
D. 若小球相同、盒子不同，恰1盒2球其余至少1球，放法为15
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，利用隔板法，可判定A正确；根据分类计数原理，可判定B错误；根据先分组，后放入的方法，可判定C正确；先分组，再分盒子的方法，可判断D错误.
【详解】对于A，将7个小球分为3组，由隔板法可得不同的放法有种，所以A正确；
对于B，若有两个空盒子，即把7个球放入一个盒子中，有种放法；
若有一个空盒子，即把7个小球放入两个盒子中，有C32C61=3×6=18 种放法；
若没有空盒子，即把7个小球放入三个盒子中，有种放法，
由分类计数原理，共有3+18+15=36 种不同的放法，所以B错误；
对于C，把7个小球分为3组，其中分法有：，，，，
因为盒子相同，共有种放法，所以C正确；
对于D，若小球相同、盒子不同，恰1盒2球其余至少1球，（即只有1个盒子为2球），
其余两个盒子至少1个球且不能为2个球，先选放2个球的盒子，有选法，
剩余的两个盒子共5个球，均不为2的放法有，有2种方法，
由分类计数原理，共有种放法，所以D错误.
10. 已知 ，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 中，与最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】令可得，根据二项式定理确定展开式中的表达式，根据二项式系数的性质逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，令可得，故A正确；
对于B，令可得，
所以，
设展开式的通项为，
取，可得，所以，故B错误；
对于C，令可得①，
令可得②，
由①②可得，故C正确；
对于D，由选项B可知，，
若最大，则
所以，，
解得，则，故或，
又，所以中，与最大，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知三次函数，，，下列结论正确的有（ ）
A. 当时，
B. 当时，的单调递增区间为
C. 当，时，存在实数使得点是曲线的对称中心
D. 当时，恒成立，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导数的定义及求导公式计算可判断A，利用导数求函数的单调区间判断B，根据对称中心满足的定义求判断C，转化为恒成立问题，利用导数求最值判断D.
【详解】对于选项A，当时，，
根据导数的定义，
又，代入得，故A正确；
对于选项B，当时，．
令，解得或，即单调递增区间为和，
而是单调递减区间，故B错误；
对于选项C，当，时，，若点是曲线的对称中心，则，即恒成立，
所以，解得，即存在实数满足条件，故C正确；
对于选项D，当时，，需对恒成立，
即对恒成立，
设，求导得．
令得，即．当时，，单调递增；
当时，，单调递减．故的最大值为，
因此，即的取值范围为，故D正确．
三、填空题.本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知展开式所有二项式系数和为256，则第4项系数为________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令，求得，结合展开式的通项，即可求解.
【详解】因为展开式所有二项式系数和为256，可得，可得，
则二项式展开式的第4项为，
所以第4项的系数为.
13. 用4种颜色为“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，相邻不同色，共有______种.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可分四种颜色、三种颜色和两种颜色，分类讨论，结合组合数公式和计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，若用四种颜色时，有种涂法；
若用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一个时同色，
先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有，
根据分步计数原理，有种涂法；
若用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色，
先选两种颜色种选法，有种涂法，
由分类计数原理，共有种不同的涂法.
14. 已知，，存在使，则a的范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】求得，得到函数的单调性，分和，两种情况讨论，求得函数的最小值，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，其定义域为，且，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
若，则函数在上单调递减，所以，
因为存在 使，即，即，可得，
又因为，可得，所以原不等式无解；
若，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为存在 使，即，可得，
又因为，可得，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）
（2）函数的极小值为，无极大值.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义可求得曲线在点处的斜率，从而求得该处的切线方程；
（2）利用导数研究函数的单调性，得到极值点，求得极值.
【小问1详解】
的定义域为，，
所以.
所以曲线在点处的切线方程为，即
【小问2详解】
函数的定义域为，.
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以函数在处取得极小值，极小值为.
所以函数的极小值为，无极大值.
16. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数．
【答案】（1）480 （2）360
（3）540
【解析】
【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空；
（2）特殊的先排，再用分步乘法；
（3）先分组后分配.
【小问1详解】
第一步，先将另外四门课排好，有种情况；
第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；
所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；
【小问2详解】
第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；
因此，所有选课种数为.
【小问3详解】
①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况；
②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况；
③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况；
综上，所有的课程安排共有种情况.
17. 已知 展开式共有11项.
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
【答案】（1）0 （2）
（3）0
【解析】
【分析】（1）令得到所有项系数和，再令得到的值，两者作差即可得到值；
（2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值；
（3）利用赋值法，令取特定值，代入原二项式展开式直接得到值.
【小问1详解】
二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得，
令，得，
即，
令，代入等式得：，
因此；
【小问2详解】
展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为后的系数，
等价于令代入原式：
计算得，因此结果为；
【小问3详解】
令，代入等式得，
左边等于，因此结果为.
18. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求b；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数在上单调递减，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可；
（2）求导分与的大小关系讨论即可；
（3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可.
【小问1详解】
，故，又斜率为1，故，解得.
【小问2详解】
因为，故，
则，
当时，，
故在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
当时，令有，，且，
故在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
当时，，在单调递减；
当时，在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
【小问3详解】
，
由题意在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，故，即.
所以a的取值范围为.
19. 已知函数，．
（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；
（2）讨论的零点个数；
（3）若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围．
【答案】（1）最大值为，最小值为1
（2）当时，无零点，当或时，有1个零点，当时，有2个零点.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数求出的单调性，再结合单调性求最值即可；
（2）根据将其转化为，令，通过导函数研究图象性质，即可根据与图象的交点个数确定的零点个数；
（3）根据分情况讨论，由解得，或，由题意，结合的图象
求出a的取值范围，分析得出，，据此将题中的转化为a的函数，再结合导数求解单调性即可求出a的范围．
【小问1详解】
当时，，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，．
【小问2详解】
令，得，即，
令，则的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数，
，令，得，
当时，，则，所以在上单调递增；
当时，，则，所以在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，；
所以的大致图象如下所示：
数形结合得，当时，直线与的图象无交点，故无零点；
当或时，直线与的图象有1个公共点，故有1个零点；
当时，直线与的图象有2个交点，故有2个零点.
【小问3详解】
由题知，
则，
当时，，方程只有唯一解1，显然不合题意；
当时，由，可得，或，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以在处取得最大值，此时，
又当时，，当时，，
要使在定义域内有三个不同的极值点，需使的图象与直线有两个不同的交点，即得，
不妨设，则，所以，即，
所以，
所以
，
令，则，
易知在上单调递增，
所以，又，
所以，即在上单调递增，
因为，则当时，恒有，
即当时，恒成立，
所以实数的取值范围是．