25.1 变量与函数-课件2025-2026学年沪教版八年级数学下册

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）25.1 变量与函数教案配套ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了课堂引入，kmh，v80kmh，新知讲授，变量trr，变量sCS，×80，×2π，先平方再乘以π，依赖关系等内容，欢迎下载使用。
匀速行驶的汽车车速为 一个圆的半径为
汽车以 的速度匀速行驶，它行驶的路程 （km）和行驶的时间 （h）的关系是 s = 80t . 一个半径为 （cm）的圆的周长 （cm）和面积 （cm2）都可以用 r 表示，关系是 C = 2πr，S = πr2.
在考察某个问题的过程中（如以上的引例中），保持数值不变的量称为 （如：速度 v = 80km/h，圆周率π）；可以取不同数值的量称为 （如：时间 t 、路程 s 、半径 r 、周长 C 和面积 S ）.
关系式s = 80t （1）C = 2πr （2）S = πr2 （3）
17世纪中期，莱布尼茨最早用 functin 一词表示函数的意义. 1859年，李善兰与英国传教士伟烈亚力合译《代微积拾级》，首次将西方“ functin”一词译为“函数”. “函”通“含”，李善兰认为“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.
函数的概念一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y. 当 x 在取值范围内变化时， y 随着 x 的变化而变化； 当 x 的值确定时， y 的值也随之唯一确定. 变量 y 关于变量 x 的这种依赖关系叫作函数，或者说变量 y 是变量 x 的函数， x 称为自变量.
x称为自变量，有其取值范围. 如果当 x=a 时 y =b，那么称b为函数在x=a时相应的函数值.
y = 80x y = 2πxy = πx2
使用函数的表达式可以表示两个变量的依赖关系，表达式常可以用来刻画函数.
函数的表达式 等号左边是 y ，而右边是关于 x 的代数式的等式称为函数的表达式. 函数的表达式常用于刻画函数.
设某地的气温为 x 摄氏度（℃），又可以表示为 y 华氏度（℉），其中 x 和 y 可以按以下的方式转化.请问：y是不是x的函数？为什么？
－10、0、25、35、100…
一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y. 当 x 在取值范围内变化时， y 随着 x 的变化而变化； 当 x 的值确定时， y 的值也随之唯一确定. 变量 y 关于变量 x 的这种依赖关系叫作函数，或者说变量 y 是变量 x 的函数， x 称为自变量.
当 x＝－10时， ；
当 x＝0时， ；
、77、 95、212…
当 x＝25、35 和 100 时，y＝77、95 和 212.
设某地的气温为 x 摄氏度（℃），又可以表示为 y 华氏度（℉），其中 x 和 y 可以按以下的方式转化.请问：
y是不是x的函数？为什么？
解 在摄氏度转化为华氏度的过程中，y随着x的变化而变化；当x取定一个值时，y的值随之唯一确定（见下表），故 y 是 x 的函数， 是该函数的表达式.
函数的表达式 等号左边是 y ，而右边是关于 x 的代数式的等式称为函数的表达式. 函数的表达式常用于刻画函数.
列 表 列表可以展示自变量的值和相应的函数值之间的依赖关系.
[瑞典] 安德斯·摄尔修斯
1714年，华伦·海特创立华氏温标.以氯化铵和冰的混合物为0℉，人体体温为96℉，其间等分为96份，每份为1℉. 1724年修订华氏温标，以冰水混合物为32℉，以水的沸点为212℉.
1740年，安德斯·摄尔修斯创立摄氏温标. 以水的沸点为0℃，以冰水混合物为100℃，其间等分为100份， 每份1℃. 1745年，对摄氏温标进行调整，将冰点和沸点的度数颠倒，沿用至今.
（1）已知函数 ，其自变量 x 的取值范围是什么？（2）一个长方形的一边为 2 cm，周长为 x cm，面积为 y cm2，则 y 关于 x 的 函数表达式是什么？自变量 x 的取值范围是什么？
函数表达式 的等号右边是一个二次根式，二次根式的被开方数必须是非负的,因此，自变量x≥0.
因为长方形的周长等于长与宽之和的2倍，而面积等于长与宽的积. 其中一边为2，可以用周长 x 表示另一边的长，进而得到面积的表达式. 此时，必须保证长方形的相邻两边长度均为正数.
（1）因为被开方数 x 取负实数时， 没有意义，函数 的自变量 x 只能取非负实数，因此，其自变量 x 的取值范围是 x ≥0.（2）根据题意，长方形的一边为 2 cm，则另一边为 cm，因此，长方形的面积等于 cm2 .于是，y 关于 x 的函数的表达式是 . 长方形要符合实际意义，因此，自变量 x 的取值范围是 x ＞ 4.
自变量 x 的取值范围要保证函数的表达式有意义，还必须符合问题的实际意义.
根据以上问题，请总结：自变量 x 的取值范围会受哪些因素的影响？
学校气象社团的同学，查看了冬至日当天学校的气温数据（见下图）. 请根据数据曲线填写以下时刻的气温：
当时刻t变化时，取 t＝a时，所对应的气温为 T＝b，将点(a, b)标记在平面直角坐标系上，就得到了此图像.
那么，在以上变化过程中，变量 t 是否为变量 T 的函数？
在变化过程中有两个变量t 和T. 当t在0≤t≤24的范围内变化时，T 随着 t的变化而变化，当 t 的值确定时， T 的值也唯一确定，因此，变量 T 是变量 t 的函数.
学校气象社团的同学，查看了冬至日当天学校的气温数据（见下图）.（1）如何选取两个变量， 使得其中一个变量是 另一个变量的函数？
当 T 的值确定时，变量 t 的值并不唯一确定. 比如，当取 T＝0 时，就对应着两个不同时刻 t ＝8 和 t ＝21，因此，时刻 t 不是气温 T 的函数.
在此变化过程中，有两个 变量，分别是时刻 t 和气温 T . 根据题意，t 时的气温为 T ℃，当时刻 t 变化时，相应的气温 T 也随之变化；当时刻 t 确定时，气温 T 也随之唯一确定，因此，T 是 t 的函数. 但气温 T 确定时，时刻 t 并不是唯一确定的；当气温 T ＝0时，不能唯一确定时刻 t 的值. 因此，t 不是 T 的函数.
图 像 x 在取值范围内任取一个数 a，记b为当x＝a时的函数值，P(a,b)为平面直角坐标系xOy中的一个点，由所有这样的点组成的图形，称为这个函数的图像. 图像可以直观地表示函数.
学校气象社团的同学，查看了冬至日当天学校的气温数据（见下图）.（2）从以上气温关于时 刻的函数图像中， 你能够获取哪些冬 至日的气象信息？
当 t 从0变化到24的过程中，气温 T 先下降、再上升，然后又再次下降. 当0 ≤t≤ 3时，T 随 t 的增大而减小；气温逐渐下降，直到 t＝3时，到达当日的最低气温－3℃； 当3≤t≤14时，T 随 t 的增大而增大；气温逐渐上升，直到 t＝14时，到达当日的最高气温5℃； 当14≤t≤24时，T 随 t 的增大而减小；气温再次下降.
T 随 t 的增大而增大
T 随 t 的增大而减小
此处最低气温的值被称为该函数的最小值.
此处最高气温的值被称为该函数的最大值.
函数的三种表示方法各有怎样的特点？
准确表示自变量和函数值之间的依赖关系；
使用方便、直观、精确；
直观展示出函数的整体面貌；通过图像能呈现函数的重要性质（如最大、小值和变化趋势）
不够直观；可能找不到表达式
不够完整；难以呈现变化趋势
函数的概念 一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y. 当 x 在取值范围内变化时， y 随着 x 的变化而变化； 当 x 的值确定时， y 的值也随之唯一确定. 变量 y 关于变量 x 的这种依赖关系叫作函数，或者说变量 y 是变量 x 的函数， x 称为自变量.