23.2 平行四边形（教学课件）-2025-2026学年八年级数学下册（沪教版五四制2024）

23.2 平行四边形 新教材沪教版五四制·八年级下册 第二十三章 四边形学 习 目 标123体会由四边形过渡到平行四边形的特殊化过程，理解平行四边形性质与判定的区别和联系，体会转化思想.掌握平行四边形的核心性质与判定定理，会运用判定证明平行四边形，培育数学运算与逻辑推理素养.理解平行四边形定义与性质、判定的关联，能从实际场景中提炼平行四边形模型，提升建模与综合应用能力.学习过程0103021 平行四边形的性质3 题型讲解2 平行四边形的判定情境引入 一般地，有一组对边平行的四边形叫作梯形；两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形新知探究1.平行四边形的定义：一组对边平行两组对边平行 在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰；平行四边形用符号“□”表示，如图，平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。新知探究注意：表示平行四边形时，顶点要按顺时针或逆时针顺序依次书写，不能打乱顺序 性质1：平行四边形的两组对边分别平行且相等。（即：AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC） 性质2：平行四边形的两组对角分别相等。（即：∠A=∠C，∠B=∠D） 性质3：平行四边形的对角线互相平分。（即：AO=OC，BO=OD）新知探究2.平行四边形的性质： 请同学们拿出准备好的平行四边形纸片，完成以下操作：1. 用直尺测量平行四边形的两组对边，记录长度；2. 将平行四边形纸片沿其中一条对角线剪开，得到两个三角形，观察两个三角形的关系新知探究 已知□ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD，AD=BC。证明：连接AC，∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ ∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）；在△ABC和△CDA中，∠1=∠2，AC=CA（公共边），∠3=∠4，∴ △ABC≌△CDA（ASA）；∴ AB=CD，AD=BC（全等三角形对应边相等）新知探究性质1：平行四边形的两组对边分别平行且相等证明：由△ABC≌△CDA，得∠B=∠D；∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°；AD∥BC，∴∠A+∠B=180°；∴∠B=∠D，同理可得∠A=∠C新知探究性质2：平行四边形的两组对角分别相等结合刚才的全等三角形证明，尝试推导平行四边形对角的关系。证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD且AB=CD，∴ ∠OAB=∠OCD（内错角相等）；∵ ∠AOB=∠COD（对顶角相等），∴ △AOB≌△COD（AAS）；∴ AO=OC，BO=OD（全等三角形对应边相等）。新知探究性质3：平行四边形的对角线互相平分已知□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AO=OC，BO=OD。小试牛刀 某小区有一个平行四边形形状的栅栏，其中一条边长为12m，相邻的另一条边长为15m，求这个栅栏的总长度。若其中一个内角为120°，求其他三个内角的度数栅栏的总长度即平行四边形的周长，内角可利用平行四边形角的性质求解。解答步骤：1.求周长：∵平行四边形对边相等，∴周长=2×(12+15)=54（m）；2.求内角：∵平行四边形对角相等、邻角互补，∴与120°角相对的角为120°，相邻的两个角为180°-120°=60°。答：栅栏总长度为54m，其他三个内角分别为60°、120°、60°。小试牛刀AD、BC：12m（边长）AB、CD：15m（另一边长）∠A、∠B、∠C、∠D：内角学习过程0103021 平行四边形的性质3 题型讲解2 平行四边形的判定新知探究3.平行四边形的判定： 判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。符号表示：∵ AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形 判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。符号表示：∵ AB∥CD且AB=CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形 判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。符号表示：∵ AO=OC，BO=OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形。证明：∵ 四边形内角和为360°，∴ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°；∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，∴ 2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°；∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；同理，AB∥CD；∴ 四边形ABCD是平行四边形（定义判定）新知探究判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形。 已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形证明：连接AC，在△ABC和△CDA中：AB=CD，AD=BC，AC=CA（公共边），∴ △ABC≌△CDA（SSS）；∴ ∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形对应角相等）；∴ AB∥CD，AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；∴ 四边形ABCD是平行四边形（定义判定）新知探究判定定理1：一组对边分别相等的四边形是平行四边形证明：连接AC，∵ AB∥CD，∴ ∠OAB=∠OCD（内错角相等）；在△ABC和△CDA中，AB=CD，∠OAB=∠OCD，AC=CA（公共边），∴ △ABC≌△CDA（SAS）；∴ AD=BC（全等三角形对应边相等）；∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。新知探究判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形已知四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形。学习过程0103021 平行四边形的性质3 题型讲解2 平行四边形的判定题型讲解例1.如图，四边形ABCD是平行四边形，0是对角线AC、BD的交点，下列说法不一定正确的是( )A.AD=BCB.∠ABC=∠ADCC.OB=ODD.∠ACB=∠ACDD【分析】 对照平行四边形的性质，依次判断每个选项是否符合这些性质，找出不必然成立的选项【解析】解：选项A：平行四边形对边相等，AD与BC是平行四边形ABCD的对边，该说法正确；选项B：平行四边形对角相等，∠ABC与∠ADC是平行四边形ABCD的对角，该说法正确；选项C：平行四边形对角线互相平分，O是对角线AC、BD的交点，OB=OD，该说法正确；选项D：平行四边形的对角线不一定平分内角，∠ACB与∠ACD不一定相等，该说法不一定正确.故本题正确答案为D.题型讲解例2.平行四边形 ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为13，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )A.18B.16C.8D.26B题型讲解【分析】 先利用平行四边形的性质得到CD=AB，以及对角线互相平分的结论，再结合△OCD的周长求出OC+OD的长度，进而算出两条对角线的和 题型讲解例3.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE=4cm，AB=6cm，则AD的长度是（ ）A.4cmB.6cmC.8cmD. 10cmD题型讲解【分析】 先利用平行四边形的对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，推出等腰三角形，再通过线段的和求出 AD 的长度【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB =CD=6cm，AD=BC∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴ ∠ADE=DEC，∠CDE=∠DEC，∴△CDE是等腰三角形，CE=CD=6cm，已知BE=4cm，∴BC=BE+CE=4+6=10cm，∵AD=BC，∴ AD=10cm.故本题正确答案为B.题型讲解例4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）A. AC=BDB.OA=OCC.AC⊥BDD.∠ADC=∠BCDB题型讲解【分析】 根据平行四边形的性质，逐一判断每个选项是否符合其基本特征，找出一定正确的结论【解析】解：选项 A：平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故AC=BD不一定正确；选项 B：平行四边形的对角线互相平分，O是AC的中点，因此OA=OC，该结论一定正确；选项 C：平行四边形的对角线不一定垂直，故AC⊥BD不一定正确；选项 D：平行四边形中AD∥BC，∠ADC与∠BCD是同旁内角，应互补而非相等，故该结论错误.故本题正确答案为B.题型讲解例5.下列说法:①平行四边形的对边平行且相等②两组对边分别平行的四边形是平行四边形;③平行四边形的对角相等④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形,其中能判定一个四边形是平行四边形的是( )A.②④ B. ②③ C.①④ D. ①②③A题型讲解【分析】 先区分平行四边形的性质与判定：性质是平行四边形已具备的特征，判定是判断四边形为平行四边形的条件。再逐一分析每个说法是否为判定方法【解析】解：说法①：平行四边形的对边平行且相等是平行四边形的性质，不是判定四边形为平行四边形的条件，不能判定；说法②：两组对边分别平行的四边形是平行四边形是平行四边形的定义，属于判定方法，能判定；说法③：平行四边形的对角相等是平行四边形的性质，不是判定条件，不能判定；说法④：设四边形中AD∥BC，∠A=∠C，由AD∥BC得∠A+∠B =180°，结合∠A=∠C，可推出∠C+∠B=180°，即AB∥CD，两组对边分别平行，符合平行四边形定义，能判定.综上，能判定的是②④.故本题正确答案为A.题型讲解例5.如图，AC∥DB，且AC=2DB，E是AC的中点.求证:四边形BDEC是平行四边形题型讲解【分析】 先通过E是AC中点的条件，结合AC=2DB，推出DB与EC的数量关系，再结合AC∥DB，即可证明【解析】解：已知E是AC的中点，∴AC=2EC∵AC=2DB，∴ EC=DB∵AC∥DB，且EC是AC的一部分，∴ EC∥DB∵ 四边形BDEC中，EC∥DB且EC=DB，∴ 四边形BDEC是平行四边形.题型讲解课堂小结平行四边形平行四边形的性质性质1：平行四边形的两组对边分别平行且相等。平行四边形的判定性质2：平行四边形的两组对角分别相等。性质3：平行四边形的对角线互相平分。 判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。感谢聆听! 第二十三章 四边形