2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训02立体几何中的截面、轨迹问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训02立体几何中的截面、轨迹问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了作截面的基本模型，轨迹问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc13825" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc13825 \h 4
\l "_Tc1498" 题型一：截面形状问题 PAGEREF _Tc1498 \h 4
\l "_Tc6114" 题型二：截面的面积、周长 PAGEREF _Tc6114 \h 5
\l "_Tc16193" 题型三：截面的最值问题 PAGEREF _Tc16193 \h 6
\l "_Tc18990" 题型四：截面切割几何体体积问题 PAGEREF _Tc18990 \h 7
\l "_Tc6650" 题型五：平行、垂直相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc6650 \h 8
\l "_Tc15819" 题型六：距离、角度相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc15819 \h 9
\l "_Tc10736" 题型七：翻折相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc10736 \h 10
\l "_Tc27431" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc27431 \h 11
\l "_Tc12607" 巩固过关 PAGEREF _Tc12607 \h 11
\l "_Tc12725" 创新提升 PAGEREF _Tc12725 \h 13
一、作截面的基本模型：
如下图是几等分点，做出过三点的截面
特征：①三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是；②“第三点”是在外棱上，如，
1.平行线法。
平行线法特征：有两点连线在表面：，在前侧面
方法如下：
（1）寻找点所在的与线的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的）；
（2）在这个面内，过做平行线，显然必须扩展这个面了；
（3）与分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了）；
（4）注意这仨面的相交棱，
（5）过做平行线，交这俩棱于第二排图
（6）分别连与EL，交点为与。出截面，与第一种方法一致。
2.相交线法
以“第三点”所在的表面中，剔除掉与所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线
如下图，符合的有的表面有三个，红色的和平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的），
(1)先用上表面（红色的）来做：
所以，先补出扩展直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长交于;
此时也在上表面了，连接，出来与棱交点.
连接，则的如右图的截面。
(2)再用右表面绿色的来做：
则发现，右边面和相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长交于I
此时I也在右表面了，连交棱于.
连接，则出右图的截面。
(3)最终，两个合在一起，就是如图的截面。
二、轨迹问题
1.平行有关的轨迹问题的解题策略
（1）线面平行转化为面面平行得轨迹;
（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
2.垂直有关的轨迹问题的解题策略
（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
（2）利用空间坐标运算求轨迹;
（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
3.距离有关的轨迹问题的解题策略
（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
（2）利用空间坐标计算求轨迹.
4.角度有关的轨迹问题的解题策略
（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
（3）利用空间坐标系计算求轨迹.
题型一：截面形状问题
典例1-1．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
典例1-2．（多选）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形B．矩形
C．等腰梯形D．正方形
变式1-1．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
变式1-2．如图，已知在直三棱柱中，，，，，，分别是，，，的中点.
(1)求直三棱柱的体积；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在图中画出过，，三点的截面，并说出截面图形的形状（不必说明画法与理由）.
题型二：截面的面积、周长
典例2-1．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ．
典例2-2．如图，已知正方体的棱长为1，分别是线段上靠近的三等分点．过点作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积．
变式2-1．把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积．
变式2-2．已知E，F，G，H为棱长是2的立方体相应棱的中点，求过EF且平行于GH的截面面积．
题型三：截面的最值问题
典例3-1．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点，若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
典例3-2．在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为 ；E，F分别是，的中点，若用一个与直线垂直且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ．
变式3-1．在长方体中，，．E是底面ABCD的中心，F是棱AD上一点，且，则长方体中经过点，E，F的截面面积的最小值为 ．
变式3-2．如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当时，求过点A₁，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值.
题型四：截面切割几何体体积问题
典例4-1．（多选）在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．的最小值为
C．
D．平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为
典例4-2．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线.

(1)画出直线的位置，并说明作图依据；
(2)正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积.
变式4-1．如图，正方体的棱长为1，点在棱上，过，，三点的正方体的截面与直线交于点.
（1）找到点的位置，作出截面（保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知，求将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
变式4-2．在正方体中，是棱上异于顶点的动点.
(1)用斜二测画法作出正方体及过三点的截面的图形，直接写出该截面图形的形状；
(2)若是棱的中点，求正方体被（1）中的截面所截得两个几何体的体积之比.
题型五：平行、垂直相关的轨迹问题
典例5-1．如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
典例5-2．（多选）在棱长为3的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，满足平面，则（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为B．三棱锥的体积是定值
C．动点的轨迹是一条圆弧，长度为D．动点的轨迹是一条线段，长度为
变式5-1．已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为 ．
变式5-2．在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为 ；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是 ．
题型六：距离、角度相关的轨迹问题
典例6-1．如图，在四棱锥中，，平面，，，，，则满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹为（ ）

A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的一部分
典例6-2．已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（ ）
A．圆上B．椭圆上C．抛物线上D．双曲线上
变式6-2．在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（ ）
A．拋物线的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．以上都不对
题型七：翻折相关的轨迹问题
典例7-1．如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段B．抛物线的一段
C．双曲线的一段D．一段圆弧
典例7-2．如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为 ，的中点的轨迹长度为 .

变式7-1．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 ．
变式7-2．如图，在正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，在翻折到的过程中，下列说法正确的是 ．（将正确说法的序号都写上）

①点的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得；
③棱的中点为，则的长为定值；
巩固过关
1．如图，棱长为2的正方体中，，，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且，均在平面内，则平面截正方体所得图形的外接圆面积为（ ）

A．B．C．D．
2．已知直线、是互相垂直的异面直线，平面经过直线，直线与平面平行．动点在平面上，若到、的距离相等，则的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
3．在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ）
A．B．2C．D．3
4．如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 .
5．如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 ．
6．已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则 .
7．已知长方体中，，，为的中点．若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为 .
8．若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱上靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则点形成的轨迹长度为 ．

9．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点为正方形内（含边界）动点，若，则的最小值是 .
10．如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.

(1)证明：平面；
(2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值.
创新提升
1．如图，在长方体中，，，，点是棱的中点，点是棱的中点，是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的最小值为（ ）

A．B．5C．4D．3
2．如图，在正四棱柱中，，过点作垂直于直线PC的截面，则以为顶点，截面为底面的棱锥的体积为（ ）
A．42B．48C．56D．63
3．（多选）在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则的最大值为
D．满足的点的轨迹长度为
4．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 .
重难点专训02立体几何中的截面、轨迹问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc4017" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc4017 \h 1
\l "_Tc13825" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc13825 \h 4
\l "_Tc1498" 题型一：截面形状问题 PAGEREF _Tc1498 \h 4
\l "_Tc6114" 题型二：截面的面积、周长 PAGEREF _Tc6114 \h 8
\l "_Tc16193" 题型三：截面的最值问题 PAGEREF _Tc16193 \h 10
\l "_Tc18990" 题型四：截面切割几何体体积问题 PAGEREF _Tc18990 \h 14
\l "_Tc6650" 题型五：平行、垂直相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc6650 \h 20
\l "_Tc15819" 题型六：距离、角度相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc15819 \h 25
\l "_Tc10736" 题型七：翻折相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc10736 \h 28
\l "_Tc27431" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc27431 \h 33
\l "_Tc12607" 巩固过关 PAGEREF _Tc12607 \h 33
\l "_Tc12725" 创新提升 PAGEREF _Tc12725 \h 40
一、作截面的基本模型：
如下图是几等分点，做出过三点的截面
特征：①三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是；②“第三点”是在外棱上，如，
1.平行线法。
平行线法特征：有两点连线在表面：，在前侧面
方法如下：
（1）寻找点所在的与线的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的）；
（2）在这个面内，过做平行线，显然必须扩展这个面了；
（3）与分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了）；
（4）注意这仨面的相交棱，
（5）过做平行线，交这俩棱于第二排图
（6）分别连与EL，交点为与。出截面，与第一种方法一致。
2.相交线法
以“第三点”所在的表面中，剔除掉与所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线
如下图，符合的有的表面有三个，红色的和平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的），
(1)先用上表面（红色的）来做：
所以，先补出扩展直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长交于;
此时也在上表面了，连接，出来与棱交点.
连接，则的如右图的截面。
(2)再用右表面绿色的来做：
则发现，右边面和相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长交于I
此时I也在右表面了，连交棱于.
连接，则出右图的截面。
(3)最终，两个合在一起，就是如图的截面。
二、轨迹问题
1.平行有关的轨迹问题的解题策略
（1）线面平行转化为面面平行得轨迹;
（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
2.垂直有关的轨迹问题的解题策略
（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
（2）利用空间坐标运算求轨迹;
（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
3.距离有关的轨迹问题的解题策略
（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
（2）利用空间坐标计算求轨迹.
4.角度有关的轨迹问题的解题策略
（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
（3）利用空间坐标系计算求轨迹.
题型一：截面形状问题
典例1-1．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】B
【详解】在正方体中，取，，
连接，，，，，，如下图所示：
因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，，
所以，且，则四边形为平行四边形，则，，
又因为，且，所以四边形为平行四边形，
则，，
所以，，所以为平行四边形，
则正方体中过点，，的截面形状为四边形.
故选：B
典例1-2．（多选）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形B．矩形
C．等腰梯形D．正方形
【答案】ABC
【详解】解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）；
当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）；
当点不与点重合时，当分别为的中点，
则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）．
故选：ABC.
变式1-1．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
【答案】B
【详解】延长，交的延长线于，
连接，交于，
延长，交的延长线于，
连接，交于，
最后依次连接，
所得截面，即为所求.
故选：B
变式1-2．如图，已知在直三棱柱中，，，，，，分别是，，，的中点.
(1)求直三棱柱的体积；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在图中画出过，，三点的截面，并说出截面图形的形状（不必说明画法与理由）.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）由知，故为边长为3的正三角形，
又，且为直棱柱的高，
所以直三棱柱的体积为；
（2）因为平面平面，
所以与平面所成角即为与平面所成角，
连接，
由直棱柱性质可知，平面，所以为与平面所成角，
底面，则，
因为为边长为3的正三角形，且是的中点，
所以，又，
所以中， ，
所以与平面所成角为；
（3）取中点，连接，，，如图.
因为，，，分别是，，，的中点，
所以且，且.
所以且，则四点共面，且四边形为梯形.
故梯形是过三点的截面.
题型二：截面的面积、周长
典例2-1．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ．
【答案】 等腰梯形 /
【详解】如图，取的中点，连接，，，，，
因为，，故，且．
则截面为梯形，且为等腰梯形，
，可得梯形的高为，所以梯形的面积为．
故答案为：等腰梯形；.
典例2-2．如图，已知正方体的棱长为1，分别是线段上靠近的三等分点．过点作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积．
【答案】周长，面积.
【详解】在棱长为1的正方体中，延长交直线于，延长交延长线于，
连接交于，交于，连接，则五边形是过点的该正方体的截面，
平面平面，平面平面，平面平面，
则，，
同理，，因此，
，，
，
所以截面周长为；
等腰底边上的高为，
则的面积，
显然∽，，同理，
所以截面面积.
变式2-1．把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积．
【答案】作图见解析，
【详解】如图，取AB的中点N，连接B1N，NC，CB1，则截面B1NC即为所求，理由如下：
∵ANB1M，且，∴四边形ANB1M为平行四边形，∴AMB1N.
又B1N⊄平面AMC1，AM⊂平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1，同理，CN平面AMC1，又B1N∩CN＝N，B1N，CN⊂平面B1NC，
∴平面B1NC平面AMC1.
∵B1C＝，
B1N＝，
NC＝，∴B1C2＝B1N2＋NC2，∴B1N⊥NC，
∴S△B1NC＝.
变式2-2．已知E，F，G，H为棱长是2的立方体相应棱的中点，求过EF且平行于GH的截面面积．
【答案】．
【详解】在正方体中，取中点，画直线与延长线分别交于点，
画直线交的延长线于点，交于点，连接交分别于点，
连接，则六边形即为过EF且平行于GH的截面，
由分别是棱的中点，得，
则是的中点，，，，，
即点分别为棱的中点，因此六边形为正六边形，
连接，由分别为棱的中点，得，
而平面，平面，则平面，
所以正六边形即为过EF且平行于GH的截面，面积为.
题型三：截面的最值问题
典例3-1．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点，若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】把正四面体补为正方体，如图，
根据题意可得截面为平行四边形，
所以，，，，
所以，， ，
又因为，所以，
所以所求截面面积，当且仅当时成立，
故选：B
典例3-2．在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为 ；E，F分别是，的中点，若用一个与直线垂直且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ．
【答案】 /
【详解】如图，将四面体补形成长方体，
设长方体的棱长，那么四面体的六条棱长都是它的面对角线.
则有，解得：，
而四面体的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径为，
所以外接球的表面积为；
由分别是，中点，即为长方体两个底面的中心，
而截面与直线垂直，平行于上底面，
故，，
根据平行截比定理得到，，且，
则，而，故有，
设，而，
故，
则截面面积.
故答案为：；.
变式3-1．在长方体中，，．E是底面ABCD的中心，F是棱AD上一点，且，则长方体中经过点，E，F的截面面积的最小值为 ．
【答案】/
【详解】如图，设，平面分别交平面，平面于GH，．
设平面与平面的夹角为．作，连接，
则直线与平面所成角为，．
由最大角定理得．
由面积射影定理得，
当且仅当时取等号，
故所求面积的最小值为．

故答案为：.
变式3-2．如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当时，求过点A₁，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）由已知得点E是的中点，且平面.
由可得.
所以，
因为，
故即.
由正四棱柱可知平面，
因为平面，所以.
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）延长，交于，设过点的截面与棱的公共点为G，连.
由面面平行的性质定理可得此截面四边形是平行四边形
由，得.从而，
，
设，在中由余弦定理得：
故当时，取得最小值，从而
故截面四边形的最小值为.
题型四：截面切割几何体体积问题
典例4-1．（多选）在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．的最小值为
C．
D．平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为
【答案】AC
【详解】对于选项A：取中点，因为为侧面的中心，
所以，且，又，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，则，
又平面，即平面，即平面，
则点到平面的距离恒为直线到平面的距离，
而，则三棱锥的体积不变，正确；
对于选项B：连接，则，
,
作出平面三角形可知时，取得最小值，
此时由余弦定理得，
所以，
所以，不正确；
对于选项C：由平面平面，
而平面与两个平面分别交于，则.
作，则，则，所以，
所以，正确；
对于选项D：连接延长至与交于，连接，
由选项C知，则截面为，记几何体的体积为，
则，
则另一部分的体积，则，不正确.
故选：AC
典例4-2．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线.

(1)画出直线的位置，并说明作图依据；
(2)正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积.
【答案】(1)作图见解析，依据见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）如图所示即为所求：

依据如下：
延长交的延长线于，连接，则即为直线的位置.
∵，
∴平面，平面，
∴平面平面，
又由题意显然有平面平面，
∴平面平面，则即为直线的位置.（也可根据线面平行性质确定直线位置）
（2）如图所示：
设直线与交于点，则为四等分点，正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台，
其体积为
.
变式4-1．如图，正方体的棱长为1，点在棱上，过，，三点的正方体的截面与直线交于点.
（1）找到点的位置，作出截面（保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知，求将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
【详解】（1）在正方形中，过作，且交棱于点，
连接，在正方形内过作，且交棱于点，
连接，，则四边形就是要作的截面.
理由：由题意，平面平面，
平面，平面平面，
应有，
同理，，所以四边形应是平行四边形，
由作图过程，，，又，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，，
由作图过程，.又，
所以四边形是平行四边形，所以，，
又，，所以，且，
所以是平行四边形，四边形就是要作的截面.
（2）由题意，，
由（1）的证明过程，可得，
连接，则平面将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥与四棱锥的组合体，
，
而该正方体的体积，.所以.
【点睛】本题考查了正方体中截面的做法和体积的求法，解题的关键点是作出截面，考查了学生的空间想象力和计算能力.
变式4-2．在正方体中，是棱上异于顶点的动点.
(1)用斜二测画法作出正方体及过三点的截面的图形，直接写出该截面图形的形状；
(2)若是棱的中点，求正方体被（1）中的截面所截得两个几何体的体积之比.
【答案】(1)作图答案见解析，等腰梯形；
(2)7：17.
【详解】（1）作出正方体如图示：

连接.连接.过Q作交于P，连接.
在正方体中，,所以，所以四点共面，
所以平面即为过三点的截面，为一个等腰梯形.
（2）不妨设正方体的边长为2，则正方体的体积为：.

棱台的高为，上底面积为，上底面积为，所以其体积为：.
剩下部分的体积为.
所以两个几何体的体积之比.
题型五：平行、垂直相关的轨迹问题
典例5-1．如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】边长为2正方体中如图所示，建立空间直角坐标系，
则.
所以，，因为，所以.
所以.
在棱上取中点，则，.
因为，所以，所以.
取棱的中点，则.连接，，所以.
所以四点共面.
因为，平面，所以平面.
所以点和满足条件的所有点P构成的图形为梯形.
，，，
梯形的周长为.
故选：B.
典例5-2．（多选）在棱长为3的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，满足平面，则（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为B．三棱锥的体积是定值
C．动点的轨迹是一条圆弧，长度为D．动点的轨迹是一条线段，长度为
【答案】ABD
【分析】
【详解】对于A，由题意可知，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，可知正方体外接球的半径为正方体的体对角线，
设正方体外接球的半径为，则，即，
所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；
对于B，因为平面，所以点到平面的距离为定值，
又的面积为定值，所以三棱锥的体积是定值，故B正确；
对于C，取、的中点，连接、、、，如图所示，

因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
同理可得，又，所以，
又因为平面，平面，且，
平面，平面，且，
所以平面平面，
又平面，所以平面，
又为侧面内一动点，所以点的轨迹为线段，故C错误；
对于D，由C可知，点的轨迹为线段，则，故D正确.
故选：ABD.
变式5-1．已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】
在正方体中，，且平面，
平面，所以平面，平面.
因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，平面ACD1，所以平面，
所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.
如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以球心到平面的距离.
如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径.
因为，所以，即，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
变式5-2．在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为 ；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是 ．
【答案】 /
【详解】①连接，易得，
所以为直线与AC所成的角或其补角．又，
由余弦定理得，
即直线与AC所成角的余弦值为．
②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H，
连接EF，FG，GM，MN，NH，HE，，
因为且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为F，M，N分别是，AB的中点，所以，
所以，同理可得，
所以E，F，G，M，N，H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为的正六边形，
因为平面，平面，所以BD，又，
平面，所以平面，
又平面，所以，因为N，H分别为AB，AD的中点，所以，
，同理可得，又，平面，
所以平面，因为，所以点的轨迹是六边形，
所以点P的轨迹长度为．
题型六：距离、角度相关的轨迹问题
典例6-1．如图，在四棱锥中，，平面，，，，，则满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹为（ ）

A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的一部分
【答案】B
【详解】因为平面，
则，在中，，
同理，在中，，
由可得，即．
在平面中，以所在直线为轴、以线段的中点为原点建立平面直角坐标系，
则，，设，
则由，可得，
化简得，
由于点与点不共线，则点的轨迹是不完整的圆，
故选：B．

典例6-2．已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得点在以为球心，半径为的球面上，
而点在正三棱柱表面上，因此点的轨迹是球与正三棱柱表面的交线，
当点在面内时，由平面，平面，则，
，此时点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，弧长为；令弧的端点为，则，
当点在面内时，点的轨迹分别是以为圆心，为半径，
圆心角为的圆弧，弧长都为；
当点在侧面内时，取中点，连接，
由平面，平面，则，
而，平面，则平面，
又平面，因此，而，则，
此时点的轨迹是以为直径的半圆，弧长为，
所以动点的轨迹的长度为.
故选：C
变式6-1．已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（ ）
A．圆上B．椭圆上C．抛物线上D．双曲线上
【答案】D
【详解】直线与直线的夹角为，则在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为，
因为平面，所以动点的轨迹在双曲线上.
故选：D.
变式6-2．在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（ ）
A．拋物线的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．以上都不对
【答案】B
【详解】
如图建系，设正方体边长为，则，
可得，
又因为，所以，
化简得，即得，
动点的轨迹为椭圆的一部分.
故选：B.
题型七：翻折相关的轨迹问题
典例7-1．如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段B．抛物线的一段
C．双曲线的一段D．一段圆弧
【答案】D
【详解】解：在四边形中，过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，如图1，
所以当四边形确定时， 和三边长度均为定值，
当沿着翻折到，形成如图2的几何体，并取中点，连接，
由于在翻折过程中，，
所以由中位线定理可得为定值，
所以线段中点的轨迹是以中点为圆心的圆弧上的部分.
故选：D
典例7-2．如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为 ，的中点的轨迹长度为 .

【答案】
【详解】第一空：过作交于，
易知当平面时，点到平面距离取得最大值，

因为在中，，，，
所以，；
第二空，取的中点，连接，
则，又，
则平行且相等，四边形是平行四边形，
所以点F的轨迹与点的轨迹形状完全相同.
过作的垂线，垂足为，
则的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，
从而PD的中点F的轨迹长度为.
故答案为：；.
变式7-1．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 ．
【答案】
【详解】根据题意，记在底面内的摄影为，则平面，
又平面，故，；
利用正四棱锥性质可得，所以，
又因为，则，
可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
因为内切圆半径为,
所以点的轨迹是以为圆心的三段圆弧，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，在平面内过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，
易知，
又点为的重心，可得，
因此，
设直线与直线所成的角为，
则可得
当时，取得最大值.
因此直线与直线所成角的余弦值的最大值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解异面直线夹角的方法：
平移法：作出异面直线夹角的平面角求解；
向量法：利用空间向量以及夹角公式计算.
变式7-2．如图，在正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，在翻折到的过程中，下列说法正确的是 ．（将正确说法的序号都写上）

①点的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得；
③棱的中点为，则的长为定值；
【答案】①③
【详解】设正方形边长为a,
①在正方形中，过点D作于H，则
在翻折到的过程中，，均不变，
则点的轨迹为以H为圆心，以为半径的圆弧.判断正确；
②假设存在某一翻折位置，使得.
在△PAM内，过点P作于N，连接BN，
由，，，可得平面PBN
又平面PBN，则，则
又在正方形中，.
二者互相矛盾，故假设不成立，即不存在某一翻折位置，使得.判断错误；
③棱的中点为.取PA中点K，连接EK，CE，MK， 则
则有，，则，
则四边形为平行四边形，则，
又，则，即的长为定值.判断正确.
故答案为：①③
巩固过关
1．如图，棱长为2的正方体中，，，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且，均在平面内，则平面截正方体所得图形的外接圆面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，设，为所在棱的中点，又且，
所以四边形为平行四边形，则有，
则经过点，，三点的平面即为符合题意的平面，则平面截正方体所得图形为矩形，
其中，，故，
所以平面截正方体所得图形的外接圆面积为.
故选：C.

2．已知直线、是互相垂直的异面直线，平面经过直线，直线与平面平行．动点在平面上，若到、的距离相等，则的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
【答案】C
【详解】设直线在平面的射影为直线n，则与n相交，且与n垂直，
设直线与平面α的距离为d，
在平面α内，以，n为x轴，y轴建立平面坐标系，设，
则到直线的距离为，到直线n的距离为，
∴到直线的距离为，
∴，即，
∴的轨迹为双曲线．
故选：C．
3．在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【详解】
以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
，
，
设平面的法向量为，
则，
取，则，则，
因为平面，
所以，所以，
所以点P的轨迹长度为.
故选：.
4．如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 .
【答案】
【详解】延长与的延长线交于点，连接交于点，连接，如图所示，
则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为
棱的中点,且，在中，为中位线，，
又由题意得，且，，又，，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
所得截面图形的周长为.
故答案为：.
5．如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 ．
【答案】
【详解】延长相交于点，连接交于点，连接，
则四边形即为所求截面图形,如图，
因为为的中点，由相似比可知为的中点，
则，因为，分别为，中点，
所以，
所以，，
同理，，
所以周长为.
故答案为：.
6．已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则 .
【答案】6
【详解】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交交点即为点E，
因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N、E四点共面，
因为M是的中点，且，所以，，
所以是△的中位线，则是的中点，
又因为N为的中点，所以，
易知，则，所以.
故答案为：6
7．已知长方体中，，，为的中点．若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为 .
【答案】24
【详解】由于动点满足，故点的轨迹是平面与长方体表面相交线围成的图形，取的中点，
如图所示：
连接，则，
又，所以四边形为等腰梯形，，
由此可得该梯形的高为，
所以．
故答案为：．
8．若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱上靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则点形成的轨迹长度为 ．

【答案】
【详解】由平面，则即为与底面的所成角，
所以且，则，
故点形成的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，
所以轨迹长度为．
故答案为：
9．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点为正方形内（含边界）动点，若，则的最小值是 .
【答案】
【详解】取的中点，连接，，，
故，
因为⊥，所以⊥，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，，，
所以≌，故，
所以，故⊥，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
当点在线段上时，平面，故，
其中，，，
，故为钝角，
则的最小值为的长度.
故答案为：
10．如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.

(1)证明：平面；
(2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)作图见解析，2
【分析】
【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且，
由是正方形，是中点，所以且，
从而且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，不在平面内，所以平面.

（2）如图，过作直线与平行，
则，故共面.
延长与交于点，连接，与的交点即为点.
因为底面是正方形，是的中点，
所以，且，
因为是的中点，所以，
则，所以.

创新提升
1．如图，在长方体中，，，，点是棱的中点，点是棱的中点，是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的最小值为（ ）

A．B．5C．4D．3
【答案】A
【详解】如图所示：

取的中点，取的中点，连接，
所以，又因为点是棱的中点，点是棱的中点，
所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又点是棱的中点，点是棱的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，，
又因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面．
又是侧面四边形内一动点（含边界），且平面，
所以点的运动轨迹为，故当时，线段的长度取得最小值．
又在长方体中，，，，
所以，，
，
所以，当时，为的中点，
此时，
所以线段长度的最小值为．
故选：A．
2．如图，在正四棱柱中，，过点作垂直于直线PC的截面，则以为顶点，截面为底面的棱锥的体积为（ ）
A．42B．48C．56D．63
【答案】C
【详解】分别在棱，上取点，使，
连接，，
则，，
连接，则，
所以为等边三角形，
易证，
因为，所以平面，
所以五边形即为截面，
设直线与直线间的距离为，
因为的面积，
四边形的面积，
所以截面的面积为，
又点到截面的距离，
所以所求棱锥的体积.
故选：C.
【点睛】关键点睛：（1）找准截面是五边形AMRQN是解题的关键，注意为棱的四等分点，先找相邻棱对应的四等分点；
（2）PC是边长为6的正方体的体对角线，所以点到截面的距离是该正方体体对角线PC长的三分之一.
3．（多选）在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则的最大值为
D．满足的点的轨迹长度为
【答案】AD
【详解】对于A选项，因为平面平面，平面，
所以点到平面的距离等于，
因为四边形是边长为的正方形，故，
因此为定值，A对；
对于B选项，取的中点，的中点，连接．
以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、．
设，其中、，则，，
，
因为，所以，
所以，不存在点，使得，B错；
对于C选项，，，
所以，即，
因为，所以，
故当时，的最大值为，C错；
对于D选项，，，
由得，即，
又因为、，所以、，
所以点的轨迹为平面内的线段，
即图中的线段，由图知，
故满足的点的轨迹长度为，D正确．
故选：AD.
4．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 .
【答案】/
【详解】如图，取、、分别为、、的中点，
、分别为、的中点，则且，
在直三棱柱中，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，且，
且、分别为、的中点，则，
所以，四边形是等腰梯形，
当不是中点时，不平行平面，
则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个，
取的中点，连接、，
，，且点为的中点，
则且，
所以，四边形为平行四边形，可得，
同理可得，
所以，、、均为等边三角形，
.
故答案为：.