2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题05直线与圆培优归类(15题型)(学生版+解析)

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题型1 点与圆型范围最值
1．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化简变形，令，则，利用圆与直线的位置关系列不等式计算即可.
【详解】由题意，.
令，则，
由题知，圆与直线有公共点，故圆心到直线的距离，
整理得，解得，所以，
所以的取值范围为.
故选：A.
2．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据方程表示圆及点在圆外，列出不等式求解.
【详解】方程表示圆，
则，即，解得或.
点在圆外，
则，即，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
3．（24-25高二上·辽宁锦州·期中）已知是圆：上任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出的取值范围，再结合式子特征推理求出的范围.
【详解】依题意，
，当且仅当或时取等号，
因此，即，
则，
要的取值与无关，当且仅当，
此时，
由，得，所以实数的取值范围是.
故选：D
4．（24-25高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线交抛物线于两点，若在以线段为直径的圆的外部，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设直线方程为，由得：，所以，，设，则，点，因为点在以为直径的圆外，所以，即， ，，，所以，解得或，又，综上有．故选A．
点睛：在直线与圆锥曲线相交问题中，一定要注意相交的条件，把直线方程与圆锥曲线方程联立后消去一个未知数得中一未知数的二次方程时，一定要注意用判别式＞0来求得参数的取值范围，下面与此参数有关的问题一定要在此范围内求解，否则易出错．如本题不考虑此范围，会得出错误结论．
题型2 阿圆型范围最值
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题干的条件即可求得满足的轨迹方程为圆，再利用距离最小即四点共线时，即可求得最小值.
【详解】
因为，动点满足，
设，则，两边同时平方整理得：，
即点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；
因为点在直线上的投影为，
又抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故,
故
当且仅当四点共线时，取得最小值，
最小值为,
故.
故选：D
2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】先根据可得点的轨迹方程为，又直线过定点，故最大距离为圆心到定点的距离与半径的和，进而可得.
【详解】令，由，可得，
可得点的轨迹方程为，其中圆心，半径为2.
而直线过定点，
故距离的最大值为.
故选：D
3．（2025高三·全国·专题练习）已知，为上一点，且．动点满足为线段上一点，满足，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则为线段的中点B．当时，的面积为
C．点到距离之和的最大值为5D．的正切值的最大值为
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，将条件中的边长关系转化成坐标运算，得到动点的轨迹是圆，动点的轨迹是椭圆，利用圆和椭圆的性质可求解判断A，C，D；结合余弦定理和三角形面积公式可求出的面积，判断出B错误.
【详解】

以为原点建立如图所示平面直角坐标系，则，
设，由知，，化简得，即动点在以点为圆心，半径为2的圆上，
对于A，由知在线段中垂线上，所以当时，为线段的中点，故A正确；
对于B，当时，在中利用余弦定理得，
又因为，所以，所以的面积为，故B错误；
对于C，因为，
根据椭圆的定义，点在以为焦点的椭圆上，且长轴长焦距，短轴长.
所以，当点D在椭圆的右顶点时，即A，M，D三点共线时等号成立，取得最大值5，故C正确；
对于D，易知，根据椭圆焦点三角形的性质可知，当最大时，在椭圆的上或下顶点，
此时为最大值，故D正确．
故选：B.
4．（2025·广东湛江·一模）已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由可得点P轨迹方程，然后由直线与圆D相切时，最大，可得答案.
【详解】设，由得，
即，则点P轨迹为的圆心为，半径为的圆.
当直线与圆D相切时，最大，则．
又，，所以．
又，所以．
故选：D．

题型3 两圆位置求参与最值
1．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知圆D是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆D交于A，B两点，则当最大时，的面积为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【分析】设，写出圆的方程，求得直线的方程，利用点到直线的最小值来求得最大时的面积.
【详解】设，则，
设
，，
圆的方程为①，
圆：的圆心为，半径为，
圆的方程可化为②，
由①②得直线的方程为，即，
是等腰三角形，为顶角，则当到直线的距离最小时，最大，
当到直线的距离为

，
当且仅当时等号成立.
当当到直线的距离取最小值时，，
所以.
故选：A

【点睛】在利用基本不等式求最值的过程中，要注意一正、二定、三相等.求解圆与圆位置关系有关问题，首先考虑数形结合的数学思想方法，画出图象，然后根据图象、圆的几何性质来对问题进行分析和求解.
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．圆和圆关于直线对称
B．圆和圆的公共弦长为
C．的取值范围为
D．若为直线上的动点，则的最小值为
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D.
【详解】对于A，和圆，
圆心和半径分别是，
则两圆心中点为，
若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，
但两圆心中点不在直线上，故A错误；
对于B，到直线的距离，
故公共弦长为，B错误；
对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小，
当四点共线时，的值最大为，
故的取值范围为，C错误；
对于D，如图，设关于直线对称点为，

则解得即关于直线对称点为，
连接交直线于点，此时最小，
，
即的最小值为，D正确.
故选：D.
3．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可.
【详解】圆D：的圆心，半径为，
圆C：的圆心，半径为，
因为圆与圆相外切，所以，所以，
且圆与轴交于，不妨记，
因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上，
由对称性不妨令，
当时，则，解得，
故
，
当时，则，解得，此时，故，
当时，则，解得，故
，
综上所述，的最大值为.故选：B.
【点睛】关键点点睛：将表示的坐标重新表示为线段长度从而方便正切公式的计算，是解决本题的关键.
4．（21-22高二上·江苏无锡·期中）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】作出关于直线的对称圆，把转化到与直线同侧的，数形结合找到取最大值的位置，求出的最大值.
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，则 ，解得：，故圆B的圆心为，半径为1，由于此时圆心A与圆心B的距离为4，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为
故选：C
题型4 直线与圆相交弦
1．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点的轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值.
【详解】圆，则圆心为，半径，
设点坐标，
对于直线，即，
令，解得，则直线恒过点，
对于直线，即，
令，解得，则直线恒过，
又，所以，所以，即，
即，即，
所以点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点，
若为，此时直线的方程为，不符合题意，故去掉点；
若点为弦的中点，位置关系如图：
所以，连接，由，
易知，，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，即点的轨迹方程为，记作圆，
又点分别为圆、圆上的点，
所以，当在处，在处取等号，
所以
，
即的最大值为．
故选：A．
2．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则点到点的距离的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点的最短弦长的取值范围，从而得到点与圆心之间距离的取值范围.
【详解】由得，所以圆的圆心为，半径，
因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为，
以下分析过点的最短的弦，

由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离，
要使得最短，则最大，
由图可知，，当时，取到最大值，此时弦长最短，
根据圆的对称性，这5条长度为正整数的弦长度分别是，
要使得有两条长度为4的弦，则最短弦长小于4，要使得没有长度为3的弦，则最短弦长大于3，
因此，过点的最短的弦长，

因为弦长最短时，所以，，，
故选：B
3．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆的方程为，依题意可得，，再由点在圆上，即可得到，从而得到圆为，求出圆过定点坐标，从而求出定弦长.
【详解】设圆的方程为，因为圆过，两点，
且，两点的横坐标满足方程，
所以，，
所以圆的方程为，
又在圆上，
所以，解得，
所以圆的方程为，
即，
令，解得或，
即圆恒过点和，又，所以该定值为．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出圆的方程为，从而求出圆过定点坐标.
4．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，中点，则，，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最小值，进而可求出的最大值.
【详解】设，中点，则，，
又，，
则，
所以，
又，则，而，，
所以，即，
综上，，
整理得，即为M的轨迹方程，
所以在圆心为，半径为的圆上，
又，所以点在圆外，
则，
所以
故选：C.
【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于中点的轨迹方程.
题型5 直线与圆弦心角范围型
1．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆是圆上的动点，且是线段的中点，则当取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，借助圆的弦长公式求出点的轨迹方程，利用几何图形确定取得最大值时的点位置，进而求出长.
【详解】圆的圆心，半径，
由是圆的弦中点，得，而，
则，
即，设，，
整理得，因此点的轨迹是圆，
当直线与圆相切且点在点的右侧时，取得最大值，
连接，，
所以.
故选：A
2．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知椭圆及圆，如图，过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由等边三角形可得，设直线的方程为，求得圆心到直线的距离，由圆的弦长公式可得，联立椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值.
【详解】由，可得为等边三角形，即，
设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，
弦长，解得，
可得直线，代入椭圆方程，
可得，
由直线和椭圆相切，可得：，
化简可得，由，可得，即有.
故选：A
2．（24-25高二上·安徽宿州·期中）已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取弦MN的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解.
【详解】设弦MN的中点为，由，得，
由为MN的中点，得，设向量与的夹角为，
，又，
所以的最小值为.
故选：D
4．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆：交于，两点，则当最大时，的面积为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解即可.
【详解】由题意知，，在中，，
显然，是锐角，，
又函数在上单调递增，
因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径，
在中，，，
所以，.
故选：D.

题型6 弦心角三角形范围型
1．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．10
【答案】B
【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值.
【详解】直线过定点，圆，
易知
设到距离为，
，
当时，.
故选:B．
2．（2023高三下·全国·竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，利用平面向量的基本运算化简得到，根据为圆上两点圆上的两点得到的范围，设点，代入不等式中，求出的取值范围，要求解得面积，则求出点到直线的距离，及的长，利用三角形面积公式结合参数的取值范围即可解决问题.
【详解】由题意如图所示：
因为，所以，所以，因为为圆上两点，且圆的圆心半径为，所以，所以，因为为直线上一点，所以设，且所以有，解得：，又，所以，
所以，所以点到直线的距离为：
，因为，所以，又，
所以所以，面积的取值范围为：.
故选：A.
3．（2022高三·全国·专题练习）过圆内一点作倾斜角互补的直线和，分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，结合梯形的面积公式以及导数法可求得四边形面积的最大值.
【详解】设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，
易知四边形为等腰梯形，
所以，四边形的面积为，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，因此，四边形面积的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查四边形面积最值的求解，解题的关键就是求出四边形面积的表达式，结合导数法求解.
4．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】由两圆方程得圆内含于圆，由P是的内心，且得，动圆M内切于圆，分别讨论圆内切、外切于动圆M，由圆心距得，即可求解
【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，
由，得，是圆内含于圆，设圆M的半径为r，
由P为的内心，设内切圆的半径为，由，
得，整理得，
当动圆M内切于圆，与圆外切（），则，
，则，，因此a＝17；
当动圆M内切于圆，圆内切于动圆M时，则，
，则，，得a＝19
所以a＝17或19.
故选：C．
题型7 两圆相交弦
1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】由两圆方程可得公共弦方程，由点在弦上有，进而利用基本不等式求最小值即可.
【详解】圆：和圆：两个方程相减，即可得到两圆的公共弦：，
又点在两圆的公共弦上，即，
则
当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为
故选：D.
2．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】得到四点共圆，且圆的直径为，从而设出，表达出圆心和半径，写出圆的方程，与相减后得到直线的方程为，利用点到直线距离公式得到圆心到直线的距离，配方求出的最小值，从而得到的最大值.
【详解】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，设，则，
则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为：，整理得：，将与相减得：，故直线的方程为，圆心到直线的距离，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，故.故选：D
3．（2022·福建泉州·模拟预测）若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析出AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，，
当的坐标为时，，
由余弦函数的单调性确定时，最大，此时最大，最大值为.
【详解】可化为，
故圆N的圆心为，半径为，
由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，
所以且，故，
当的坐标为时，，
在△NAB中，，
又，在上单调递减，
故为锐角，且当时，最大，
又在上单调递增，
所以当最大时，取得最大值，且最大值为，
故选：D
4．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5B．C．D．10
【答案】A
【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案.
【详解】，，，
由，解得，或，
则，
因为，所以四边形的面积为.
故选：A.
题型8 切线：切线长最值
1．（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
【分析】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值.
【详解】圆的圆心为，半径，
点在直线上，
则圆心到直线的距离，
可知直线与圆相离，
设其中一个切点为A，
则切线长，
所以切线长的最小值为.
故选：C.
2．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
【答案】C
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果.
【详解】由题设中圆心，半径，
中圆心，半径，
根据双曲线方程知其左右焦点为，连接，
所以，
所以
，
，
当且仅当为双曲线右顶点时等号成立，故的最小值为30.故选：C.
3．（24-25高二上·山东威海·期中）椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据离心率为求得椭圆方程为，设，利用切线长公式求解.
【详解】 由题知，解得，，所以椭圆，
设，，，
设的圆心为，半径为，则，，
因为与圆相切，
所以
，
当时，.
故选：C.
4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为直线与的交点时，最小，由对称知此时与重合，从而易得最小值．
【详解】，所以当时，最小，
由点到直线的距离公式可得此时
，
过作直线的对称点，再连接，与直线的交点即为所找的点，
由于关于直线对称，，与关于直线对称，
因此与就是同一条直线，即点就是点，
所以的最小值等于，
故选：C．

题型9 切点三角形与四边形面积最值
1．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解.
【详解】如图，，解得，所以，
因这样的点有且仅有一个，由图知此时，则圆心到直线的距离为6，
即，化简得，其中，
，则， ，
所以，即，则直线的斜率为，
所以直线，即，联立，解得，即，
因的中点坐标为，且，则以为直径的圆的方程为 ，
整理得，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，
将两圆的方程相减得，故直线的方程为.故选：B.
2.（23-24高三上·重庆·阶段练习）过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为 .
【答案】/
【分析】由得出点在以为直径的圆上是关键，通过两圆方程相减得到直线的方程，从而求出面积的表达式，运用函数思想求解即得.
【详解】
如图，设点，因,故点在以为直径的圆上，
因圆心，半径为，故圆的方程为：，
又圆：，将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：，
于是，点到直线的距离为：，，
故的面积为：，
不妨设则，且，故，
因在上单调递增，故，此时，
即时，点时，面积的最大值为.
故答案为：.
3．（22-23高二·浙江湖州阶段练习）过直线上点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则使∠AOB最小的点P坐标是 ．
【答案】
【分析】设，则，最小时，最大，最小从而最小，，进一步转化为点到直线的距离最短问题，然后得解．
【详解】
设，如图可知，，
∴当与直线垂直时，最小，
最大，最小，
从而最小，
此时直线的方程为，
与直线联立，
解得点坐标为，故答案为.
【点睛】本题主要考查圆的切线的几何意义，以及转化的思想的运用属于中档题．转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将角的最小值转化为求线段的最小值，再转化为求直线的交点坐标.
4．（2024·湖北·模拟）点是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，则三角形面积的最小值为 ．
【答案】
【详解】分析：由圆的方程求得圆心坐标和半径，在由是圆的两条切线，利用点到直线的距离公式，进而求解三角形面积的最小值.
详解：由圆的大风车，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
设，则，
则，
所以，
所以函数在单调递增，所以.
点睛：本题题考查直线与圆的位置关系的应用，解答的关键在于根据题意得到面积的表示，进而求解函数的最值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
题型10 切点弦应用
1．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：
由圆的几何性质可知，，
因为，，，所以，，
所以，，则，
设，则为的中点，
由勾股定理可得，
由等面积法可得，
所以，当取最小值时，取最小值，由，可得，
所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，
则，因为，解得.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种：
（1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解；
（2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解.
2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据切线的性质利用等面积法可得，再设，结合两点间距离公式求的取值范围，进而分析得解.
【详解】由题意可知：圆：得圆心为，半径，

因为，则，
由四边形的面积可得，
整理得，
设，
则，
且，可知当时，取到最大值，
当时，取到最大值，
即，则当时，取到最小值，
当时，取到最大值，
即弦长的范围为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：1.根据切线性质可得；
2.设椭圆上点，结合两点间距离公式求的取值范围.
3．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知圆：和直线：，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合题意，利用等面积法表示出，通过分析转化为圆心到直线的距离最小，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程就可以得到直线的方程.
【详解】由题意可得: ,
所以,
要使得最小，只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时，且满足.
所以此时直线的方程为：，即，
联立，解得：，即，
由于四点共圆，以为直径的圆的方程：，
即：，联立两个圆的方程，
得到直线的方程为：.
故选：A.
4．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】得到四点共圆，且圆的直径为，从而设出，表达出圆心和半径，写出圆的方程，与相减后得到直线的方程为，利用点到直线距离公式得到圆心到直线的距离，配方求出的最小值，从而得到的最大值.
【详解】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，
设，则，
则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为：，
整理得：，
将与相减得：，
故直线的方程为，
圆心到直线的距离，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故.
故选：D
题型11 与圆有关的折线型“将军饮马”
1．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定P的轨迹，取点构造相似结合三角形三边关系计算即可.
【详解】因为直线，直线，易知，
且分别过定点，取其中点，易知，
则P点在以C为圆心，3为半径的圆上，取点，连接,
不难发现，则，所以，
则，
当且仅当三点共线，且与线段和圆C的交点重合时取得等号.
故选：A.
2．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出直线与直线过定点坐标，再可判断直线与直线垂直，即可得到点的轨迹是以为直径的圆，求出轨迹方程，求出以点为圆心，为半径的圆恒过点，即，最后由计算可得.
【详解】直线，即，
令，解得，即直线过定点；
直线，即，
令，解得，即直线过定点；
又，即直线与直线垂直，
所以点的轨迹是以为直径的圆，（挖去点）
故圆心是，半径为，点的方程是（挖去点）；
设，则以点为圆心，为半径的圆的方程为，
因为，则，
所以恒成立，
所以以点为圆心，为半径的圆恒过点，
所以，
所以，
当且仅当在线段与圆的交点时取等号，
即的最小值为.
故选：A
3．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知，点P为直线上的一动点，点Q为上的一动点，则|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据可得，即可根据，根据三点共线即可得三点共线时，且垂直于直线时距离最小，即可根据点到直线的距离公式求解.
【详解】设，则，
令，则且，
所以，得对任意成立，
则，则，
当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，即点M到直线的距离，等于．
故选：A
4．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得.
【详解】∵，∴.
∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C，
设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足，
则，
化简得，
又∵，代入得，
要使等式恒成立，则，即.
∴存在定点，使圆上任意一点P满足，
则，
当三点共线（位于两侧）时，等号成立.
又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离，
由到直线距离，则.
故.
如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值.
故选：D.
【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值.

题型12 三角函数系数型圆的切线
1．(多选题）（21-22高三下·湖南长沙·阶段练习）设直线系：，则下面四个命题正确的是（ ）
A．直线系中包含倾斜角为和的直线
B．点到直线系中的所有直线的距离恒为定值
C．直线系中能构成三角形的任意三条直线所围成的三角形面积都相等
D．存在点不在直线系中的任意一条直线上
【答案】ABD
【分析】当与时可判断A；利用点到直线距离公式可判断B；取其中4条直线即可比较所围成面积大小；点满足D条件．
【详解】当时，直线系：，倾斜角为；当时，直线系：，倾斜角为，故A正确；
点到直线系中的所有直线的距离为，故B正确；
因为点到直线系中的所有直线的距离恒为定值1，
所以直线系中的所有直线均为圆的切线，
取其中4条直线分别为，，，
如图所示，直线所围成的与的面积不相等，故C错；
存在点不在直线系中的任意一条直线上，D正确．
故选：ABD
2．（2021高三·全国·专题练习）直线系，直线系A中能组成正三角形的面积等于 .
【答案】或
【分析】应用辅助角公式可得且，根据正弦函数的性质有，易知其几何意义：直线系A是圆上所有点的切线集合，分析可知直线构成正三角形有无数个，但面积值只有两个；将圆心移至原点、取简化模型，设为，应用切线的性质及点线距离公式求参数b，进而求出正三角形的两个面积值.
【详解】直线系A：可变形为，
∴，而，
，即，其几何意义为圆外的点的集合，直线系是圆的切线的包络，即圆上所有点的切线集合，如图所示.

把圆心平移到原点，由过圆上一点的切线方程为.
而圆的参数形式为，，
令，则以为切点的切线方程为，即.
由圆心到切线的距离等于半径，有，即，
故当时，直线系是圆上所有点的切线方程系，也是圆的包络线.
显而易见，所有直线系中的直线构成正三角形有无数个，但是面积的值只有两个.

如取，如图所示，设直线的方程为.
圆心到直线的距离等于半径，则，
，则，
当，，，则.
当，，，则.
将圆向右平移3个单位即为，不改变正三角形的面积，直线系A中组成正三角形的面积：或.
故答案为：或
3．（23-24高一·北京东城课后作业）已知直线系方程（其中为参数）．当时，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域，则区域的面积为 ．
【答案】 或
【分析】求出直线与坐标轴交点坐标后易得三角形面积，把直线系（其中为参数）向下平移一个单位，该直线系中的三条直线围成正三角形区域的面积不变，新直线系方程变为，首先点在此直线上，而点是以原点为为圆心，2为半径的圆上，直线是该圆上过点的切线方程，这样直线系理解为圆的切线系，该切线系中三条直线围成正三角形分两种情形，一种圆是正三角形的内切圆，另一种圆是正三角形的旁切圆，由此可求得三角形的面积．
【详解】当时，直线为，即，当时，，与轴交于点，当时，，与轴交于点，∴直线与两坐标轴围成的三角形面积；
设直线系中三条直线围成的是正三角形区域，先把整个直线系向下平移一个单位，这个区域不会变，直线系方程变为，如果令，，带入上面方程，等式成立，因此是直线上的点，对于某个固定的，注意到是以原点为圆心，半径为的圆的参数方程，而恰好是此圆的切线，因此直线都是这个圆的切线的集合，那么这些切线组成的正三角形有两种情况，
如果圆是正三角形的内切圆，如图正内切圆的半径为2，是切点，则，，，，
，
如果圆是正三角形的旁切圆，如图，圆是正的旁切圆，是边上的切点，与比较，，，
所以，所以．故答案为：；或．
4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知是直线系中的两条直线，若，则之间的距离为 .
【答案】4
【分析】由平行求得两直线方程，再根据直线间距离公式求解．
【详解】设直线方程分别为，，
不妨设，
因为，，，所以（舍去）或，
时，，
若，则，直线方程分别为和，两直线间距离为4，
若，则，，满足两直线平行，
所以，
因此直线的方程为，
所以之间的距离为，
综上，的距离为4，
故答案为：4.
题型13 直线与圆超难压轴小题
1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设的中点为，设，由，知，结合勾股定理化简整理得点的轨迹方程；设与圆交于点，取的中点，利用三角形相似得到，求解即可.
【详解】由题知，圆的半径，，圆的半径，
设的中点为，连接，所以，
因为，，
所以四边形为矩形，则为的中点，且，
设，则，所以，
因为，所以，
所以，即，
整理得，
所以点在以为圆心，以为半径的圆上.
因为，所以，
设与圆交于点，取的中点，连接，则，，
在和中，且，
所以与相似，所以，即，
所以，
当且仅当三点共线且垂直于轴时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据已知条件得到点的轨迹为圆，其次在于构造三角形相似，从而得到.
2．（2024·山东泰安·模拟预测）已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】求出抛物线焦点坐标为，由抛物线定义得到，数形结合当三点共线时，取得最小值，最小值为，的最小值即为的最小值，将图形整体向上平移两个单位，等价于在圆上找到点，使得取得最小值，结合三角换元即可求解.
【详解】的焦点坐标为，为抛物线的准线，
故，则，
连接，与交于点，即当三点共线时，
取得最小值，最小值为，
的最小值即为的最小值，
为了计算的简便，先将图形整体向上平移两个单位，如下图，
其中，，
原问题等价于在圆上找到点，使得取得最小值，
根据圆的对称性，不妨设在第一象限，
设，，
，
设，
则，
令，则，
而，
故，当时，当时，，
故在为减函数，在上为增函数，
故， 则的最小值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
3．（24-25高二上·江苏苏州·期中）如图，已知点，点为圆上的动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是 .

【答案】
【分析】以为邻边，作矩形，则，证明出，从而得到，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，数形结合得到，得到答案.
【详解】以为邻边，作矩形，则，
由矩形性质可得，证明如下：
设，
过点分别为⊥，⊥，⊥，垂足分别为，
过点作⊥，垂足为，
则，
故，
，
所以，
，
，
所以，
证毕，

即，故，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以，
左边等号成立的条件为三点共线，且在之间，
右边等号成立的条件为三点共线，且在之间，
则的取值范围是
故答案为：
【点睛】关键点点睛：作出辅助线，得到，证明出，从而得到，得到点轨迹，数形结合进行求解.
4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于两点.当时， ；当时，的最小值为 .
【答案】
【分析】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等和勾股定理以及对称性得到点的轨迹方程，再由两点间距离公式求出，由向量数量积的坐标表示结合几何意义求出的最小值；
【详解】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等可知，不妨设点在轴上方时，
由可得，又，所以，
设圆的半径为，所以在中，，解得，
所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆中所对应的优弧，不包括断点，
又对称性可得轴下方也满足，图形如下：
可得点的轨迹方程为，
当时，直线方程为，
联立，解得，
由对称性可得，
所以，
当时，设，由对称性可得，
所以，
由几何意义可得表示点到原点距离的平方，所以的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能根据圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等的到点的轨迹方程.

题型14 综合大题：韦达定理型
1．（21-22高二上·安徽·阶段练习）已知圆C过原点，圆心C是直线与直线的交点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C与y轴交于A､B两点（A在B上方），直线与圆C交于M､N两点，直线，相交于T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）首先求出两直线的交点坐标，即可得到圆心坐标，再根据圆过原点求出半径，即可得到圆的方程；
（2）设，，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由直线的方程为，直线的方程为，即可得到，从而求出定直线方程；
【详解】（1）解：由，得，所以圆心.
又因为圆C过原点，所以，
所以圆C的标准方程为：.
（2）解：设，，由（1）可知，，.
联立方程组，消去y并化简得，
所以，.
直线的方程为①
直线的方程为②
由①②知，
由，化简得，
故点T在定直线上.
2．（21-22高二上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．
(1)若，求的值；
(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)恒为定值；
(3)证明见解析，交点恒在定直线上.
【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，即可证得结论成立；
（3）设直线的斜率为，可得出，写出直线、的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：圆的圆心为，到直线的距离为，
，可得，解得.
（2）解：将代入圆О方程，并整理得，
则，设点、，
由韦达定理，．
，所以，，同理，
于是（定值）.
（3）解：注意到，设直线的斜率为，则，即．
直线的方程为，直线的方程为的交点满足，
即，解得，故直线、交点必在定直线上．
3．（20-21高一上·河南南阳·期末）已知圆C经过两点，圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C与y轴相交于A，B两点（A在B上方）.直线与圆C交于M，N两点，直线，相交于点T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）由已知设出圆心，再由圆心到的距离都为半径列出方程解出答案即可；
（2）联立直线与圆的方程并化简，然后求出直线和的方程，进而结合根与系数的关系得到答案.
【详解】（1）依题意可设圆心，则半径，
解，，故，即圆C的标准方程为.
（2）设，由（1）可知，，
联立方程组，消去x并化简得，
容易判断直线所过定点（0,1）在圆内，即直线与圆一定有两个交点，
所以，
直线的方程为…①，直线的方程为…②，
由①②可得：，
由，化简得，故点T在定直线上.
【点睛】解析几何压轴题运算量一般都比较大，这个需要平时加大练习力度.本题涉及定点问题，思路一定要直接一点，需要交点，那就解出交点；另外这种题往往和根与系数的关系联系紧密.
题型15 综合大题：圆过定点
1．（2021高二·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆设动圆C同时平分圆､圆的周长.
(1)求证：动圆圆心C在一条定直线上运动.
(2)动圆C是否经过定点若经过，求出定点的坐标若不经过，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)过定点，定点的坐标为和
【分析】（1）由题意，圆心C到､两点的距离相等，由此结合两点间的距离公式建立关系式，化简整理得，即为所求定直线方程；
（2）根据题意设，得到圆C方程关于参数的一般方程形式，利用恒过点，即可得到动圆C经过的定点坐标.
【详解】（1）解：设圆心，由题意，得，
即，化简得，
即动圆圆心C在定直线上运动.
（2）解：圆C过定点，设，
则动圆C的半径为，
于是动圆C的方程为，
整理得.
联立方程组，解得或
所以动圆C过定点，
定点的坐标为和.
2．（重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题）已知圆C轨迹方程为
（1）设点，过点作直线与圆C交于，两点,若，求直线的方程；
（2）设是直线上的点，过点作圆的切线，，切点为，.求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。
【答案】（1）或；（2）证明见解析，定点坐标为.
【解析】（1）设出直线的方程，注意讨论斜率是否存在，再由点到直线的距离公式和弦长公式，列出方程，即可求得直线的方程；
（2）设出点的坐标，根据切线的性质，可得经过的三点的圆，即为以为直径的圆，求得圆的方程，结合院系方程，即可求解.
【详解】（1）根据题意，圆轨迹方程为，可得圆心，半径为，
①若直线的斜率不存在时，即，代入圆的方程，
可得，即，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
设圆心的距离为，
因为，由圆的弦长公式可得，解得，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
（2）由点是直线上的点，设点，
根据切线的性质，可得，
经过的三点的圆，即为以为直径的圆，
则圆的方程为，
整理得，
令，解得或，
即经过的三点的圆必经过定点.
【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系及弦长的计算等知识点的综合应用，其中解答中熟记圆的弦长公式和圆的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
3．（19-20高一下·浙江湖州·期末）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
【答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值．
【分析】（1）设，由，计算即可求得，得出结果；
（2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆的方程为，化简为，由方程恒成立可知，即可求得动圆所过的定点；
（3）由圆和圆方程作差可得直线方程，设点到直线AB的距离，则，计算化简可得结果.
【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设，
因为PA是圆M的一条切线，所以，所以，
解得或，所以点P的坐标为或．
（2）设，因为，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为，即，
由，解得或，所以圆过定点，．
（3）因为圆N方程为，即①
又圆② ①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
．点到直线AB的距离，
所以相交弦长，
所以当时，AB有最小值．
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难.

结束
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)，则有：
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＝0；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2， x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＞0；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2