2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题04立体几何非建系综合的大题培优归类(14题型)(学生版+解析)

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题型1 非建系：“虚”交线型
1．如图，在平行四边形中，，，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且，，分别为，的中点.
(1)证明：平面.
(2)若平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.
2．如图，在直三棱柱中，，.
(1)设平面与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；
(2)求证：；
(3)若与平面所成的角为30°，求三棱锥内切球的表面积S.
3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，侧面平面．
(1)求证：；
(2)设平面与平面的交线为，、的中点分别为、，证明：平面．
题型2 非建系：探索性线面平行
1．（24-25高三·江西·阶段练习）如图1，已知等边三角形的边长为，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，得到如图2所示的四棱锥．
(1)证明：．
(2)在棱上是否存在点满足平面？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由．
(3)已知二面角的大小是，点在四边形内（包括边界），且，当直线与直线的夹角的余弦值最大时，求的值．
2．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
3．（24-25高三·甘肃兰州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，E是的中点．
(1)求证：；
(2)设与交于O点，是否存在上一点F，使得平面平面，若存在请指出F点的位置，并说明理由．

题型3 非建系：探索性面面平行
1．（21-22高三·湖北·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.
2．（21-22高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是平行四边形，，，分别为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，求的最大值．
3．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，．
(1)求三棱锥的体积．
(2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由.
题型4 非建系：探索性线面垂直
1．（24-25高三·北京·阶段练习）如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
2．（21-22高一下·江西景德镇·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在点D，使得面?若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由.
3．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点.
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
题型5 非建系：探索性面面垂直
1．（22-23高一下·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面．

(1)求证：；
(2)求证：为线段中点，并直接写出到平面的距离；
(3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由．
2．（23-24高三·北京怀柔·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面.

(1)求证：为线段中点；
(2)求证：平面平面；
(3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由.
3．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
题型6 非建系三大角1：异面直线
1．（23-24高三·湖南长沙·阶段练习试）如图，在直三棱柱中，，D是AC的中点，．

(1)求证：平面；
(2)若异面直线AC和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积．
2．（24-25高三·重庆坝·阶段练习）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD.
（1）证明：平面平面PAC；
（2）若异面直线PD与AB所成角的余弦值为，且，求四棱锥的体积.
3．（20-21高一下·重庆九龙坡·期中）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.
（1）若O为AC中点，求证：平面；
（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为1:2，异面直线AM和BC所成角的余弦值.
题型7 非建系三大角2：线面角
1．（2021·全国·模拟预测）如图所示的几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，已知，线段与交于点，，分别为线段，的中点，平面平面，平面．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若是边长为2的等边三角形，，求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2024·江苏宿迁·三模）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
3．（24-25高三安徽阶段练习）如图，在四棱锥中，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD的交点为O，且平面ABCD，是等边三角形，点E是线段AD上的动点．
(1)证明：；
(2)求二面角的平面角的正切值；
(3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值的最大值，并指出点E此时所在的位置．
题型8 非建系三大角3：二面角
1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且.
(1)若点是的中点，
（i）求证：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
2．（24-25高三·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正三棱柱中，，点为的中点.
(1)证明：平面平面
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(3)求二面角平面角的正切值.
3．（22-23高一下·福建福州·期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面，，分别为，的中点.

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点使得平面，存在指出位置，不存在请说明理由.
(3)求二面角的正弦值．

题型9 特殊证明与计算：四点共面型
1．（21-22高三上·河南·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱上靠近的三等分点，底面，且.
(1)在侧棱上是否存在点，使得点四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由；
(2)求二面角的余弦值.
2．（23-24高三·河南·阶段练习）如图，四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点．
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得四点共面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
3．（24-25高一下·云南昭通·期末）图1是由正方形和等边组成的平面图形，将沿折起．
(1)折起时点与点重合，且平面平面，如图2，、分别是、的中点．
①证明：四点共面；
②证明：平面平面；
(2)折起时点与点重合，且，如图3，求点到平面的距离．
题型10 特殊证明与计算：外接球型
1．（24-25高三福建福州·阶段练习）如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点；
(1)求证：平面
(2)求证：平面
(3)若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上
2．（24-25高三上·河南开封·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，.
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求；
(3)当，时，四棱锥的外接球表面积与（2）中四棱锥的外接球表面积相等么？若相等，请求出四棱锥的外接球表面积；若不相等，请说明理由.
3．（24-25高一下·安徽安庆·期末）如图所示，已知正方体的体积为64，点M为线段的中点，过点A，M的平面与直线平行.
(1)求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积；
(2)求证：平面平面；
(3)点E是侧面内的动点，满足平面，当线段最短时，求四面体的外接球的表面积.
题型11 特殊证明与计算：特殊几何体体积
1．（25-26高二上·山东潍坊·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，且侧面底面，是的中点，．

(1)已知是的中点，求证：平面平面
(2)求证：平面；
(3)当时，在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
2．（25-26高三·湖北·阶段练习）如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm．

(1)求四棱台的表面积；
(2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积．
3．（25-26高二上·北京·开学考试）如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.

(1)求证：；
(2)线段上是否存在，使得平面？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
(3)求多面体的体积.

题型12 特殊证明与计算：角度最值范围
1．（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．

(1)求证：；
(2)当时，求点到平面的距离；
(3)当时，求二面角的正切值的取值范围．
2．（25-26高三安徽马鞍山·开学考试）如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．

(1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值；
(2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值；
(3)在翻折过程中，求二面角的最大值．
3．（2025高三·全国·专题练习）将边长为的等边沿平行于的线段折起，使平面平面（如图）．设点到的距离为的长为．

(1)当为何值时，取得最小值？最小值是多少？
(2)设，试求的最小值．
题型13 特殊证明与计算：几个角度恒等式
1．（23-24高三·全国专题练习）在三棱锥中，，点在平面上的投影为，连接.
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，记，，直线与平面所成角为，求证：，比较与的大小并说明理由；
(3)如图3，已知，，，为平面内一点，且.记异面直线与所成角为，求的最大值.
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，设侧面与底面所成的二面角分别为，，，证明：．

3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，设侧面与底面所成的二面角分别为，，，证明：．
题型14 第19题题型综合应用
1．（24-25高三全国 专题练习）设为多面体的一个顶点，是多面体上所有与点相邻的顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中所有角均采用弧度制表示．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，．
(1)求四棱柱在点和点处的离散曲率之和；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求四棱柱在点处的离散曲率；
(3)若四面体在点处的离散曲率为，求二面角的余弦值．
2．（24-25高三全国 专题练习））离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接．
(1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)已知直线与直线所成角的余弦值为．
①求四棱锥在顶点处的离散曲率；
②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值．
3．（2025·河北·模拟预测）在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记.设为两个不同的平面，为平面外的三点..
(1)若，判断直线与平面的位置关系；
(2)平面与平面夹角为锐角且交于直线，直线，求证：；
(3)若对于任意点，恒有成立，求平面与平面夹角的大小.
如果两个平面相交，则满足以下性质：
1.两点确定一条直线，只需确定两平面的两个公共点即可
2.由于两平面有一个公共点A，再找一个公共点即可确定交线
3.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，在平面内，过两平面的公共点作直线与已知直线平行，则此直线即为两平面的交线
平行的常用构造方法
①三角形中位线法；
②平行四边形线法；
③比例线段法.
注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角；②平行关系的判定.
证明平行
(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.
垂直的常见构造：
①等腰三角形三线合一法；
②勾股定理法；
③投影法.
④菱形的对角线互相垂直
面面垂直探索性：
面面垂直主要思维，即一个平面经过另外一个平面的垂线
异面直线所成的角：
简称“平移角”，以平移一条直线或者两条直线同时平移，平移到一个平面（三角形或者四边形）内计算求解。
直线与平面所成的角：
直线与平面所成的角，简称“射影角”，非建系的核心做法就是适当选取直线上合适的点，向平面做垂线，连接垂足与斜足，直线与射影所成的角即为线面角。特殊情况下，也可以采取“虚做垂线法”，即采取等体积转化法来求直线上一点到平面的距离。
二面角的平面角：
二面角，简称“垂面角”，非建系思维，有以下几种方法
定义法：在二面角棱上，选择合适一点，分别在两个半平面内做棱的垂线即可。
垂面法：过棱上一点，做垂直于棱的平面，与两个半平面相交，所成角即为二面角的平面角。
垂线法：寻找两个半平面其中一个半平面的垂线，与另外一个半平面相交，从“垂足”（或者“斜足”）向棱做垂线，再连接另外一“足”，即是二面角的平面角。
外接球证明与计算；
主要借助于球的定义来证明。球的计算，则可以借助截面与垂径勾股三角形来计算。
角度最值范围型：
遵循角度概念与定义，适当的设变量，建立关于角度的三角函数式，在对应的自变量取值范围内求解最值。