2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点12立体几何动点与截面(培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点12立体几何动点与截面(培优专项训练)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了在侧棱长为的正三棱锥中，，过等内容，欢迎下载使用。

考向01 截面1：截面基础做法
1．（2025浙江模拟测试）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）
C．（1）（4）D．（1）（5）
2．（24-25全国专题练习）如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三河北模拟测试）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）
A．①②④B．②③C．①②D．②③④
4．（22-23全国专题练习）一长方体木料，沿图①所示平面截长方体，若那么图②四个图形中是截面的是（ ）．
A．B．C．D．
【点睛】本题是一道关于考查截面的题目，解题的关键是掌握平面与平面平行的性质定理的应用，是一道基础题．
考向02 截面2：截面周长最值型
5．（2022·河南南阳·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
6．（20-21高二上·江西宜春·月考）侧棱长为2的正三棱锥V-ABC的侧棱间的夹角为40°，过顶点A作截面AEF，截面AEF的最小周长为（ ）
A．aB．6aC．4aD．12a
7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于，则下列说法正确的是（ ）
（1）三棱锥的体积为20
（2）直线与平面所成角正弦值的最大值为
（3）存在唯一的点，使得平面，且
（4）存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值
A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）
8．（2025高三甘肃 模拟测试）在侧棱长为的正三棱锥中，，过
作截面，则截面的最小周长为（ ）
A．B．C．D．
考向03 截面3：截面面积最值型
9．（25-26高三上·安徽·期中）已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（25-26高二上·河南新乡·月考）在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
11．（23-24高三上·湖南长沙·月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）

A．B．C．D．
12．（2023·广西·模拟预测）在三棱锥中，，平面经过的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
考向04 截面4：球截面型
13．（22-23高三全国模拟测试）在三棱锥中，和都是等边三角形，，平面平面，M是棱AC上一点，且，则过M的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为（ ）
A．24πB．25πC．26πD．27π
14．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，过点的平面截正方体的外接球的截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·全国·模拟预测）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·陕西榆林·一模）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
考向05 截面5：恒平行型截面
17．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．B．2C．D．4
18．（2023·四川泸州·模拟预测）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的个数是（ ）
① ②平面
③动点的轨迹长为 ④与所成角的余弦值为
A．0B．1C．2D．3
19．（22-23高三上·广西贵港·月考）正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（ ）
A．B．5C．D．
20．（24-25高二下·广东揭阳·月考）棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．动点的轨迹的长度为
B．的最小值为
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
考向06 截面6：恒垂直型截面
21．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
22．（福建模拟测试在棱长为1的正方体中，是的中点，是三角形内的动点，，则的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
23．（24-25全国专题练习）如图，已知直三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为.，分别是侧面和侧面上的动点，满足二面角为直二面角.若点在线段上，且，则点的轨迹的面积是
（ ）

A．B．C．D．
24．（2021·河南·一模）如图，在棱长为1正方体中，为棱的中点，动点在侧面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
考向07 动点轨迹1：圆锥曲线型轨迹
1．（23-24高三下·安徽黄山·月考）如图，在圆柱中过作与轴截面垂直的一个平面，所得截面图形为椭圆，将圆柱侧面沿母线展开，该椭圆曲线在展开图中恰好为函数一个周期的图象，则该截面椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高二上·四川广安·期中）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习索描的重要一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60°的直角梯形，设圆柱半径，则该椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·陕西·三模）在圆锥PO中，已知高PO＝2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2017·河北石家庄·二模）如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）
A．B．C．D．
考向08 动点轨迹2：异面直线定角轨迹
5．（2019·浙江·一模）如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD、PC翻折至A、B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A（B）－PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP所成角为60º，则点Q运动的轨迹是
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
6．（18-19高二下·浙江·开学考试）在正方体中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是内的动点（不包括边界），记直线与MN所成角为，若的最小值为，则点P的轨迹是（ ）

A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．抛物线的一部分D．双曲线的一部分
7．（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25全国专题练习）在三棱锥中，，点为
所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
考向09 动点轨迹3：线面角定角轨迹
9．（24-25全国专题练习）在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（22-23全国专题练习）在四棱锥中，平面ABCD，PA＝3，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且，，直线PM与平面ABCD所成的角为，记点M的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25全国专题练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法正确的个数是（ ）
①点F的轨迹是一条线段
②A1F与D1E不可能平行
③A1F与BE是异面直线
④
A．1B．2C．3D．4
12．（24-25高二上·湖北·月考）点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
考向10 动点轨迹4：两角相等型
13．（23-24全国专题练习）如图,所在的平面和四边形所在的平面垂直,且,,,,,,则点P在平面内的轨迹是
A．圆的一部分B．一条直线C．一条线段D．两条直线
14．（24-25全国专题练习）点在正方体的底面所在平面上，是的中点，且，则点的轨迹是
A．圆B．直线C．椭圆D．圆的一部分
15．（2025高三·全国·专题练习）四棱锥，平面，平面，底面为梯形，，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是（ ）．
A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的一部分
16．（20-21高三上·安徽六安·月考）在长方体中，，，为棱的中点，动点在面内，满足，则点的轨迹与长方体的面交线长等于（ ）
A．B．C．D．
考向11 动点轨迹5：体积比型
17．（24-25全国专题练习）已知正方体，，是线段上的点，且，分别过点，作与直线垂直的平面，，则正方体夹在平面与之间的部分占整个正方体体积的（ ）
A．B．C．D．
18．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则______．

19．（24-25高三上·安徽六安·月考）若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为__________.
20．（24-25高二上·山东青岛·期中）正方体的棱长为3，是平面上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的4倍，则三棱锥体积的最大值是______.
考向12 动点轨迹6：空间将军饮马型
21．（23-24高二上·湖北黄石·期中）在长方体中，，，，M为上一动点，N为AB上一动点，则的最小值为__________.

22．（2023·广东梅州·三模）如图，在三棱锥中，是的中点，，分别为线段，上的动点，，平面，若，则的最小值为______.

23．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）正三棱锥，，点为侧棱的中点，分别是线段上的动点，则的最小值为______.
24．（21-22高一下·山东烟台·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为______；设P为线段上的动点，则的最小值为______．
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26高二上·上海·期末）用一个平面去截一个底面半径为的圆柱，得到的几何体如图所示，其截面边界为椭圆.该椭圆上所有点中离底面最近的点为，其距离为，最远的点为，其距离为，且点和点在底面的投影分别为点和点.已知点是椭圆上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三全国专题练习）两根相同的正三棱柱钢管均被一个经过底面一个顶点且与底面的另一条边平行的平面所截，截得的几何体以截面完全重合的方式拼接在一起构成一个“V”型管道，若这两个正三棱柱钢管长为10cm，底面边长为2cm，且截面与底面所成角均为，则能顺利地从管道的一端通过到管道另一端（管壁的厚度忽略不计）的球最大半径为（ ）cm．
A．B．C．D．
4．（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（ ）

A．椭圆的长轴长等于2
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
5．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2，平面过直线，且与平面ABCD所成的角为，则当分别取得最大值、最小值时，截正方体的截面面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25浙江模拟预测）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（ ）
A．1B．C．D．
7．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（ ）
A．2B．C．D．
8．（2024浙江模拟预测）在边长为2的正方体中，取3条棱的中点构成平面，平面截正方体的截面面积为，从剩余9条棱的中点在平面的投影为，记，当最大时，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知正方体的棱长为2，经过棱的中点作该正方体的截面，且，与棱和棱的交点分别为，截面将正方体分为两个多面体，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成角的正弦值为B．截面为五边形
C．截面的面积为D．多面体内均不可放入体积为的球
10．（24-25高三上·重庆·月考）在正方体中，，分别为和的中点，M为线段上一动点，N为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ）
A．直线平面
B．异面直线与所成角的取值范围是
C．过点的截面周长为
D．当时，三棱锥体积最大时其外接球的体积为
11．（2022·湖北武汉·模拟预测）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体的体积
三、填空题
12．（24-25高二下·浙江金华·期末）在正方体中，，点E，F，G分别为，，的中点，点在线段上运动（不包括端点），过G，P，的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是__________.
13．（2025·河北·模拟预测）在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为______；E，F分别是，的中点，若用一个与直线垂直且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为_____．
14．（24-25高三上·江西新余·月考）在棱长为2的正方体中，底面的中心为，在直线上，记经过点且垂直于的平面与该正方体的截面为，为了保证始终存在，则的取值范围为：__________；若的面积为，则=__________.
结束
内容导航
速度提升 技巧掌握 手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：动点与截面问题是高考全国卷数学立体几何板块的一个核心重难点，近三年命题稳定且分值占比高，多以选择题、填空题为主，单题分值 5 分，整体难度中等偏上。命题核心围绕 “空间几何平面化” 思想，综合考查空间想象、逻辑推理和运算求解能力．
预测2026年：夯对于2026高考备考，可以从以下几方面复习备考。
1.夯实基础模型：熟练掌握正方体、长方体、正三棱锥的截面作图，牢记球截面半径公式、正多边形面积公式等核心结论。
2.强化转化思想：养成 “遇空间问题先平面化” 的习惯，重点练习侧面展开、翻折旋转、补形等转化技巧。
3.聚焦高频题型：针对性练习 “截面周长 / 面积计算”“动点轨迹判断”“球截面最值”
4.复习备考避坑要点：①区分截面与几何体的交线，避免漏顶点；②计算球截面时，勿混淆球心到截面的距离与几何体顶点到截面的距离；③轨迹问题需考虑几何体边界，避免将 “线段” 误判为 “直线”。
总之，动点与截面问题的核心是 “空间转平面、动中找静”，备考时需兼顾基础作图能力与综合运算能力，熟练掌握适配全国卷的解题模板，即可高效应对各类题型。
。
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥， 球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清 楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。。
一般地，立体几何中的截面问题，有两种处理方法：
1.是利用平行关系找交线，
2.是利用共面直线延长相交得交点.
基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面
特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。
方法：相交线法
以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线
如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的），
先用上表面（红色的）来做：
所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G
此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H.
连接HB，则的如右图的截面。

再用右表面绿色的来做：
则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I
此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J.
连接FJ，则出右图的截面。
求截面最值思维
可以设变量，建立函数模型求最值问题：
1.设元
2.建立二次函数模型
3.计算求解最值。
可以结合图形的特殊性，利用极限思想，以及“特殊值必在特殊位置”猜想法求最值问题：
要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；
截面周长：
截面周长求解，可以借助侧边展开，展开到一个平面，转化为点到点（线）的对应距离。
截面面积计算，可以拆分为三角形或者四边形等容易计算的图形进行计算。关键是要通过平行和垂直找到对应图形的底和高。
球截面核心规律是围绕球的截面性质、半径计算、面积最值展开，所有结论均基于球心与截面圆圆心的连线垂直于截面这一核心定理，同时结合几何体（正方体 、 长方体、棱锥等常见几何体）的切接关系形成常考模型，
如果是线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行“这个性质，可以解决线面恒平行题型的截面问题
基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面
特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。
恒垂直型截面，可以借助投影解决，投影型，需要利用”三垂线定理及其逆定理“这个性质转化寻找。
三垂线定理指的是平面内的一条 "%E7%9B%B4%E7%BA%BF/4876?frmMdule=lemma_inlink" \t "%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/" 直线，如果与穿过这个 "%E5%B9%B3%E9%9D%A2/3707020?frmMdule=lemma_inlink" \t "%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/" 平面的一条 "%E6%96%9C%E7%BA%BF/8546925?frmMdule=lemma_inlink" \t "%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/" 斜线在这个平面上的 "%E5%B0%84%E5%BD%B1/7505680?frmMdule=lemma_inlink" \t "%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/" 射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥， 球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清 楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每 一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
空间角度定值，可转化为圆锥曲线母线与轴的关系。角度定值，即圆锥曲线侧面（母线集合）与平面交点。
线面角：
线面角定角定值，则可以转化为线与面的垂线（法向量）成定角定值， 可转化为圆锥曲线母线与轴的关系。角度定值，即圆锥曲线侧面（母线集合）与平面交点
两角相等型：
两角相等，可以转化为三角函数正余弦或者正切型，利用三角函数值对应的线段比，转怀伟线段比相等或者比值为定值，则复合阿波罗尼斯圆。
体积比型动点轨迹是立体几何的综合应用，核心是动点运动时，与定点构成的多面体（三棱锥、四棱锥等）体积满足固定比例关系，通过体积公式转化为 “动点到定面的距离定值” 或 “线段长度比例定值”，进而确定动点轨迹（线段、圆、椭圆等）。两个思维点：
1.若动点所在空间为平面：轨迹是该平面内与ABC平行的直线段（需满足几何体边界约束）；
2.若动点所在空间为球面：轨迹是球面被 “与ABC平行的平面” 截取的截面圆。
折线型距离，常常转化为平面距离来计算。转化方式有以下几种常用的方式：
翻折型：借助平面（主要是三角型）翻折或者旋转，把空间两个面的动点距离转化为同一个平面内的两点距离或者其它距离。
2.建系型：通过设点建系计算，有时候需要构造函数求最值范围