2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题1.2常用逻辑用语(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题1.2常用逻辑用语(学生版+解析)，共9页。学案主要包含了全国通用，方法技巧与总结，解题思路，解答过程，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1等内容，欢迎下载使用。

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\l "_Tc10412" 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 PAGEREF _Tc10412 \h 3
\l "_Tc8726" 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 PAGEREF _Tc8726 \h 4
\l "_Tc4748" 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 PAGEREF _Tc4748 \h 5
\l "_Tc7421" 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 PAGEREF _Tc7421 \h 6
\l "_Tc21595" 【题型5 根据命题的真假求参数】 PAGEREF _Tc21595 \h 7
\l "_Tc11166" 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 PAGEREF _Tc11166 \h 9
1、常用逻辑用语
知识点1 常用逻辑用语
1．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
4．存在量词与存在量词命题
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设.
(1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
(2)若，则是的必要条件，是的充分条件；
(3)若，则与互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
【题型1 充分条件与必要条件的判断】
【例1】（2025·天津滨海新·三模）已知a、b∈R，则“a≠b”是“a2≠b2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出a2≠b2的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解答过程】由a2≠b2可得a≠b且a≠−b，
因为“a≠b”⇒“a≠b且a≠−b”，“a≠b”⇐“a≠b且a≠−b”，
因此，“a≠b”是“a2≠b2”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1-1】（2025·陕西渭南·三模）设x,y∈R，则“xy>0”是“x2+y2>0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即可判断.
【解答过程】由xy>0可知x>0，y>0或x0”⇒“x2+y2>0”；
但当x2+y2>0时，取x=1，y=0，此时xy=0，
即“x2+y2>0” ⇒“xy>0”，
综上所述，“xy>0”是“x2+y2>0”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合A=x|3ax−2≤0，则使得“1∈A且2∉A”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．130，则（ ）
A．p是真命题，且¬p:∃x>1,x2−3x+2≤0
B．p是真命题，且¬p:∃x≤1,x2−3x+2≤0
C．p是假命题，且¬p:∃x>1,x2−3x+2≤0
D．p是假命题，且¬p:∃x≤1,x2−3x+2≤0
【解题思路】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解.
【解答过程】当x=32时，x2−3x+2=−141,x2−3x+2≤0.
故选：C.
5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，|x|>0，命题q:∃x>0，x3=x，则（ ）
A．p和q都是真命题B．p和¬q都是真命题
C．¬p和q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题
【解题思路】举出反例证明p为假命题，所以¬p为真；找出实例证明q为真命题，所以¬q为假；由此即可求解.
【解答过程】对于命题p，x=0时，x=0，
所以p:∀x∈R，x>0为假命题，¬p为真命题，
对于命题q，x3=x，解得x=0，x=−1或x=1>0，
所以q:∃x>0，x2=x，为真命题，¬q为假命题，
所以¬p和q都是真命题.
故选：C.
6．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可.
【解答过程】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，
则A⇒B⇔C⇐D，
则A是D的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x2>2x，则（ ）
A．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题
【解题思路】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案.
【解答过程】对于命题p，不妨取x=3，则1−3>1，则命题p为假命题，
对于命题q，不妨取x=3，由9>8，则命题q为真命题，因此，¬p和q都是真命题.
故选：B.
8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“∃x∈0,+∞，2x2−ax+10，所以2x和1x都是正实数，则2x+1x≥22x⋅1x=22，
当且仅当2x=1x，即x=22时等号成立.
因为a≤2x+1x在(0,+∞)上恒成立，所以a要小于等于2x+1x的最小值22，
即a≤22，所以实数a的取值范围是(−∞,22].
实数a的取值范围是(−∞,22].
故选：A.
二、多选题
9．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“1a>1b”是“abc2”的充要条件是“a>b”
D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a+b≠0”的充要条件
【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可得解．
【解答过程】A 选项：当a=2，b=−2时，满足1a>1b，但是不能推出ab推出ac2>bc2,故 C 错误；
D选项：a2+b2≠0等价于a≠0，b≠0等价于|a|+|b|≠0，故 D正确；
故选：BD.
10．（2025·重庆·三模）命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．m>−2B．m>−1C．m>0D．m>1
【解题思路】根据题意，转化为存在x>0，设定m>1−2xx2，利用二次函数的性质，求得1−2xx2的最小值为−1，求得m的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
【解答过程】由题意，存在x>0，使得mx2+2x−1>0，即m>1−2xx2=(1x)2−2×1x=(1x−1)2−1，
当1x−1=0时，即x=1时，1−2xx2的最小值为−1，故m>−1；
所以命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0”为真命题的充分不必要条件是m|m>−1的真子集，
结合选项可得，C和D项符合条件.
故选：CD.
11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合A=a,a2,B=x∣1≤x≤4，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值可以是（ ）
A．1B．2C．2D．4
【解题思路】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意得1≤a≤41≤a2≤4a≠a2，解得11，则¬p是 ∃x0∈R,2x0≤1 .
【解题思路】根据全称量词命题的否定要求即得.
【解答过程】由p:∀x∈R，2x>1可得：¬p:∃x0∈R,2x0≤1.
故答案为：∃x0∈R,2x0≤1.
13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：∀x>0，x2−7x+6≤0，则命题p的否定为 ∃x>0，x2−7x+6>0 ．
【解题思路】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案.
【解答过程】命题p：∀x>0，x2−7x+6≤0的否定为：∃x>0，x2−7x+6>0，
故答案为：∃x>0，x2−7x+6>0.
14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“∀x∈R，m2−1=m+m2x”为真命题，则m的取值为 −1 .
【解题思路】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可.
【解答过程】因为命题：“∀x∈R，m2−1=m+m2x”为真命题，
即等式m2−1=m+m2x恒成立，
则m2−1=0m+m2=0，
解得m=−1，
故答案为：−1.
四、解答题
15．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由．
(1)p:∃x∈R,x2=−1；
(2)p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2+x−1=0必有实数根；
(3)p：有的平行四边形的对角线相等；
(4)p：有些实数的绝对值是正数．
【解题思路】先求出命题的否定，再判断真假即可.
【解答过程】（1）因为p:∃x∈R,x2=−1，所以¬p:∀x∈R,x2≠−1．
显然当x∈R时，x2≥0,x2≠−1，所以命题p为假命题，p的否定为真命题．
（2）因为p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2+x−1=0必有实数根，所以¬p：存在实数m，关于x的方程m2x2+x−1=0没有实数根．
当m=0时，方程x−1=0有实根；当m≠0时，方程m2x2+x−1=0的判别式Δ=1+4m2>0，故命题p为真命题，命题p的否定为假命题．
（3）因为p：有的平行四边形的对角线相等，所以¬p：所有平行四边形的对角线都不相等．命题p是真命题，命题p的否定是假命题．
（4）因为p：有些实数的绝对值是正数，所以¬p：所有实数的绝对值都不是正数．命题p为真命题，命题p的否定是假命题．
16．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设p:实数x满足x2−2ax−3a20，q：实数x满足x−4x−2