专题6.3 等比数列及其前n项和（练习+答案）——2026届高三数学一轮复习

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析13
【课程标准】13
【考情分析】13
【2026考向预测】13
三、知识点•逐点夯实13
知识点1、等比数列的有关概念13
知识点2、等比数列的有关公式13
知识点3、等比数列的性质14
四、重点难点•分类突破15
考点1 等比数列基本量的计算15
考点2 等比数列的判断与证明17
考点3 等比中项的应用21
考点4 等比数列前n项和的性质23
考点5 等比数列的综合应用25
五、必考题型•分层训练21
A、基础保分30
B、综合提升36
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
3．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16B．32C．54D．162
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
5．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
6．（2021·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
9．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ；
10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
11．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
13．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
14．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）理解等比数列的概念．
（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
（3）了解等比数列与指数函数的关系．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．
三、知识点•逐点夯实
知识点1．等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．
知识点2．等比数列的有关公式
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
知识点3．等比数列的性质
（1）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；当或时，为递减数列．
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【解题方法总结】
（1）若，则．
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
（5）为等比数列，若，则成等比数列．
（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．
（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间
项的平方．
（8）若为正项等比数列，则为等差数列．
（9）若为等差数列，则为等比数列．
（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．
四、重点难点•分类突破
考点1 等比数列基本量的计算
例1、（2024·贵州·三模）已知数列满足且，则（ ）
A．B．C．D．1
例2、（2024·江西赣州·二模）已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【变式训练1】、（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则 ．
【变式训练2】、（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ；
考点2 等比数列的判断与证明
例3、（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
例4、（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
【变式训练3】、（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【变式训练4】、（2025·新疆喀什·三模）记数列的前n项和为，已知
(1)证明:数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
考点3 等比中项的应用
例5、在等比数列中，，则（ ）
A．2B．4C．D．
例6、（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
【变式训练5】、（2025·山东聊城·三模）记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ）
A．0B．6C．12D．18
【变式训练6】、（2025·上海浦东新·三模）已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则
考点4 等比数列前n项和的性质
例7、（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
例8、（2025·江西新余·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，，，则 ．
【变式训练7】、（2025·河南·三模）已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．85D．86
【变式训练8】、（2025·江苏·模拟预测）已知递增等比数列的前项和为，若，则 ．（请用数字作答）
考点5 等比数列的综合应用
例9、（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)求和的通项公式；
(3)求的前项和.
例10、（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和．
【变式训练9】、（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【变式训练10】、（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
五、分层训练
一、单选题
1．（2024·黑龙江·二模）在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（ ）
A．11B．13C．15D．17
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）在正项等差数列中，且，，成等比数列，则（ ）
A．7B．11C．18D．1
3．（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43B．85C．110D．127
二、填空题
4．已知数列的前n项和为，若，，则 ．
5．（2025·辽宁沈阳·二模）已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则 ．
6．在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d= ．
7．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且．则 ．
8．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 .
三、解答题
9．（2025·四川攀枝花·三模）已知数列的首项，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)令，求数列的最大项．
10．（2025·新疆·模拟预测）若数列的首项，且满足．
(1)证明:数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最小整数n．
11．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求的前项和．
12．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前项和，数列是首项为的等比数列，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分
由递推关系证明等比数列
一般
2023年新Ⅱ卷，第8题,5分
等比数列前n项和的基本量计算等比数列前n和的性质及应用
一般
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分
等比数列通项公式的基本量计算
一般
2021年新Ⅱ卷，第12题,5分
求等比数列前n项和
较难