2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题6.3等比数列及其前n项和(五类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题6.3等比数列及其前n项和(五类重难点题型精练)(学生版+解析)，共41页。
重难点题型1 等比数列基本量的求解
1．（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43B．85C．110D．127
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）在正项等差数列中，且，，成等比数列，则（ ）
A．7B．11C．18D．1
3．（2025·云南保山·一模）若、、、成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．16B．32C．27D．81
5．（2025·北京西城·模拟预测）设是等比数列，，，则 ．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则 ．
7．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 .
8．（2024·四川攀枝花·一模）已知等比数列满足，且，则 ．
重难点题型2 等比数列的性质及应用
1．（2025·安徽安庆·二模）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·一模）在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ）
A．B．C．3D．9
3．（2025·山东烟台·一模）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．5D．15
4．（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数m，n都有，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河北张家口·三模）已知等比数列的前项和为，若，，则 .
6．（2025·云南曲靖·二模）已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为 （用数字作答）.
7．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 .
8．（2023·江西·一模）已知等比数列满足：，，则的值为 .
重难点题型3 等比数列的前n项和的性质及应用
1．（2025·江西赣州·二模）设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．7C．63D．7或63
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．40B．-30C．30D．-30或40
3．（2025·福建龙岩·二模）（多选题）已知数列的前项和为，则（ ）
A．若是等差数列，则，，成等差数列
B．若是等比数列，则，，成等比数列
C．若，且，则存在数列，使得
D．若，且，则存在，使得
4．（2023·辽宁·三模）（多选题）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
5．（2023·河北沧州·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则 .
6．设正项等比数列的前项和为，且，则公比 .
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
8．（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)求和的通项公式；
(3)求的前项和.
重难点题型4 等比数列的判断及证明
1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明：.
3．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．
4．（2023·广东湛江·一模）已知为数列的前n项和，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
5．为数列的前项和.已知，.
(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
6．（2023·山东济宁·一模）已知数列的前项和为，且满足：.
(1)求证：数列为常数列；
(2)设，求.
重难点题型5 等差与等比综合
1．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
3．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项和.
4．已知数列的前项和为，且．
(1)求、、的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列的前项和．
5．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前项和，数列是首项为的等比数列，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，的前项和为，，.记.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：是等比数列；
(3)证明：.
7．（2025·江西·二模）定义“切糕”函数：在区间上的连续函数同时满足①图像上任一点处的切线，（当且仅当时等号成立）恒成立；②，且恒成立.则称为区间上的“切糕”函数.
(1)求证：为区间上的“切糕”函数；
(2)数列满足，是的前项和.若函数为区间上的“切糕”函数，求证：，当且仅当时等号成立.
8．（2025·安徽马鞍山·二模）将数列中不同的两项与交换位置，其余项不变得到的数列称为的“对换数列”，若时，，则称为一个逆序对，例如：数列2，3，1的逆序对有：，.将数列中逆序对的个数称为的逆序数，记为，记.
(1)写出数列1，5，2，4，3，6的所有逆序对；
(2)求数列的所有“对换数列”的逆序数之和；
(3)定义：将数列的所有项重新排列后得到的数列称为的一个“重排数列”.若是数列的一个“重排数列”，是数列的一个“对换数列”，证明：.
（注：.）
序号
题型
重难点题型1
等比数列基本量的求解
重难点题型2
等比数列的性质及应用
重难点题型3
等比数列的前n项和的性质及应用
重难点题型4
等比数列的判断及证明
重难点题型5
等差与等比数列综合
专题6.3 等比数列及前n项和
目录●重难点题型分布
重难点题型1 等比数列基本量的求解
1．（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43B．85C．110D．127
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】首先根据已知条件求出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前项和公式求出.
【详解】根据题意，已知，且各项均为整数，
得到，
解得．则．
故．
故选：A．
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）在正项等差数列中，且，，成等比数列，则（ ）
A．7B．11C．18D．1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用
【分析】由题设结合等差数列通项公式与等比中项的应用列式求出公差d，并得到通项公式即可求解．
【详解】设正项等差数列公差为，
又，所以，，
因为，，成等比数列，
所以，则，解得或（舍去），
则，故．
故选：A
3．（2025·云南保山·一模）若、、、成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等比中项的应用
【分析】根据等比中项的概念可得结果．
【详解】因为、、、成等比数列，根据等比中项的概念可得，．
故选：C.
4．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．16B．32C．27D．81
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】应用，再结合等比数列基本量运算计算求解.
【详解】因为，则，
所以，
因为，所以，
所以或舍，
所以.
故选：C.
5．（2025·北京西城·模拟预测）设是等比数列，，，则 ．
【答案】16
【难度】0.94
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】利用等比数列的性质求解即可.
【详解】因为是等比数列，
所以，
又，所以.
故答案为：16.
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则 ．
【答案】62
【难度】0.85
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】根据等差中项的性质以及等比数列的通项，建立方程，结合等比数列求和公式，可得答案.
【详解】因为，成等差数列，
所以，则，解得，
则.
故答案为：62.
7．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 .
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由等差中项公式和等比数列通项公式直接计算即可求解.
【详解】设的公比为，
又因为，，成等差数列，
所以，可得，解得或（舍去）.
故答案为：3.
8．（2024·四川攀枝花·一模）已知等比数列满足，且，则 ．
【答案】8
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】，其中为公比.
因为，又，，
代入条件得：，化简得：，
两边除以（假设且）得：，即.
又因为，，，
代入条件得：，
提取公因子得：，代入得：，
化简得：，解得：，.
故答案为： 8.
重难点题型2 等比数列的性质及应用
1．（2025·安徽安庆·二模）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n项和
【分析】由等比数列的性质可得出的值，结合已知条件求出的值，可求出、的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为，
由已知，故，所以，，则，
故，所以，，故.
故选：D.
2．（2023·四川成都·一模）在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果.
【详解】由是方程两根可得，
由等比数列性质可得，解得或（舍）；
所以.
故选：D
3．（2025·山东烟台·一模）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．5D．15
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n项和
【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解.
【详解】由等比数列性质可知，，
又，解得或，
当时，，
所以，故，
当时，，
所以，故，
综上，，
故选：D
4．（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数m，n都有，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用
【分析】对于，取，得到数列是首项为，公比为的等比数列，从而求得，再根据即可得解．
【详解】解法一 对于，取，得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，得，
所以，
解法二 对于，取，得，又，
所以，则．
故选：B
5．（2025·河北张家口·三模）已知等比数列的前项和为，若，，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n项和
【分析】由等比数列的性质结合题意可得，再由等比数列的性质化简计算式可得答案.
【详解】由可得，
若，则与矛盾，
所以，
则.
故答案为：.
6．（2025·云南曲靖·二模）已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为 （用数字作答）.
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、等比数列子数列性质及应用
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则等比数列为，
不妨设调整顺序后的等差数列为，则，
∵，∴，解得或（舍），
令，则，，
∴满足条件的一组的值依次为.
故答案为：（答案不唯一）.
7．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 .
【答案】5
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列下标和性质及应用
【分析】根据题意结合等差数列分析可知，进而可得，再结合等比数列性质可得，即可得结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可知，
且，则，即，
所以；
又因为是等比数列，且，则，
显然，可得，
则，所以最小值为5.
故答案为：5.
8．（2023·江西·一模）已知等比数列满足：，，则的值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】利用等比数列得性质得出，再将所求式子通分代入即可求得.
【详解】因为为等比数列，所以，
故答案为：10
重难点题型3 等比数列的前n项和的性质及应用
1．（2025·江西赣州·二模）设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．7C．63D．7或63
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列片段和的性质有求，注意验证结果.
【详解】由等比数列片段和的性质知，、、成等比数列，
所以，则，
所以，则或，
等比数列的公比为，
若时，则，而，显然等式不成立；
若时，则，满足题设；
所以.
故选：B
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．40B．-30C．30D．-30或40
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解.
【详解】因为，且，
所以，，故，
所以，即，解得或（舍去），
由等比数列性质可知，成等比数列，公比为
所以，解得，
故选：A
3．（2025·福建龙岩·二模）（多选题）已知数列的前项和为，则（ ）
A．若是等差数列，则，，成等差数列
B．若是等比数列，则，，成等比数列
C．若，且，则存在数列，使得
D．若，且，则存在，使得
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等差数列的定义和性质分析判断A；举例判断BC；根据数列特征及项的奇偶性判断D.
【详解】对于选项A：是等差数列，设其公差为d，
因为，，
则
所以，，，成等差数列，故A正确；
对于选项B：例如，则，
可得，，不成等比数列，故B错误；
对于选项C：例如周期数列，满足，且，
此时，故C正确；
对于选项D：因为，且，所以该数列的项奇偶交替，且为整数，
而前项包含个奇数，个偶数，这些项的和为奇数，而为偶数，矛盾，
故D错误；
故选：AC
4．（2023·辽宁·三模）（多选题）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】等差数列片段和的性质及应用、由递推关系证明等比数列、等比数列片段和性质及应用、利用an与sn关系求通项或项
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
5．（2023·河北沧州·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则 .
【答案】510
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n项和、等比数列片段和性质及应用
【分析】利用等比数列的性质：，，，…构成等比数列，再利用条件即可求出结果.
【详解】因为数列为等比数列，由等比数列的性质知，
，，，…，，…构成首项为，公比为的等比数列，且是该等比数列的前8项和，
所以.
故答案为：510.
6．设正项等比数列的前项和为，且，则公比 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】利用变形求得，利用等比数列的性质可以得到，结合等比数列{an}为正项数列，进而求出公比。
【详解】由，得.
又正项等比数列的前项和为，故，
∴，
∵数列{an}是等比数列，
∴
故，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以，故
故答案为：
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【难度】0.65
【知识点】求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、构造法求数列通项
【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式.
（2）由（1）确定数列前50项中数列的项数，再利用分组求和法求解.
【详解】（1）由，，得，则，
即，又，于是，而，
所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，.
（2）由（1）知，数列，都是递增数列，
，即，
因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项，
所以.
8．（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)求和的通项公式；
(3)求的前项和.
【答案】(1)，；
(2)；
(3).
【难度】0.85
【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）根据已知求、的基本量，再由等比、等差数列的定义写出通项公式；
（2）由（1）所得通项公式求和的通项公式；
（3）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求.
【详解】（1）由，
因为是等比数列，
则公比为，所以，
因为是等差数列，
则公差为，所以.
（2）由（1）得，
则.
（3）由（2）有.
重难点题型4 等比数列的判断及证明
1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得；
（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证.
【详解】（1）由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因为在上单调递增，则
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得.
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和
【分析】（1）对取倒数，整理得，变形得，然后利用等比数列定义即可证明；
（2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和，再利用数列的符号得范围即可.
【详解】（1）因为，，则，，…
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，，
，
.
3．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【难度】0.85
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和
【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，
（2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证.
【详解】（1）由得，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，所以
所以，
当时，单调递增，故．
4．（2023·广东湛江·一模）已知为数列的前n项和，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、由定义判定等比数列
【分析】（1）取计算，得到，得到证明.
（2）确定，变换，利用裂项求和计算得到证明.
【详解】（1），，．
由，得，
，
所以，故，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．
（2），
故，
所以
．
5．为数列的前项和.已知，.
(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用题中的递推公式构造出，从而可证求解.
（2）利用错位相减法，即可求解.
【详解】（1）证明：依题意，由两边同时加上，
可得，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
，
则当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）可得，
则，
，
两式相减，
可得
所以.
6．（2023·山东济宁·一模）已知数列的前项和为，且满足：.
(1)求证：数列为常数列；
(2)设，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据证明即可；
（2）先求出数列的通项，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由，
当时，，
当时，，
两式相减得，
即，所以，
所以，
当时，，上式也成立，
所以数列为常数列；
（2）由（1）得，
所以，
则
，
则，
两式相减得
，
所以.
重难点题型5 等差与等比综合
1．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、分组（并项）法求和
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．
2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
【答案】(1)证明见详见
(2)
【难度】0.65
【知识点】等比数列的定义、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；
（2）求数列和的通项，进而可得的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n项和即可求解.
【详解】（1），
，
又
构成以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
又
构成以为首项，为公比的等比数列
，
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
所以
3．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和
【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算得解.
（2）由结合已知推理即得.
（3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）在正项数列中，，
令，得，解得，负值舍去；
令，得，即，则，
所以，负值舍去’
（2）当时，，而，则，
即，又，
所以是首项为2，公差为2的等差数列.
（3）由（2）知，可得，
则，
所以.
4．已知数列的前项和为，且．
(1)求、、的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】根据规律填写数列中的某项、由Sn求通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据递推公式代入计算求解；
（2）分奇偶两种情况，当为奇数时，当为偶数时，应用分别求出通项公式；
（3）应用裂项相消法计算求解.
【详解】（1）由条件知，
，．
（2）当为奇数且时，，也符合，
所以当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以数列
（3）由题可知，所以，
所以数列的前项和为
5．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前项和，数列是首项为的等比数列，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
【答案】(1)，或
(2)
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据与的关系即可求解，进而可求，进而可求公比，进而得到；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）时，，
时，
时符合上式，∴．
∴，∴，∴，∴或．
（2），
设，设其前项和为，则
，①
，②
①②得
，
∴，
时，，
时，，
综上．
6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，的前项和为，，.记.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：是等比数列；
(3)证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和
【分析】（1）利用等差等比的通项公式和求和公式进行计算即可求解；
（2）利用通项公式代入化简即可证明；
（3）利用不等式的放缩法，再结合错位相减法求和，即可证明.
【详解】（1）因为是公差为的等差数列，其前项和为，
所以，得，
所以 ，
因为，当时，得，所以，
当时，，两式相减可得，
，所以，又，
所以是以为首项，为公比得等比数列，所以.
（2）因为，
所以，
所以，且，
所以是以为首项，为公比得等比数列；
（3）由上可知，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
7．（2025·江西·二模）定义“切糕”函数：在区间上的连续函数同时满足①图像上任一点处的切线，（当且仅当时等号成立）恒成立；②，且恒成立.则称为区间上的“切糕”函数.
(1)求证：为区间上的“切糕”函数；
(2)数列满足，是的前项和.若函数为区间上的“切糕”函数，求证：，当且仅当时等号成立.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【难度】0.15
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、数列求和的其他方法、数学归纳法证明恒等式、函数新定义
【分析】（1）设，计算得切线方程，再设，求导得在上恒成立，再说明二次求导恒为负即可；
（2）方法一：利用导数分析得，当且仅当时等号成立，再利用数学归纳法即可证明；方法二：设，代入计算后再设，最后代入计算放缩即可.
【详解】（1）设为上任意一点，则，
切线方程为，即，
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
在上恒成立，当且仅当时等号成立，
又因为的导函数为，设恒成立，
综上所述，为区间上的＂切糕＂函数；
（2）先求证对，
定义在上的＂切糕＂函数恒满足:，
不妨设，构造函数，
则，
为上的＂切糕＂函数，
且恒成立，即在上单调递减，
又，，
当且仅当时等号成立，
，即恒成立，
则在上单调递增．
，
又，则，
，当且仅当时等号成立，
现利用上述结论证明，证明过程如下：
方法一：用数学归纳法证明：
当时，，则成立；
假设时，成立，
则时，，
又，
，当且仅当时等号成立，
即
时，成立，当且仅当时等立，
综上所述：，当且仅当时等号成立.
方法二：，
设，
则
即
，
设，
同理可得：
设，即，
当且仅当时等号成立
即成立，当且仅当时等号成立.
8．（2025·安徽马鞍山·二模）将数列中不同的两项与交换位置，其余项不变得到的数列称为的“对换数列”，若时，，则称为一个逆序对，例如：数列2，3，1的逆序对有：，.将数列中逆序对的个数称为的逆序数，记为，记.
(1)写出数列1，5，2，4，3，6的所有逆序对；
(2)求数列的所有“对换数列”的逆序数之和；
(3)定义：将数列的所有项重新排列后得到的数列称为的一个“重排数列”.若是数列的一个“重排数列”，是数列的一个“对换数列”，证明：.
（注：.）
【答案】(1)，，，
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】数列求和的其他方法、数列新定义
【分析】（1）根据逆序对定义可得答案；
（2）交换与后共产生个逆序数，再求可得答案；
（3）求出，只有满足的数才会发生逆序数的变化，设这样的数有个，由于这个数对与的顺序同时发生变化产生个逆序数可得答案.
【详解】（1），，，；
（2）因为交换与后共产生个逆序数，，
所以
；
（3）由（2）可知，，
因为是将中与两项交换所得，
故之前的项及之后的项逆序数不变，
对于与之间的项，
只有满足的数才会发生逆序数的变化，
设这样的数有个，由于这个数对与的顺序同时发生变化，
产生个逆序数，又与交换产生1个逆序数，
则共产生个逆序数，设，
则，
则.
序号
题型
重难点题型1
等比数列基本量的求解
重难点题型2
等比数列的性质及应用
重难点题型3
等比数列的前n项和的性质及应用
重难点题型4
等比数列的判断及证明
重难点题型5
等差与等比数列综合