2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.5椭圆方程(九类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.5椭圆方程(九类重难点题型精练)(学生版+解析)，共69页。

重难点题型1 椭圆的定义与标准方程
1．（2025·四川乐山·三模）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·云南红河·三模）已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河北秦皇岛·二模）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 .
6．（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为 .
7．（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则 .
8．（2025·河南·模拟预测）已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为 .
重难点题型2 椭圆方程的充要条件
1．（2025·山东·一模）已知曲线，则命题“”是命题“曲线的焦点在轴”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·浙江台州·一模）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
重难点题型3 利用第一定义求椭圆的轨迹方程
1．（2025·甘肃甘南·三模）如图，斜线段 与平面 所成的角为， 为斜足，平面上的动点 满足 ，则点的轨迹是（ ）

A．直线B．圆C．抛物线D．椭圆
2．（2025·湖北·三模）已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
4．（2023·上海浦东新·模拟预测）以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是 .
重难点题型4 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其它问题
1．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2025·甘肃·模拟预测）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·湖南·二模）若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
6．（2025·山东临沂·三模）已知为坐标原点，点为椭圆上任意一点，，为圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 .
7．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线与交于点P，若，则 ．（S表示面积）
8．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
9．（2024·辽宁丹东·二模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，椭圆，记P为抛物线与D在第一象限的交点，延长PO交D于Q，若，则的面积为 ．
重难点题型5 椭圆中的最值与范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为 ．
4．（2025·海南·模拟预测）已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ．
5．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．
重难点题型6 求椭圆的离心率及离心率的取值范围
1．（2025·广东梅州·一模）已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下焦点分别为，点P在x轴上，若的内切圆的圆心为，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖南长沙·三模）椭圆的离心率为 ．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为 .
7．（2025·江西萍乡·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，记的外心为A，内切圆半径为r，若，且，则C的离心率为 .
8．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆的左右焦点分别为、，圆与抛物线的准线相切，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且为抛物线与椭圆的一个交点，若的面积为，则椭圆的离心率为 ．
重难点题型7 直线与椭圆的位置关系
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，
①证明：；
②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
2．（2025·广东佛山·三模）设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为椭圆上一点，的离心率为．
(1)求的方程；
(2)已知，若过点的直线交于另一点，且．
（ⅰ）若在第一象限，求直线的斜率；
（ⅱ）求的方程．
4．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
重难点题型8 定点与定值问题
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知椭圆的离心率为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求的方程；
(2)已知为的左顶点，不过点的直线与交于两点，直线的斜率分别为，，，若，证明：过定点．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若.
(1)求轨迹的方程；
(2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点.
（i）若为原点，求面积的最大值；
（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.
4．（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12．
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．
5．（2025·重庆·三模）已知椭圆的离心率，其上、下顶点分别为，右焦点为，斜率为的直线交于不同的两点、.当过点且时，.
(1)求的方程；
(2)当直线、的斜率都存在时，若，求证:直线过定点；
(3)在（2）的条件下，当的面积取得最大值时，求的值.
6．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若是上一动点，的周长.
(1)求的离心率.
(2)如图，若过原点可向圆作两条切线，设切点分别为、，其中点在第二象限，点在第一象限，直线、的斜率分别记为、，且为定值.
（i）求的方程；
（ii）建立与之间的恒等关系.
重难点题型9 椭圆中的探索性问题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率；
(3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
2．（2025·湖北武汉·三模）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交轴与点．
（ⅰ）若，求直线的方程；
（ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由.
4．（2025·湖北·模拟预测）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点.
①证明：；
②若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率.
序号
题型
重难点题型1
椭圆的定义与标准方程
重难点题型2
椭圆方程的充要条件
重难点题型3
利用第一定义求椭圆的轨迹方程
重难点题型4
椭圆中焦点三角形的周长与面积及其它问题
重难点题型5
椭圆中的最值与范围问题
重难点题型6
求椭圆的离心率与离心率的取值范围
重难点题型7
直线与椭圆的位置关系
重难点题型8
定点与定值问题
重难点题型9
椭圆中的探索性问题
专题8.5 椭圆方程
目录●重难点题型分布
重难点题型1 椭圆的定义与标准方程
1．（2025·四川乐山·三模）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求双曲线的焦点坐标
【分析】求出双曲线的焦点，即得c的值，可设出椭圆的标准方程，根据离心率以及，求出的值.
【详解】设椭圆的方程为：，
双曲线的焦点为，
所以，又因为离心率为，所以，
所以，又因为，
所以圆的方程为.
故选：C.
2．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、点和椭圆的位置关系
【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可.
【详解】由点在椭圆的内部，
可得：，且，
解得：或，
所以实数的取值范围为，
故选：B
3．（2025·云南红河·三模）已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴
【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长.
【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上，
所以，解得，所以椭圆的长轴长为．
故选：B.
4．（2025·河北秦皇岛·二模）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、求椭圆的长轴、短轴
【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再列出不等式求解.
【详解】依题意，椭圆的长半轴长为6，短半轴长为，则，
所以椭圆短轴长的取值范围是.
故选：B
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值.
【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，，
所以，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
6．（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征
【分析】根据椭圆的标准方程及椭圆的性质即可求解.
【详解】∵椭圆的一个焦点的坐标是,
∴，，∴，，，∴.
故答案为：.
7．（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则 .
【答案】5
【难度】0.85
【知识点】利用椭圆定义求方程、根据椭圆方程求a、b、c
【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值.
【分析】因为，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆.
易知，即，
所以.
故答案为：5
8．（2025·河南·模拟预测）已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】将代入椭圆方程，结合题意及关系及焦距定义即可求解.
【详解】将代入椭圆方程，得到，
又因为直线与仅有一个交点，所以，
进而解得，所以的焦距为.
故答案为：.
重难点题型2 椭圆方程的充要条件
1．（2025·山东·一模）已知曲线，则命题“”是命题“曲线的焦点在轴”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】已知曲线，
若曲线为椭圆，焦点在轴上，需要，则,
若曲线为双曲线，焦点在轴上，需要,
则焦点在轴上得不到,
若，表示曲线表示双曲线，焦点坐标在轴上.
故命题“”是命题“曲线的焦点在轴”的既不充分也不必要.
故选：D.
2．（2025·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可.
【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即．
所以当时，成立，所以p是q的充分条件，
反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．
故选：A．
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】根据椭圆的标准方程，曲线表示椭圆求解的取值范围，再根据充分条件、必要条件进行判断即可.
【详解】若曲线表示椭圆，则，解得或，
则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断方程是否表示椭圆
【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系.
【详解】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）.
因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立；
当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立；
所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2024·浙江台州·一模）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断.
【详解】对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为，
对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为，
所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等.
故选：D
重难点题型3 利用第一定义求椭圆的轨迹方程
1．（2025·甘肃甘南·三模）如图，斜线段 与平面 所成的角为， 为斜足，平面上的动点 满足 ，则点的轨迹是（ ）

A．直线B．圆C．抛物线D．椭圆
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】椭圆定义及辨析
【分析】根据题意得点运功轨迹结合平面截圆锥截面判断即可.
【详解】平面上的动点 满足 ，可以理解为在以 为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段 与平面 所成的角为，可得 的轨迹为：以 为轴线的圆锥侧面与 平面的交线，
如图所示：

所以点的轨迹是椭圆．
故选：D．
【点睛】结论点睛：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线.
2．（2025·湖北·三模）已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】画出图形，当动圆M与圆内切，与圆外切，此时离心率为，当动圆M与圆，均内切，，求出答案.
【详解】，如图1，动圆M与圆内切，与圆外切，
此时，，，
，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时，
故，故离心率为，
如图2，当动圆M与圆，均内切，
，
则
，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时，
故，故离心率为，
.
故选：B
3．（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】椭圆定义及辨析、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆
【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可.
【详解】设圆的半径为，则，则，
所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．
则，所以，
所以动圆的圆心的轨迹方程为．
故答案为：.
4．（2023·上海浦东新·模拟预测）以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆
【分析】根据条件，进行以为圆心的动圆与两圆相外切和与圆外切，与圆内切，两种情况讨论，利用点的轨迹为椭圆，即可得出结果.
【详解】由题知，若以为圆心的动圆与两圆均外切，如图，

令以为圆心的动圆半径为，
则，，
因，
所以此时点的轨迹不是椭圆，不符合题意；
若以为圆心的动圆与圆外切，与圆内切，如图，

令以为圆心的动圆半径为，
则，，
因，
若点的轨迹为椭圆，
则，即，
且圆与圆不相交，即，
综上，若点的轨迹为椭圆，则.
故答案为：
重难点题型4 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其它问题
1．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】向量加法法则的几何应用、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】设，根据向量加法的平行四边形法则得到，再根据其模长可得关于的等式，联立椭圆方程即可求出的值，再利用纵坐标的绝对值求三角形面积即可.
【详解】
设，为坐标原点，由，
，与，，
.
故选：C.
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的切线方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题
【分析】根据椭圆上一点的切线方程求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理将表示出来，然后列出三角形面积表达式，最后根据不等式的性质求出三角形面积的最大值.
【详解】因为椭圆方程为，设切点，
则切线的方程为，.
因为切线过点，所以，切线的方程变为：
，因为点都在直线上，
所以直线的方程为.该直线必过点刚好是椭圆的右焦点.
联立直线方程和椭圆方程为：
，化简得.
根据韦达定理.而
所以.
因为，
要使得面积取得最大值，则应取最小值，根据不等式，
所以当时，三角形的面积最大，最大值为.
故选：A.
3．（2025·甘肃·模拟预测）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】只需根据题目条件求得，再结合椭圆面积公式即可求解.
【详解】由，可得，则.
因为的面积为，所以，则，
从而，即.
又的离心率为，所以，解得，
从而，则的面积为.
故选：D.
4．（2025·湖南·二模）若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】结合图形特征分类讨论P点位置即可计算得出最小值.
【详解】联立直线与椭圆的方程，
可得，即得，代入，
得，，，，
因为，令则，则，
若，，
又因为，的面积都为定值，
因此，
因此我们只需要求的最小值即可，
设，，，
作差得，时最小为，
因此；
同理，当时，，
，当时最小为0，
S最小为，综合比较可的最小值为，
故选：C
5．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c、根据椭圆的有界性求范围或最值
【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解.
【详解】椭圆的方程为，则，，，
连接，，
则由椭圆的中心对称性可知，
可知为平行四边形，则，
可得的周长为，
当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，
所以周长为．
故选：C.
6．（2025·山东临沂·三模）已知为坐标原点，点为椭圆上任意一点，，为圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】先求切线的方程，代入点坐标，进而求得直线的方程，求得两点的坐标，然后求得面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值.
【详解】先求在圆上一点的切线方程：
设圆的方程为，圆心为，半径为，
设是圆上的一点，则①，
设是圆在处的切线方程上任意一点，则，
即②，
并整理得，
即圆在处的切线方程为.
根据题意，设，，，，，，
是圆的切线且切点为，则的方程为，
同理的方程为，
又由､交于点，则有，，
则直线的方程为（1）.
要使围成三角形，则不是椭圆的顶点，所以，
由（1）可得的坐标为，，的坐标为，
，
又由点是椭圆上的动点（非顶点），则有，
则有，即，
当且仅当时，即时等号成立，
，
即面积的最小值为.
故答案为：
7．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线与交于点P，若，则 ．（S表示面积）
【答案】3
【难度】0.65
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】通过直线方程联立求解交点坐标，再利用线段长度关系得出参数之间的关系，最后根据三角形面积的比例关系求解．
【详解】设，由已知得直线的方程为，直线的方程为，
两直线方程联立，可解得点P的坐标为．
由，得，
可得，整理得，即，解得，所以P点的纵坐标为，得．所以．
故答案为：3.
8．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点的坐标，最后计算面积即可.
【详解】根据题意有：，所以椭圆的方程为：，
设，则，，，
所以，
所以.
故答案为：.
9．（2024·辽宁丹东·二模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，椭圆，记P为抛物线与D在第一象限的交点，延长PO交D于Q，若，则的面积为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】借助椭圆定义与抛物线定义结合题目条件可得点的坐标，再借助面积公式计算可得的面积.
【详解】由，可得，
由，可得与椭圆短轴的一个顶点重合，
根据椭圆的对称性，，
所以的面积等于的面积的2倍，
由抛物线的定义知，点到准线的距离为，
所以点的横坐标为，代入抛物线得点的纵坐标为，
所以的面积为．
故答案为：.
重难点题型5 椭圆中的最值与范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆的有界性求范围或最值
【分析】由椭圆的定义得到，再结合，得到当时，取得最大值，从而得到，即可求出，从而得解.
【详解】由椭圆的定义得，
所以．
又，
所以当时，取得最大值，，
即，解得，
所以椭圆的方程为.
故选：D．
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据离心率求双曲线的标准方程
【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，
所以可知双曲线，解得.
因为为双曲线右支上任意一点，
所以，即，
又因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：C
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、轨迹问题——椭圆
【分析】以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系，由题意求出点的轨迹方程，结合图像可知，即可得出答案.
【详解】由题意知，点在以为圆心，6为半径的圆上运动，
点在以，为焦点，长轴长为10的椭圆上运动（长轴两端点除外）．
为方便计算，可将，视为定点，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，
以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系，
设点和，则点的轨迹方程为，
由图可知，当，，三点共线时
（在，之间或，重合），等号成立．
故答案为：.
4．（2025·海南·模拟预测）已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、椭圆定义及辨析、直线与抛物线交点相关问题
【分析】先求出，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点，可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则，求出代入即可得出答案.
【详解】设圆的圆心为，，
设直线的方程为，
联立可得：，解得：或，
因为是抛物线在第一象限上一点，所以，
所以，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点，
可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，
根据椭圆的性质，，
因为焦距为，即，
当圆与动椭圆外切时最小即点到直线最近时最小，
此时，即，
点到直线的距离为：，
到直线的最小值为，即，
所以为最小值.
故答案为：.
5．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.
【详解】
法一：因为，所以．
设，（不妨设），，
依题意有，，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为．
法二：因为，所以．
对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积，
根据双曲线的性质可得，所以，
所以，整理可得．
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为．
故答案为：.
重难点题型6 求椭圆的离心率及离心率的取值范围
1．（2025·广东梅州·一模）已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，求出圆的标准方程，再利用点A在圆上，坐标适合方程即可求解．
【详解】由已知可得：，，，
线段的垂直平分线方程为，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以经过A，B，F三点的圆的圆的方程为，
在圆上，所以，
整理得：，所以，所以，
化为：，由，解得．
故选：B．
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设，根据椭圆的定义可得，从而得到点为椭圆的上顶点或下顶点，在中由余弦定理可得的值，最后在中由余弦定理可得结果.
【详解】设，则，，
由，可得，
，所以点为椭圆的上顶点或下顶点，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，即，.
故选：B.
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】由双曲线的渐近线斜率小于，可得，再结合椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】因为双曲线的渐近线斜率小于，
所以，即，
设椭圆的焦距为，离心率为，
则，
可得.
故选：B.
4．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下焦点分别为，点P在x轴上，若的内切圆的圆心为，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设，由，根据，求得，设的内切圆的半径为，则，结合由点到轴和直线的距离相等，求得，进而求得椭圆的离心率，得到答案.
【详解】由椭圆的左、右顶点分别为，
其中上下焦点为，且，
设，因为，可得，且，
所以，解得，即，
又因为的内切圆的圆心为，设的内切圆的半径为，则
可得直线的方程为，即，
由点到轴和直线的距离相等，则，解得，
即，所以，可得，所以.
故选：A.
5．（2025·湖南长沙·三模）椭圆的离心率为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由椭圆方程可知，的值，由离心率求出结果.
【详解】因为椭圆方程为，
所以
所以，
所以
所以离心率，
故答案为：
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由椭圆的定义以及勾股定理可得，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】

如图，由，得，
由知P，，Q三点共线.
设，则，所以.
由椭圆的对称性知，，
由椭圆的定义知，.
因为，所以，
整理得，解得或（舍去），
则，，所以.
在中，，
即，
则，所以.
故答案为：
7．（2025·江西萍乡·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，记的外心为A，内切圆半径为r，若，且，则C的离心率为 .
【答案】/0.5
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】设，，求出，在中使用余弦定理，求出，求出，求出，求出即可求解.
【详解】
设，，
则①，在中，
由及余弦定理可得，
即②，得，
所以，
又，
又，
因为，所以，
解得.
故答案为：.
8．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆的左右焦点分别为、，圆与抛物线的准线相切，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且为抛物线与椭圆的一个交点，若的面积为，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】根据圆与抛物线准线相切求出的值，进而得到椭圆的右焦点坐标，再结合的面积求出交点的纵坐标，代入抛物线方程求出横坐标，最后将交点坐标代入椭圆方程，结合椭圆的性质求出离心率．
【详解】抛物线的准线方程为．
已知圆与抛物线的准线相切，则圆心到准线的距离等于圆的半径，即，解得或（舍去）．

因为抛物线的焦点坐标为，把代入可得焦点坐标为，又因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以椭圆的右焦点，则（为椭圆的半焦距）．
设，因为的面积为，且，根据三角形面积公式，可得，即，解得．
把代入抛物线方程，可得，即，解得．
因为点在椭圆上，所以，又因为，代入上式可得：
设（），则，通分可得：，即
解得（舍去）或，即，则．
根据椭圆的离心率公式，可得．
故答案为：．
重难点题型7 直线与椭圆的位置关系
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，
①证明：；
②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【难度】0.4
【知识点】数量积的坐标表示、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】（1）根据椭圆性质和将带入椭圆方程可得关于的方程，求解即可；
（2）①设，，联立方程组，根据根于系数的关系和数量积的坐标运算可证；
②设的中点为，因为，所以，不妨设，，又，并由点在椭圆上进一步求范围.
【详解】（1），得，
将带入椭圆方程有，解得，．
所以椭圆方程为．
（2）设，，
由，得，
，（*）
①由于，
所以．
将（*）带入得，化简得．
②设的中点为，因为，所以，
不妨设，，
到直的距离为，，
．
由，得点坐标为，
则，
由点为椭圆上点，，
得，即，
所以，
所以．
综上，四边形面积的取值范围为．
2．（2025·广东佛山·三模）设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】（1）解法1：面积列方程得出，再结合椭圆定义计算即可求出椭圆方程；解法2：面积列方程得出，再点在椭圆上列方程计算即可求出椭圆方程；
（2）解法1：设x轴截距方程，联立方程结合列式计算求参；解法2：设y轴截距方程，联立方程结合列式计算求参；
【详解】（1）解法1：的面积，解得，
因此左右焦点坐标为，
，因此，
故椭圆的标准方程为；
解法2：的面积，解得，即①
把代入椭圆有②
①②联立解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）解法1：设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程
，消去得，
因此③，
由于，因此，即，
于是，整理得，
代入③得，即，因此，
因此直线一定过，
由得直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去，解得：，
因此的面积
；
解法2：由于，因此，
因为，即，因此，
直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程，解得，
因此直线的方程为，故的坐标，
因此的面积
.
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为椭圆上一点，的离心率为．
(1)求的方程；
(2)已知，若过点的直线交于另一点，且．
（ⅰ）若在第一象限，求直线的斜率；
（ⅱ）求的方程．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【难度】0.65
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标
【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可.
（2）（ⅰ）根据给定条件，利用诱导公式、同角公式求出斜率；（ⅱ）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，利用数量积的定义及坐标表示列式求解.
【详解】（1）由点在椭圆上，得，
由的离心率为，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）设直线的倾斜角为，则，
，解得，
所以直线的斜率为.
（ⅱ）显然直线的斜率存在，设其方程为，
由消去得：，则点，
由，得，解得，
，，
而，
则，整理得，解得，
所以直线的方程为.
4．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线经过定点，定点坐标为
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）由焦点坐标以及短轴长的概念，结合椭圆的标准方程，可得答案；
（2）利用分类讨论，分直线斜率存在与否，设出直线方程以及交点坐标，写出中点坐标，联立方程，写出韦达定理，可得答案.
【详解】（1）因为椭圆的左焦点，所以，
又短轴长为，所以，由可得，
故椭圆的方程为.
（2）
当直线和斜率存在时，设直线方程为：，
设，，则有中点，
联立方程，消去得：，
由韦达定理得：，所以的坐标为，
将上式中的换成，同理可得的坐标为，
若，即，，
此时直线斜率不存在，直线过定点；
当时，即直线斜率存在，
则，
直线为，
令，得，
此时直线过定点，
显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过，
综上所述：直线经过定点，定点坐标为.
重难点题型8 定点与定值问题
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知椭圆的离心率为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求的方程；
(2)已知为的左顶点，不过点的直线与交于两点，直线的斜率分别为，，，若，证明：过定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据条件列式，利用待定系数法，即可求解；
（2）首先设直线，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用韦达定理表示，再代入条件等式，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，解得：，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线，，，
联立，得，
，得，
，，
，，
所以，
，
，
，
得，即，得或，
若，则直线，恒过点，满足条件，
若，则直线，恒过点，与点重合，不满足条件，
所以直线恒过定点.
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若.
(1)求轨迹的方程；
(2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)不是，理由见解析
(3)是定值，
【难度】0.15
【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题
【分析】（1）设动圆的半径为R，由题可得，，据此可得轨迹的方程；
（2）设，由，，可得F坐标，然后由F在椭圆上，可得，据此可完成判断；
（3）由题及（2）可得，然后由可完成判断.
【详解】（1）设动圆的半径为R，动圆与圆外切，则，
又因为动圆与圆内切，结合图象可知：，，
所以，
由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为，半焦距为，
则，，，
又可知圆与圆内切，所以点C不能在切点处，即椭圆应去掉点，
曲线C的方程为.
（2）直线OA，OB的斜率乘积不是定值，理由如下：设，则，
因为，所以，进而，
由点F在曲线E上得,
所以,
又因为点A，B均在E上，即，带入上式得,
所以不为定值；
（3）因为点A，B均在E上，所以，
两式同向相乘得，整理得：,
由（2）知，带入上式解得：，
又因为
，
所以.
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点.
（i）若为原点，求面积的最大值；
（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）1.
【难度】0.65
【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题
【分析】（1）根据椭圆对称性，用待定系数法求解椭圆方程；（2）（i）设直线方程，根据韦达定理表示三角形面积，进而进行判断；（ii）由可知直线的倾斜角互补，用距离公式表示并作比值求解.
【详解】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以，
所以，C的方程为.
（2）方法一：设直线的方程为，点，，
由消去得：，
则，则或. ，
面积
令，则，，
当且，即时，面积的最大值为.
方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，，
由消去得：，
则，，则且，
.点到直线的距离，
所以面积.
令，则，
当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为.
方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，，
由，消去得：，
则，则且，
.
点到线的距离，所以面积
.
，即当时，有最大值为.
（ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以，
所以点在线段的垂直平分线上，所以.
于是，
，.所以，
于是，因为，
所以.所以的值1.
4．（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12．
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题
【分析】（1）由题意得到，再结合面积求得，即可求解；
（2）设，，，，则，通过点差法，化简求解即可.
【详解】（1）依题意，当两点与椭圆的左、右顶点重合时，有最大值，且的面积有最大值，
所以，，，．
所以椭圆的方程为．
（2）
证明：设，，，，则，
则．
因为，，
两式相减，得，所以，
即．
所以．①
同理，可得，
所以．②
，得，
则，
所以．
即直线AB的斜率与直线MN的斜率乘积为定值．
5．（2025·重庆·三模）已知椭圆的离心率，其上、下顶点分别为，右焦点为，斜率为的直线交于不同的两点、.当过点且时，.
(1)求的方程；
(2)当直线、的斜率都存在时，若，求证:直线过定点；
(3)在（2）的条件下，当的面积取得最大值时，求的值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题
【分析】（1）由离心率可得椭圆的方程为，求出直线方程并与椭圆方程联立，结合乘积求出即可.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理得证.
（3）利用（2）中信息求出弦长，进而表示出三角形面积，利用导数探讨最大值条件即可.
【详解】（1）由椭圆的离心率，得，解得，
，椭圆的方程为，即，
直线的斜率且过点，方程为，
由，解得或，不妨令，
由，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，，
由消去得，
，，
，解得，直线的方程为，
所以直线恒过定点.
（3）由（2）得，
，点到直线的距离，
则的面积，令，
函数，求导得，
当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，
所以当的面积取得最大值时，.
6．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若是上一动点，的周长.
(1)求的离心率.
(2)如图，若过原点可向圆作两条切线，设切点分别为、，其中点在第二象限，点在第一象限，直线、的斜率分别记为、，且为定值.
（i）求的方程；
（ii）建立与之间的恒等关系.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题
【分析】（1）设椭圆的半焦距为，利用椭圆的定义结合焦点三角形的周长可求出椭圆的离心率的值；
（2）（i）根据直线与圆相切，结合圆心到切线的距离等于圆的半径可知、是关于的方程的两根，由韦达定理结合椭圆方程可得出为定值，可求出的值，由此可得出椭圆的方程；
（ii）求得，结合两角差的正切公式以及（i）中的结果可得出结论.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为.
因为的周长为，
所以，即，所以的离心率.
（2）（i）由题意，直线的方程为，因为与圆相切，所以，
化简可得，
同理可得，
所以、是关于的方程的两根，
所以，且.
由（1）可知，故，则的方程为.
因为点在上，所以，即，
所以，要使为定值，则，解得，
则的方程为；
（ii），
因为、与圆均相切，所以，
所以，所以，
又由（i）得，
所以，
故与之间的恒等关系是.
重难点题型9 椭圆中的探索性问题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率；
(3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是定值，定值为
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】（1）根据题意列式化简方程即可；
（2）设直线的方程为，直线与曲线联立方程，利用韦达定理列式求解即可；
（3）直线的方程分别为，设，根据直线与圆相切可得是方程的两个根，结合韦达定理与椭圆的方程可得，进而求得关于的表达式，代入求解即可.
【详解】（1）由题意，点与定点的距离，
点到直线的距离，所以，
即，化简得，
故曲线的方程为；
（2）设直线的方程为，
则，
，解得或，
所以，
因为弦中点的纵坐标为，所以，解得（不符合舍去）或，
所以直线的斜率为；
（3）由题意可得，直线的方程分别为，设.
由直线与圆相切可得.
，同理，
所以是方程的两个根，所以，
所以，，
因为是曲线上的一动点，所以，
则有，
联立方程，所以，
所以，同理
所以，
因为，所以，
所以.
2．（2025·湖北武汉·三模）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交轴与点．
（ⅰ）若，求直线的方程；
（ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，
【难度】0.65
【知识点】椭圆中向量共线比例问题、椭圆中的定值问题、轨迹问题——椭圆、确定等比中项
【分析】（1）设圆的半径为，根据题意得出，，再由椭圆的定义进行判断即可求解，设为曲线上任意一点，则点在曲线上，代入求解即可得出，不要忘记取值范围；
（2）记直线的斜率分别为，设为上一点，得出，设直线，，联立直线与椭圆方程分别求出，，，（ⅰ）由，即，建立关于的等式求解即可；（ⅱ）得出的方程：令，则，从而，存在使得，即可判断三点的横坐标成等比数列．
【详解】（1）设圆的半径为，点
由于，从而圆与圆内切
又圆与圆外切，与圆内切，则有，
当时，，，从而，矛盾，故不符合题意；
当时，，，从而，
则点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去点）
设，则半焦距为，即，从而，
故
设为曲线上任意一点，则点在曲线上，即，即
故；
（2）由题意知直线的斜率存在，从而记直线的斜率分别为
设为上一点，则有，即，
从而
设直线
设
联立，得
有，得，即
同理可得
联立，得，从而，有
（ⅰ）由，即有，
解得，又，则
从而直线的方程：即
（ⅱ）由直线的斜率
则直线的方程：
令，则
又，从而，故存在使得，
即三点的横坐标成等比数列．
3．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，定值9.
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题
【分析】（1）利用题设条件列出方程，求出，即得椭圆的方程；
（2）设直线，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用直线的直线方程求出点的坐标，结合图形表示出，化简并代入韦达定理计算即得定值.
【详解】（1）由椭圆短轴长为，得，
又椭圆C左焦点到直线的距离为，解得
则，故椭圆的方程是.
（2）设直线，且
联立
则，即得，且，
则，过做垂直于长轴的直线为
令，得，同理可得；
又，，
则
，
为定值9.
4．（2025·湖北·模拟预测）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点.
①证明：；
②若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率.
【答案】(1)
(2)①证明见解析②
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】（1）根据椭圆焦距及离心率可得椭圆方程；
（2）①根据三角形内心的定义及三角形面积可得证；
②结合三角形内心的性质证明点只能在椭圆的上、下顶点位置.当时，表示点中恰有个在上顶点，恰有个在下顶点，对任意都有表明，任意前个点中，上顶点个数不少于下顶点个数，结合古典概型概率公式求结论.
【详解】（1）由题可知，，解得， ，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①由内心定义可知内切圆半径，
对任意，，
即，
由于点和点在轴的同一侧，故，同号，
故，所以，
②由①可知，，因为，所以，
对任意，在中，设与轴的相切于点，
则，同理，
，
，
结合，故，又，
于是，结合，代入得，
又，取等条件为，
故点只能在椭圆的上、下顶点位置.
当时，表示点中恰有个在上顶点，恰有个在下顶点，故总的情况有种.
对任意都有表明，任意前个点中，上顶点个数不少于下顶点个数.
将前个点中上顶点的个数减去下顶点的个数记作，将所有的点连接起来，形成一条折线，
因为每次要么减少，要么增加，所以折线相当于从出发，
每次沿向量向右上方移动，或者沿向量向右下方移动，最终到结束.
目标事件为折线始终落在轴及轴上方，其对立事件为折线与有公共点.
考虑对立事件，若折线与有公共点，记第一个公共点为，
则点左侧的折线均在上方，
将这部分折线关于对称到下方，得到点到点的新折线，且与总是一一对应，种数相同.
对于，共移动次，其中向右上方移动次，向右下方移动次，共有种.
故概率为.
序号
题型
重难点题型1
椭圆的定义与标准方程
重难点题型2
椭圆方程的充要条件
重难点题型3
利用第一定义求椭圆的轨迹方程
重难点题型4
椭圆中焦点三角形的周长与面积及其它问题
重难点题型5
椭圆中的最值与范围问题
重难点题型6
求椭圆的离心率与离心率的取值范围
重难点题型7
直线与椭圆的位置关系
重难点题型8
定点与定值问题
重难点题型9
椭圆中的探索性问题