2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第04讲随机事件、频率与概率(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第04讲随机事件、频率与概率(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了随机事件与样本空间，随机事件的关系与运算，互斥事件与对立事件的概率，频率与概率，频率估计概率在统计中的应用等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1401576980" 考情探究 PAGEREF _Tc1401576980 \h 1
\l "_Tc556178917" 知识梳理 PAGEREF _Tc556178917 \h 2
\l "_Tc1850226275" 探究核心考点 PAGEREF _Tc1850226275 \h 3
\l "_Tc1189795365" 考点一 随机事件与样本空间 PAGEREF _Tc1189795365 \h 3
\l "_Tc1670462338" 考点二 随机事件的关系与运算 PAGEREF _Tc1670462338 \h 5
\l "_Tc1406797535" 考点三 互斥事件与对立事件的概率 PAGEREF _Tc1406797535 \h 6
\l "_Tc251217275" 考点四 频率与概率 PAGEREF _Tc251217275 \h 9
\l "_Tc255890923" 考点五 频率估计概率在统计中的应用 PAGEREF _Tc255890923 \h 11
\l "_Tc1496481567" 基础过关 PAGEREF _Tc1496481567 \h 14
\l "_Tc37222905" 能力提升 PAGEREF _Tc37222905 \h 23
\l "_Tc687623058" 真题感知 PAGEREF _Tc687623058 \h 27
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】从近几年的高考情况来看，随机事件、频率与概率的考查比较稳定，主要考查以频率估计概率、互斥事件与对立事件等内容，
【备考策略】
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别
(2)理解事件间的关系与运算
【命题预测】选择题或填空题的形式考查，难度较易；有时以频率估计概率也会在解答题中以一小问的形式出现，与统计等知识结合考查，难度中等
1、事件的相关概念
2、频率与概率的关系
（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．
3、事件的关系与运算
（1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．
（2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．
（3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．
（4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．
（5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥；
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
（6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
考点一 随机事件与样本空间
典例1．在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球B．摸出的是3个黑球
C．摸出的球中至少有1个是黑球D．摸出的是2个白球、1个黑球
典例2．下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④向量的模不小于0．
A．1B．2C．3D．4
跟踪训练1．随机事件、必然事件、不可能事件
（1）一般地，当是试验的 时，我们称的子集A是的随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示．
对于样本空间，A是事件和 等价．由一个样本点组成的集合，称为基本事件．
当试验结果（即试验的样本点） 时，就称事件A发生，否则称A不发生．
（2）也是的 ，并且包括了所有的 ，所以 ，我们称样本空间是必然事件．
（3）空集也是的 ，所以空集是 ，空集中没有 ，永远不会发生，所以我们称是不可能事件．
跟踪训练2．在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”，指出下列随机事件的含义：
(1)事件；
(2)事件；
(3)事件．
考点二 随机事件的关系与运算
典例1．对空中移动的目标连续射击两次，设A={两次都击中目标},B={两次都没击中目标),C={恰有一次击中目标}，D={至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A．A⊆DB．A∪C=B∪D
C．A∪C=DD．B∩D=∅
典例2．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．E与FB．F与GC．E与HD．G与H
跟踪训练1．打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中”B．“至少击中1次”
C．“至多击中1次”D．“至少击中2次”
跟踪训练2．美国男子职业篮球联盟（NBA）每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线队员两种类型，其中2名后卫队员（标号为1和2），3名锋线队员（标号为3、4和5），新赛季开始前联盟要抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件“第一次抽到后卫队员”，事件“第二次抽到锋线队员”，事件“抽到的2名队员类型相同”，事件的对立事件为.
(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求出；
(2)求和.
考点三 互斥事件与对立事件的概率
典例1．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（ ）

A．是互斥事件，不是独立事件B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件D．既不是互斥事件，也不是独立事件
典例2．已知事件A,B互斥，它们都不发生的概率为13，且PA=2PB，则P(A)=（ ）
A．13B．49C．59D．23
跟踪训练1．(多选)已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果与互斥，那么
C．如果与相互独立，那么
D．如果与相互独立，那么
跟踪训练2．甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为 .
考点四 频率与概率
典例1．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．B．C．D．
典例2．为了了解新入校的高一学生身高情况，学校从1000名男、女新生中采用随机摇号的方法抽取了20名学生进行测量，得到如下数据(单位：cm)：
男生身高：170，170，172，169，175，180，182，171，171，176，177，178;
女生身高：165，160，171，160，166，164，168，170.
(1)试估计高一男生的平均身高;
(2)试估计高一女生身高的中位数;
(3)从这1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为多少?
跟踪训练1．下列说法正确的是（ ）
A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖.
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率.
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈.
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水.
跟踪训练2．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（ ）条
A．150B．300C．400D．600
考点五 频率估计概率在统计中的应用
典例1．某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：
(1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）；
(2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）．
典例2．为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：

(1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率；
(2)求频率分布直方图中a,b的值.
跟踪训练1．甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下：
由频率估计概率，解答下列问题.
(1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率.
(2)规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人平局的概率.
(3)在（2）的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率.
跟踪训练2．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示．
(1)根据直方图作频率分布表；
(2)估计数据落在1.15,1.30中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．
一、单选题
1．某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（ ）
A．6尾B．10尾C．13尾D．17尾
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（ ）
A．M是不可能事件B．N是必然事件
C．是不可能事件D．是必然事件
3．对任意事件，其概率为，则的可能范围是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（ ）

A．B．C．D．
5．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
二、多选题
7．为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（ ）
可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则.
A．4B．12C．16D．20
8．已知为古典概型样本空间中的两个随机事件，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．事件与互斥B．
C．事件与独立D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若是两个随机事件，则
B．若随机变量，则
C．相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强
D．数据的上四分位数是9
三、解答题
10．京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达
(1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率；
(2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.
（ⅰ）记随机变量为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）
11．玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，．
(1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望．
12．问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序：
已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）．
第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道）
第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下：
如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211．
(1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率：
(2)试估计某高校吸烟的人数．
13．近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表：
假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率；
(2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率；
(3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系.
1．从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（ ）
A．0.69B．0.46
C．1D．0.92
2．一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色．若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，为互斥事件，则B．若，为互斥事件，则
C．若，相互独立，则D．若，相互独立，则
4．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则恰有一个人译出密码的概率 .
5．某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高三年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高三年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高三年级学生该题选择正确的概率；
(2)从甲、乙两校高三年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题选择正确的人数，求的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案.乙校学生选择正确的概率为85%.求乙校高三年级学生掌握该知识点的概率估计值.
6．夏季游泳是兼具健康、舒适与趣味的夏日活动.某社区为了了解该社区居民夏季的游泳情况，随机抽取了100人进行调查，统计了这100人的游泳情况，数据如下表：
(1)分别估计该社区居民晴天和雨天游泳的频率；
(2)试根据小概率值的独立性检验，分析游泳人数是否与天气有关.
参考公式：，.
参考数据：
1．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1)填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
2．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
3．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：其中，．）
4．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024·全国甲卷
概率
独立性检验
2024·北京
概率
分布列
2024·上海
概率与统计
平均数
2025·北京
概率与统计
分布列
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
组号
分组
频数
1
2,4
6
2
4,6
8
3
6,8
22
4
8,10
28
5
10,12
12
6
12,14
4
甲
乙
投中
50
60
不投中
50
40
采样点
品种A
品种B
东
20
9
南
7
3
西
17
8
甲款机器人
乙款机器人
丙款机器人
测试次数
50
100
100
成功次数
20
60
80
天气
游泳人数
未游泳人数
合计
晴天
60
40
100
雨天
30
70
100
合计
90
110
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
时间范围学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
第04讲 随机事件、频率与概率
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1401576980" 考情探究 PAGEREF _Tc1401576980 \h 1
\l "_Tc556178917" 知识梳理 PAGEREF _Tc556178917 \h 2
\l "_Tc1850226275" 探究核心考点 PAGEREF _Tc1850226275 \h 3
\l "_Tc1189795365" 考点一 随机事件与样本空间 PAGEREF _Tc1189795365 \h 3
\l "_Tc1670462338" 考点二 随机事件的关系与运算 PAGEREF _Tc1670462338 \h 5
\l "_Tc1406797535" 考点三 互斥事件与对立事件的概率 PAGEREF _Tc1406797535 \h 6
\l "_Tc251217275" 考点四 频率与概率 PAGEREF _Tc251217275 \h 9
\l "_Tc255890923" 考点五 频率估计概率在统计中的应用 PAGEREF _Tc255890923 \h 11
\l "_Tc1496481567" 基础过关 PAGEREF _Tc1496481567 \h 14
\l "_Tc37222905" 能力提升 PAGEREF _Tc37222905 \h 23
\l "_Tc687623058" 真题感知 PAGEREF _Tc687623058 \h 27
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】从近几年的高考情况来看，随机事件、频率与概率的考查比较稳定，主要考查以频率估计概率、互斥事件与对立事件等内容，
【备考策略】
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别
(2)理解事件间的关系与运算
【命题预测】选择题或填空题的形式考查，难度较易；有时以频率估计概率也会在解答题中以一小问的形式出现，与统计等知识结合考查，难度中等
1、事件的相关概念
2、频率与概率的关系
（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．
3、事件的关系与运算
（1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．
（2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．
（3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．
（4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．
（5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥；
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
（6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
考点一 随机事件与样本空间
典例1．在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球B．摸出的是3个黑球
C．摸出的球中至少有1个是黑球D．摸出的是2个白球、1个黑球
【答案】C
【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答.
【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意；
B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意；
C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意；
D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意.
故选：C.
典例2．下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④向量的模不小于0．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可.
【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
故选：B．
跟踪训练1．随机事件、必然事件、不可能事件
（1）一般地，当是试验的 时，我们称的子集A是的随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示．
对于样本空间，A是事件和 等价．由一个样本点组成的集合，称为基本事件．
当试验结果（即试验的样本点） 时，就称事件A发生，否则称A不发生．
（2）也是的 ，并且包括了所有的 ，所以 ，我们称样本空间是必然事件．
（3）空集也是的 ，所以空集是 ，空集中没有 ，永远不会发生，所以我们称是不可能事件．
【答案】 样本空间 子集 样本点 必然发生 子集 事件 样本点
【分析】略
【详解】略
跟踪训练2．在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”，指出下列随机事件的含义：
(1)事件；
(2)事件；
(3)事件．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】运用随机事件概念解析即可.
【详解】（1）事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知，第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3．
（2）事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6．
（3）事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2．
考点二 随机事件的关系与运算
典例1．对空中移动的目标连续射击两次，设A={两次都击中目标},B={两次都没击中目标),C={恰有一次击中目标}，D={至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A．A⊆DB．A∪C=B∪D
C．A∪C=DD．B∩D=∅
【答案】B
【解题思路】根据事件关系，即可判断选项.
【解答过程】A.事件D包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以A⊆D，故A正确；
B.A∪C=D包含的事件为至少一次击中目标，B∪D=Ω为样本空间，所以B错误，C正确；
D.事件B与事件D是对立事件，所以B∩D=∅，故D正确.
故选：B.
典例2．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．E与FB．F与GC．E与HD．G与H
【答案】B
【解题思路】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【解答过程】对于选项A，因为事件E和事件F不能同时发生，所以E与F互斥，故选项A错误，
对于选项B，当朝上面的点数为6时，F与G同时发生，即F与G不是互斥事件，所以选项B正确，
对于选项C，因为事件E和事件H不能同时发生，所以E与H互斥，故选项C错误，
对于选项D，因为事件G和事件H不能同时发生，所以G与H互斥，故选项D错误，
故选：B.
跟踪训练1．打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中”B．“至少击中1次”
C．“至多击中1次”D．“至少击中2次”
【答案】C
【分析】根据题意用自然语言描述出事件，即可得.
【详解】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次，
所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”.
故选：C
跟踪训练2．美国男子职业篮球联盟（NBA）每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线队员两种类型，其中2名后卫队员（标号为1和2），3名锋线队员（标号为3、4和5），新赛季开始前联盟要抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件“第一次抽到后卫队员”，事件“第二次抽到锋线队员”，事件“抽到的2名队员类型相同”，事件的对立事件为.
(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求出；
(2)求和.
【答案】(1)样本空间见解析，
(2)
【分析】（1）利用列举法可以写出样本空间，根据古典概型以及对立事件的概率公式即可得答案；
（2）根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题设可得：
，
，
中共有20个基本事件.
Q中含有的基本事件为：
共8个基本事件，
故.
（2）事件中含有的基本事件为：
，
共14个基本事件，
故.
MN中含有的基本事件为：，共6个基本事件，
故.
考点三 互斥事件与对立事件的概率
典例1．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（ ）

A．是互斥事件，不是独立事件B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件和独立事件的定义和概率公式计算即得.
【详解】因，
则，
于是，
因，则事件A与事件B不是互斥事件；
又，则事件A与事件B是独立事件.
故选：B.
典例2．已知事件A,B互斥，它们都不发生的概率为13，且PA=2PB，则P(A)=（ ）
A．13B．49C．59D．23
【答案】C
【解题思路】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解.
【解答过程】由事件A,B互斥，且A,B都不发生为13，
则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1−13=23，
又PA=2PB，所以2P(B)+P(B)=23，解得P(B)=29，PA=49，
所以PA=1−P(A)=59.
故选：C.
跟踪训练1．(多选)已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果与互斥，那么
C．如果与相互独立，那么
D．如果与相互独立，那么
【答案】ABD
【分析】对A根据包含事件的定义可得，对B根据互斥事件的定义及概率的加法公式可得，对C、D则根据相互独立事件的定义及公式可得.
【详解】对A选项：由，所以，，
因此，，故A正确；
对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以，
再由概率的加法公式，故B正确；
对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，.
因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立，
所以，故C错误；
对D选项：因与相互独立，所以，
再由概率的加法公式，故D正确.
故选：ABD.
跟踪训练2．甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为 .
【答案】/
【分析】设甲、乙、丙回答正确的事件分别为、、，由题意知、、互相独立，设，，再根据条件结合概率的乘法公式解题即可
【详解】设甲、乙、丙回答正确的事件分别为、、，由题意知、、互相独立，设，，
由①知，根据③可知，
由②至少有1人回答正确的概率为，可知3名学生都不正确的概率为，
所以，
联立方程组，解得，
所以则甲、乙、丙均回答正确的概率为.
故答案为：
考点四 频率与概率
典例1．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率．
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，
出现正面朝上的频率为：，
又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是，
出现正面朝上的概率为：，
出现正面朝上的频率为，概率为．
故选：B．
典例2．为了了解新入校的高一学生身高情况，学校从1000名男、女新生中采用随机摇号的方法抽取了20名学生进行测量，得到如下数据(单位：cm)：
男生身高：170，170，172，169，175，180，182，171，171，176，177，178;
女生身高：165，160，171，160，166，164，168，170.
(1)试估计高一男生的平均身高;
(2)试估计高一女生身高的中位数;
(3)从这1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为多少?
【答案】(1)174.25 cm
(2)165.5 cm
(3)
【分析】（1）根据平均数的运算公式进行求解即可；
（2）根据计算中位数的步骤进行求解即可；
（3）根据概率和频率的关系进行求解即可.
【详解】（1）抽样的12名男生的平均身高为
170+，
所以估计高一男生的平均身高为174.25 cm;
（2）女生身高从矮到高排列为:160，160，164，165，166，168，170，171，
抽样的8名女生身高的中位数为，
所以可以估计高一女生身高的中位数为165.5 cm;
（3）从20个学生样本中，随机抽取一个，抽到女生的频率为，
用频率估计概率，从1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为0.4
跟踪训练1．下列说法正确的是（ ）
A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖.
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率.
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈.
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水.
【答案】B
【分析】由概率、频率的概念逐个判断即可.
【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，
不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；
对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确；
对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为，
不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误.
对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错.
故选：B
跟踪训练2．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（ ）条
A．150B．300C．400D．600
【答案】C
【分析】借助频率定义计算即可得.
【详解】设湖中有条鱼，则有，解得.
故选：C.
考点五 频率估计概率在统计中的应用
典例1．某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：
(1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）；
(2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）．
【答案】(1)答案见解析
(2)0.5
【解题思路】（1）根据表中数据计算即可；
（2）对（1）中的四组数据取平均值.
【解答过程】（1）男婴出生的频率分别为1145321840≈0.524,1203123070≈0.521,1029720094≈0.512,1024219982≈0.513；
（2）由题意知0.524+0.521+0.512+0.5134≈0.5，
所以该市男婴出生的概率约为0.5.
典例2．为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：

(1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率；
(2)求频率分布直方图中a,b的值.
【答案】(1)920
(2)a=120，b=340.
【解题思路】（1）先求出样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率，再利用频率估计所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率即可；
（2）估计频率分布直方图的性质求a,b.
【解答过程】（1）由已知，所选的80名职工中有36名职工一周内路边停车的时间少于8小时，
所以样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率为3680=920，
记 “从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A，
则P(A)=920，
所以从该单位随机选取一名职工，所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率为920；
（2）由频率分布直方图的性质可得2a=880,2b=1280，
所以a=8802=120，b=12802=340.
跟踪训练1．甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下：
由频率估计概率，解答下列问题.
(1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率.
(2)规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人平局的概率.
(3)在（2）的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率.
【答案】(1)甲同学的投篮命中率为12,乙同学的投篮命中率为35
(2)37100
(3)863110000
【解题思路】（1）利用投篮命中的频率估计概率即可；
（2）根据独立性事件同时发生的概率公式及互斥事件的加法概率公式即可求解；
（3）先求出两局都平局的概率，再利用对立事件法即可求解.
【解答过程】（1）甲同学的投篮命中率为5050+50=12，
乙同学的投篮命中率为6060+40=35.
（2）甲、乙两人平局有三种情况：
甲、乙都投中了2次，其概率为122×352=9100，
甲、乙都投中了1次，其概率为2×12×1−12×2×35×1−35=625，
甲、乙都投中了0次，其概率为1−122×1−352=125.
所以甲、乙两人平局的概率为9100+625+125=37100.
（3）由（2）可知一局比赛中平局的概率为37100，所以两局都平局的概率为371002=136910000，
所以甲、乙在两局内分出胜负的概率为1−136910000=863110000.
跟踪训练2．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示．
(1)根据直方图作频率分布表；
(2)估计数据落在1.15,1.30中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．
【答案】(1)答案见解析
(2)0.47
(3)2000
【解题思路】（1）根据小矩形面积为各组频率求出频率列表即可；
（2）数据落在1.15,1.30中的概率即为1.15,1.30之间矩形面积之和；
（3）根据分层抽样的比例关系即可得到答案.
【解答过程】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距×（频率/组距），故可得下表
（2）0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在1.15,1.30中的概率约为0.47.
（3）设水库中鱼的总条数约为x条，则1206=x100，
即x=120×1006=2000，所以水库中鱼的总条数约为2000条.
一、单选题
1．某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（ ）
A．6尾B．10尾C．13尾D．17尾
【答案】C
【分析】根据鱼群在池塘里是均匀分布的，利用频率求解.
【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的，
所以品种A约所占比为：，
所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有尾，
故选：C
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（ ）
A．M是不可能事件B．N是必然事件
C．是不可能事件D．是必然事件
【答案】D
【分析】根据事件的定义判断．
【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，
是点为2，是随机事件，是可能发生的，
是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件，
故选：D．
3．对任意事件，其概率为，则的可能范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用概率的基本概念来求得本题的正确选项.
【详解】在概率的理论中，对于任意事件，概率是用来衡量该事件发生可能性大小的一个数值.
如果一定不会发生，则概率为0；
如果一定会发生，则概率为1；
如果可能发生，那么概率介于0和1之间.
所以概率的取值范围为.
故选：D.
4．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出与，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算即可.
【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，则，
因为，则，
因为，
所以.
故选：D
5．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可.
【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”.
事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D，
所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】B
【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项．
【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平；
对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平；
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平；
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况，
两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平．
故选：B．
二、多选题
7．为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（ ）
可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则.
A．4B．12C．16D．20
【答案】ABD
【分析】根据题意，要保证游戏的公平性，需要正n面体每个面出现的点数的可能性要要相同，据此选出正确选项.
【详解】第一步，根据题目，我们知道正n面体的骰子有 n个面，每个面的点数分别为1，2，...，n，投掷后每个点数出现的概率相等.
第二步，为了保证游戏的公正性，我们需要保证每个点数出现的概率相等，即每个面的面积相等，这意味着正n面体的每个面都应该是全等的正多边形.
第三步，设正n面体的每个面都是正m边形，每个顶点连接k条棱，
所以，则，所以，
又，且不能同时大于3，所以或，
解得或或或或，
我们可以得出n的取值应该是4 （正四面体）、6 （正六面 体）、8（正八面体）、12（正十二面体）、20 （正二十面体）.
故选：ABD
8．已知为古典概型样本空间中的两个随机事件，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．事件与互斥B．
C．事件与独立D．
【答案】BCD
【分析】通过Veen图，确定各自事件包含基本事件个数，结合古典概率概率计算公式及独立事件概率，逐个判断即可.
【详解】由，
可得，所以事件与不互斥，A错误；
，
所以，B正确，
，
显然，C正确，
如图阴影部分即为，
所以，
可得，D正确，
故选：BCD
9．下列说法正确的是（ ）
A．若是两个随机事件，则
B．若随机变量，则
C．相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强
D．数据的上四分位数是9
【答案】ABD
【分析】根据随机事件的概率公式判定A；根据正态分布性质判定B；根据相关系数意义判定C；根据上四分位求法判定D.
【详解】A选项：根据随机事件的概率公式知道A选项显然正确.
B选项：正态分布曲线关于直线对称，故B选项正确.
C选项：的值越大，相关性越强，故C选项不正确.
D选项：，上四分位数是第5个数，故D选项正确.
故选：ABD.
三、解答题
10．京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达
(1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率；
(2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.
（ⅰ）记随机变量为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析，数学期望为；（ⅱ）甲，理由见解析
【分析】（1）利用古典概率求概率公式得到答案；
（2）（ⅰ）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，并求出数学期望；
（ⅱ）列车运行时长最短为7小时17分，在上午，分别计算出甲，乙，丙选取此列车的概率，比较后得到结论.
【详解】（1）从北京西出发到广州南的高铁车次共7个，
运行时长不超过10小时的有4个，超过10小时的有3个，
故这趟列车的运行时长不超过10小时的概率为；
（2）（ⅰ）上午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有2个，
下午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有1个，
甲选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为，
乙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为，
丙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为，
的可能取值为0,1,2,3，
，
，
，
，
所以的分布列为
数学期望为；
（ⅱ）甲选取的列车运行时长最短的概率最大，理由如下：
列车运行时长最短为7小时17分，在上午，甲选取此列车的概率为，
乙选取此列车的概率为0，丙选取此列车的概率为，
故甲选取的列车运行时长最短的概率最大.
11．玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，．
(1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式和对立事件概率求解；
（2）由题意得出，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列和期望．
【详解】（1）设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为，则的对立事件为，
，
．
（2）乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，乙烧制青花瓷的成品率，
，
的可能取值为，
，
，
，
，
的分布列为：
的期望．
12．问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序：
已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）．
第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道）
第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下：
如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211．
(1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率：
(2)试估计某高校吸烟的人数．
【答案】(1)
(2)220人
【分析】（1）由古典概型可求，
（2）先求出被测试中的一个学生吸烟的概率，再估算高校吸烟的人数.
【详解】（1）设两个骰子的点数之和是4或5或6的事件为，则掷两个骰子共有种不同结果，
其中之和是4或5或6的有（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共有12种，
所以.
（2）设被测试中的一个学生吸烟的概率为，则被计数器计数的学生人数为211，
所以，解得，
所以估计某高校吸烟的人数为人．
13．近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表：
假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率；
(2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率；
(3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算甲款机器人单次送餐成功的频率，利用频率估计概率即可求解；
（2）利用独立事件乘法概率和互斥事件加法概率公式求解即可；
（3）由，利用二项分布的方差公式求解，即可求解.
【详解】（1）设甲款机器人单次送餐成功的概率为，则；
（2）设乙款机器人单次送餐成功的概率为，设丙款机器人单次送餐成功的概率为，
所以，
所以恰好成功两次的概率为
；
（3）由题意有，
所以，
所以.
1．从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（ ）
A．0.69B．0.46
C．1D．0.92
【答案】B
【分析】根据题意结合频率公式计算可得.
【详解】由题可知，样本在内的频率应为.
故选：B.
2．一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色．若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据随机事件的概率公式可得.
【详解】由题意，“恰有1支黑色”的概率是 .
故选：A
3．（多选）已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，为互斥事件，则B．若，为互斥事件，则
C．若，相互独立，则D．若，相互独立，则
【答案】ACD
【分析】利用互斥事件的概率公式即可判断AB，利用独立事件的概率公式即可判断C，利用独立事件先计算，由即可判断D.
【详解】对于A：若，为互斥事件，所以,故A正确;
对于B：若，为互斥事件，则，
所以，故B错误；
对于C：若，相互独立，所以与相互独立，
所以，故C正确；
对于D：若，相互独立，，
所以，故D正确.
故选：ACD
4．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则恰有一个人译出密码的概率 .
【答案】
【分析】利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的乘法公式，以及对立事件的概率公式计算.
【详解】记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，为相互独立事件，且，，
恰有1人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出和甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，
所以恰有1个人译出密码的概率为.
故答案为：.
5．某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高三年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高三年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高三年级学生该题选择正确的概率；
(2)从甲、乙两校高三年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题选择正确的人数，求的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案.乙校学生选择正确的概率为85%.求乙校高三年级学生掌握该知识点的概率估计值.
【答案】(1)；
(2)1.55；
(3)
【分析】（1）由频率估计概率可得；
（2）求出的值，计算相应概率再列出分布列，然后由公式计算期望可得；
（3）设“乙校掌握这个知识点的学生做该题”的概率为，由题意列方程可得.
【详解】（1）估计甲校高三年级学生该题选择正确的概率；
（2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，，
设为“从乙校抽取1人做对”，则，，
依题可知，可取0，1，2，，
，，
故的分布列如下表：
故；
（3）设“乙校掌握这个知识点的学生做该题”的概率为，
则，故.
6．夏季游泳是兼具健康、舒适与趣味的夏日活动.某社区为了了解该社区居民夏季的游泳情况，随机抽取了100人进行调查，统计了这100人的游泳情况，数据如下表：
(1)分别估计该社区居民晴天和雨天游泳的频率；
(2)试根据小概率值的独立性检验，分析游泳人数是否与天气有关.
参考公式：，.
参考数据：
【答案】(1)，
(2)认为游泳人数与天气有关
【分析】（1）利用频率计算公式直接计算即可
（2）计算的值，与10.828比较，由此作出判断.
【详解】（1）由题意可知样本中该社区居民晴天游泳的频率为，
则该社区居民晴天游泳的频率的估计值为.
由题意可知样本中该社区居民雨天游泳的频率为，
则该社区居民雨天游泳的频率的估计值为.
（2）零假设为：游泳人数与天气无关.
根据题中的数据，计算得到.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为游泳人数与天气有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1)填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断.
【详解】（1）根据题意可得列联表：
可得，
因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
2．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求.
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解.
【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，
，
故
故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元），
从而.
3．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：其中，．）
【答案】(1)
(2)
(3)有
【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；
（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；
（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.
【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．
（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.
（3）由题列联表如下：
提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．
其中．
．
则零假设不成立，
即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
4．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）用频率估计概率即可求解；
（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望；
（3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系.
【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率.
（2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，，
设为“从乙校抽取1人做对”，则，，
设为“恰有1人做对”，故
依题可知，可取，
，，，
故的分布列如下表：
故.
（3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故，即，故，
同理有，，故，
故.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024·全国甲卷
概率
独立性检验
2024·北京
概率
分布列
2024·上海
概率与统计
平均数
2025·北京
概率与统计
分布列
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
组号
分组
频数
1
2,4
6
2
4,6
8
3
6,8
22
4
8,10
28
5
10,12
12
6
12,14
4
甲
乙
投中
50
60
不投中
50
40
分组
频率
1.00,1.05
0.05
1.05,1.10
0.20
1.10,1.15
0.28
1.15,1.20
0.30
1.20,1.25
0.15
1.25,1.30
0.02
采样点
品种A
品种B
东
20
9
南
7
3
西
17
8
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
甲款机器人
乙款机器人
丙款机器人
测试次数
50
100
100
成功次数
20
60
80
0
1
2
0.05
0.35
0.6
天气
游泳人数
未游泳人数
合计
晴天
60
40
100
雨天
30
70
100
合计
90
110
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
时间范围学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
其他
合计
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485
合计
222
358
580