2025高考数学专项讲义第07讲离散型随机变量的分布列与数字特征(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第07讲离散型随机变量的分布列与数字特征(学生版+解析)，共76页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测，名师点睛等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握离散型随机变量的定义
2.会表示离散型随机变量的分布列
3.会计算离散型随机变量的均值和方差
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合离散型随机变量的分布列及均值方差在大题中考查，需重点强化复习
知识讲解
1．离散型随机变量定义
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．离散型随机变量均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
4．离散型随机变量方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
考点一、离散型随机变量分布列
1．（23-24高三·阶段练习）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.
(1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率;
(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.
2．（2024高三·全国·专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
1．（23-24高二上·上海·课后作业）某学生参加一次考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求该生答对试题数X的分布列.
2．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为．
(1)求p的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．
考点二、离散型随机变量的均值
1．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
3．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
4．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
1．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．
(1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
(2)求该生两次投篮得分的分布列及数学期望．
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立．
(1)求学生甲恰好答对3道题的概率；
(2)设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望．
3．（2024·安徽·一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p；
(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
4．（2024·湖南邵阳·三模）为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据所获得的分数获得相应的奖品．工作人员给每位答题人提供了A，B两类题目．规定每位答题人共需回答3道题目．现有两种方案供答题人任意选择：
甲方案：只答A类题目；
乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，则下一次答B类题目．
已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分．若小李每道A类题目能答对的概率均为，每道B类题目能答对的概率均为，且每道题能否答对与回答顺序无关．
(1)若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；
(2)若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？
考点三、离散型随机变量的方差
1．（浙江·高考真题）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
2．（浙江·高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
3．（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
(1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率；
(2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
4．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
1．（2024·福建泉州·二模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开甲选择之外的一个空箱子，记为X号箱．
(1)求的概率；
(2)求X的方差；
(3)若，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？
2．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表:
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望;
(2)在(1)中表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.
3．（2024·浙江·模拟预测）某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；
②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；
③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；
(2)顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？
(3)设顾客在消耗张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得张抽奖券，至少要在商场中消费满元，求的值.
（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为.随机变量表示当恰好出现次失败时已经成功的试验次数.则服从参数为和的负二项分布.记作.它的均值，方差）
1．（2024·青海海西·模拟预测）一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差．
(1)求；
(2)求随机变量X的分布列和数学期望．
2．（21-22高二下·广东广州·期中）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；
(3)求的期望及标准差.
3．（2024·广东·二模）某厂有3组生产用设备，由于设备使用时间过长，每组设备在一个月内均有的故障率．现该厂制定设备翻新计划，每个月月初有的概率在剩余未改造设备中随机抽取一组并在月底翻新，但月内若有设备发生故障，则无论本月有无翻新计划及是否抽到该设备，故障的设备都将立即翻新，且该月内不再因为故障翻新其它设备（但若发生故障的不是已经在送修计划内的设备，则计划翻新仍将正常进行），若再有设备发生故障则将会维修（但暂不翻新）后重新投入生产．
(1)求第一个月恰好翻新一组设备的概率；
(2)设第一个月结束后，已翻新的设备数量为随机变量X，求X的均值．
4．（2024·全国·模拟预测）某中学为积极贯彻并落实教育部提出的“五育并举”措施，在军训期间成立了自动步枪社团来促进同学们德智体美劳全面发展，在某次军训课上该自动步枪社团的某同学进行射击训练，已知该同学每次射击成功的概率均为.
(1)求该同学进行三次射击恰好有两次射击成功的概率；
(2)若该同学进行三次射击，第一次射击成功得2分，第二次射击成功得2分，第三次射击成功得4分，记为三次射击总得分，求的分布列及数学期望.
5．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.
6．（2024·黑龙江牡丹江·一模）某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响．
(1)求小张同学被终止比赛的概率；
(2)现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望；
(3)求小张同学获得三等奖的概率．
7．（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：
(1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？
(2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率；
(3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析．
8．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）某学科测试题有多项选择题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；…．学生在作答某题时，对四个选项能正确地判断，判断不了（不选）和错误的判断的概率如下表：
已知此题的正确选项为AD．
(1)求学生答此题得6分的概率；
(2)求学生此题得分的分布列及数学期望．
9．（2024·湖南益阳·一模）某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.
(1)完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?
(2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
10．（2023·陕西西安·一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据）
1．（2024·甘肃张掖·三模）春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己选择看哪2部电影.
(1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率；
(2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望.
2．（2024·四川·一模）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投个球，每投进一个球记分，未投进记分.
(1)求甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率；
(2)记甲、乙每轮投篮得分之和为.
①求的分布列和数学期望；
②若，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为，当为何值时，恒成立？
3．（2024·广西来宾·模拟预测）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：
(1)将列联表补充完整；
(2)根据的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？
(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
附：，其中
4．（2024·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
5．（2024·北京门头沟·一模）2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。
(1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；
(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差 的大小关系． (结论不要求证明）．
6．（2024·江西南昌·模拟预测）南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.
(1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(3)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和期望.
7．（2024·辽宁·模拟预测）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.
(1)求的分布列；
(2)记随机变量.已知，
（i）证明：，；
（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.
（已知随机变量服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）
8．（2024·浙江温州·模拟预测）在坐标平面内 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点，记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:
(1)当 时，写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量 与分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 (四舍五入取整).
(3)记方差 ，试证明 .
9．（2024·安徽·三模）现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地完全相同.
(1)若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望；
(2)现从甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次数不超过次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为，求的数学期望，并证明：.
10．（2024·安徽芜湖·模拟预测）有一个摸球游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中．
(1)若、，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；
(2)若，．
①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记为第n次是甲摸球的概率，求；
②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为，失败的概率为，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记作．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到这里的，，．求．
1．（浙江高考真题） 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为p.
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球则停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望.
（2）若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值.
2．（山东·高考真题）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
3．（安徽·高考真题）本小题满分13分）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；
（3）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．
4．（四川·高考真题）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望
5．（陕西·高考真题）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．
6．（全国·高考真题）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
7．（福建·高考真题）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,求的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
8．（江西·高考真题）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．
9．（山东·高考真题）先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得分，没有命中得分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分的分布列及数学期望.
10．（江西·高考真题）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
(1)写出的分布列；
(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第14题,5分
求离散型随机变量的均值
均值的性质
计算古典概型问题的概率
2024年新Ⅱ卷，第18题,17分
求离散型随机变量的均值
利用对立事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
2023年新I卷，第21题,12分
求离散型随机变量的均值
利用全概率公式求概率
2022年全国甲卷（理），
第19题,12分
写出简单离散型随机变量分布列
求离散型随机查量的均值
/
2021年新I卷，第18题,12分
写出简单离散型随机变量分布列
求离散型随机查量的均值
/
2021年新Ⅱ卷，第21题,12分
求离散型随机查量的均值
均值的实际应用
利用导数研究方程的根
2020年新I卷，第12题,5分
利用随机变量分布列的性质解题
对数的运算
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
歌曲
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000
男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35
A
B
C
D
E
甲车间
100
120
150
180
200
乙车间
50
120
200
150
180
选项
作出正确的判断
判断不了（不选）
作出错误的判断
A
0.4
0.2
0.4
B
0.2
0.3
0.5
C
0.6
0.3
0.1
D
0.5
0.3
0.2
满意
不满意
总计
男游客
35
女游客
15
合计
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
男
女
合计
了解
20
不了解
20
40
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
项目
斋堂出口
清水出口
安家庄出口
雁翅出口
火村出口
西台子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
探亲
16
10
10
5
5
4
时间（分钟）
的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征
（3类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握离散型随机变量的定义
2.会表示离散型随机变量的分布列
3.会计算离散型随机变量的均值和方差
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合离散型随机变量的分布列及均值方差在大题中考查，需重点强化复习
知识讲解
1．离散型随机变量定义
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．离散型随机变量均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
4．离散型随机变量方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
考点一、离散型随机变量分布列
1．（23-24高三·阶段练习）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.
(1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率;
(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）先利用分步乘法计数原理计算总抽取方法，再求出抽到至少两个有标号的球的方法计算概率即可；
（2）利用离散型随机变量的分布列公式计算即可.
【详解】（1）由题意可得共有（种）不同的抽法，
抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有，
标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有，
合计（种）不同的抽法，
所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为.
（2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
所以的分布列为
2．（2024高三·全国·专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，利用古典概型计算公式可求得结果.
（2）根据题意，列出的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列.
【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：.
数学老师多于语文老师的选法有：
①1名数学，2名英语的选法：种；
②2名数学的选法有：种.
所以数学老师多于语文老师的选法有：种.
故数学老师多于语文老师的概率为：.
（2）由题意，的可能取值为：0，1，2.
，，.
所以的分布列为：
1．（23-24高二上·上海·课后作业）某学生参加一次考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求该生答对试题数X的分布列.
【答案】答案见解析
【分析】根据分布列的解题步骤计算即可.
【详解】答对试题数X的可能取值为：，
则，
.
所以该生答对试题数X的分布列如下：
2．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为．
(1)求p的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案.
（2）确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列.
【详解】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为，
所以，则．
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量X的分布列为
考点二、离散型随机变量的均值
1．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
2．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
3．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
4．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
1．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．
(1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
(2)求该生两次投篮得分的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率，踩线及3分线内侧投入的概率，不能入篮的概率，由此能求出该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率．
（2）由已知得的可能取值为0，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望．
【详解】（1）“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，“不能入篮”分别记为事件，，，
由题意知，，，
因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为.
（2）两次投篮后得分的可能取值为0，2，3，4，5，6,
由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件，
表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0，
则；
表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮，
则；
表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，
则；
表示两次都是踩线及3分线内侧投入，
则；
表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入，
则；
表示两次都是3分线外侧投入，则，
故的分布列为
所以.
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立．
(1)求学生甲恰好答对3道题的概率；
(2)设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）转化为“答对组的2道题和组的1道题”与“答对组的l道题和组的2道题”两个互斥事件的和事件的概率求解，再分别应用相互独立事件同时发生的乘法公式即可得；
（2）按照求离散型随机变量分布列的一般步骤求解即可.
【详解】（1）学生甲恰好答对3道题有以下两种情况：
第一种情况是学生甲答对组的2道题和组的1道题，
其概率；
第二种情况是学生甲答对组的l道题和组的2道题，
其概率．
故学生甲恰好答对3道题的概率．
（2）由题意可知的所有可能取值为．
，
，
，
，
由（1）可知，
则的分布列为
故．
3．（2024·安徽·一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p；
(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
【答案】(1)
(2)②
【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可，
（2）分别求解三种情况下的期望，即可比较期望大小求解.
【详解】（1）根据题意可知，，
若该题有2个选项正确，则，
若该题有3个选项正确，则，
则分布列如下：
所以，
解之得；
（2）不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件，
“有3个选项正确”为事件，
若小明选择方案①，
记小明该题得分为，则的可能取值为2，3，对应概率为：
，
故；
若小明选择方案②，
记小明该题得分为，则的可能取值为，对应概率为：
，
，
故，
若小明选择方案③，
记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为，对应概率为：
，
.
故，
，
故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②.
4．（2024·湖南邵阳·三模）为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据所获得的分数获得相应的奖品．工作人员给每位答题人提供了A，B两类题目．规定每位答题人共需回答3道题目．现有两种方案供答题人任意选择：
甲方案：只答A类题目；
乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，则下一次答B类题目．
已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分．若小李每道A类题目能答对的概率均为，每道B类题目能答对的概率均为，且每道题能否答对与回答顺序无关．
(1)若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；
(2)若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？
【答案】(1)
(2)乙方案
【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；
（2）由二项分布求出小李采用甲方案答题的期望，若小李采用乙方案答题，则设他的得分为，求出的可能取值及其对应的概率，由数学期望公式求出，由即可得出答案.
【详解】（1）若“小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分”记为事件，
则小李至少答对道A类题目，
所以.
（2）若小李采用甲方案答题，设他的得分为，则他答对的题数为，
且，所以，
则，
若小李采用乙方案答题，则设他的得分为，的可能取值为，
，，
，，
，，
所以，
因为，
所以小李想要答题得分的期望值更大，应该选择乙方案答题.
考点三、离散型随机变量的方差
1．（浙江·高考真题）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
【答案】D
【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
2．（浙江·高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】D
【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.
【详解】，
，
，∴先增后减，因此选D.
【点睛】
3．（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
(1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率；
(2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
【答案】(1)
(2)期望为；方差为
【分析】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，根据条件先求，再利用条件概率公式，即可求解；
（2）由题知可能取值为，再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解.
【详解】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，
因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且
，，，所以，
又，所以．
（2）设X为员工取得的红包数额，则可能取值为，
所以，，
，，
所以，
．
4．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
【答案】(1)0.4
(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.
（2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案.
【详解】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以；
甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分
1．（2024·福建泉州·二模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开甲选择之外的一个空箱子，记为X号箱．
(1)求的概率；
(2)求X的方差；
(3)若，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？
【答案】(1)
(2)
(3)甲应该改选4号或3号箱．
【分析】（1）利用全概率公式计算；
（2）由X可能的取值，求出相应的概率，得分布列，公式法求方差；
（3）计算各箱里有奖品的概率，由结果进行选择.
【详解】（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，
设分别表示主持人打开1，2，3，4号箱子，
则，且两两互斥．
由题意可知，事件的概率都是，，．
由全概率公式，得．
（2）依题意可得
，同理可得，
故X的分布列为：
（3）在主持人打开1号箱的条件下，4号箱、2号箱、3号箱里有奖品的概率分别为
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选4号或3号箱．
2．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表:
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望;
(2)在(1)中表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.
【答案】(1)分布列见解析，
(2).
【分析】（1）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，根据已知条件求出，的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求得的分布列与数学期望;
（2）根据方差的性质判断即可.
【详解】（1）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件 .
则 ，
则的可能取值为 .
所以，
，
，
所以 的分布列为:
所以 .
（2）依题意可得，
所以,
即 .
3．（2024·浙江·模拟预测）某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；
②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；
③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；
(2)顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？
(3)设顾客在消耗张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得张抽奖券，至少要在商场中消费满元，求的值.
（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为.随机变量表示当恰好出现次失败时已经成功的试验次数.则服从参数为和的负二项分布.记作.它的均值，方差）
【答案】(1)；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即 可得答案；
（2）分别求出顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，以及顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；
（3）由题意确定，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
故甲至少获得1份礼品的概率；
（2）设“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”，“顾客乙在消耗第2
张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”
，
，
；
（3）由题意可知
则，
.
1．（2024·青海海西·模拟预测）一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差．
(1)求；
(2)求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）根据题意，由概率公式代入计算，即可求解；
（2）有题意可得，X的取值分别为2，3，4，5，分别求得其对应概率，再由期望的公式代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）当时，这3个球的编号分别有两个为1和6，另一个为2或3或4或5，
可得；
（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5，
有，
，
，
随机变量X的分布列为：
则．
2．（21-22高二下·广东广州·期中）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；
(3)求的期望及标准差.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)，
【分析】（1）第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，进而结合概率的乘法公式即可求出结果；
（2）求出ξ的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与标准差的概念即可求出结果；
（3）由期望公式、标准差公式可求解.
【详解】（1）因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，
所以;
（2）由题意，可取0，1，2.
P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.
故ξ的分布列为：
（3）由（2）有E(ξ)＝，
D(ξ)＝，所以.
3．（2024·广东·二模）某厂有3组生产用设备，由于设备使用时间过长，每组设备在一个月内均有的故障率．现该厂制定设备翻新计划，每个月月初有的概率在剩余未改造设备中随机抽取一组并在月底翻新，但月内若有设备发生故障，则无论本月有无翻新计划及是否抽到该设备，故障的设备都将立即翻新，且该月内不再因为故障翻新其它设备（但若发生故障的不是已经在送修计划内的设备，则计划翻新仍将正常进行），若再有设备发生故障则将会维修（但暂不翻新）后重新投入生产．
(1)求第一个月恰好翻新一组设备的概率；
(2)设第一个月结束后，已翻新的设备数量为随机变量X，求X的均值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题列举所求事件包含的事件情况，结合分类分步计数原理求得概率；
（2）先列出随机变量的所有可能取值，结合概率公式求得每个值所对应的概率，最后利用均值的公式计算的答案；
【详解】（1）由题，“翻新一组设备”包含“计划翻新一组且没有发生故障”，“没有计划翻新但出现故障”及“有计划翻新且出现了故障，但故障设备恰好为计划翻新的设备”三种事件．
设“翻新一组设备”为事件A，“计划翻新”为事件B，“出现故障”为事件C，“抽到故障设备”为事件D
则，，，
，
因此第一个月恰好翻新一组设备的概率为．
（2）的可能取值为0，1，2，
当且仅当没有出现故障且没有计划改造，
故，
由（1），，
，
故．
4．（2024·全国·模拟预测）某中学为积极贯彻并落实教育部提出的“五育并举”措施，在军训期间成立了自动步枪社团来促进同学们德智体美劳全面发展，在某次军训课上该自动步枪社团的某同学进行射击训练，已知该同学每次射击成功的概率均为.
(1)求该同学进行三次射击恰好有两次射击成功的概率；
(2)若该同学进行三次射击，第一次射击成功得2分，第二次射击成功得2分，第三次射击成功得4分，记为三次射击总得分，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望4
【分析】（1）由互斥加法、独立乘法公式即可求解；
（2），求出对应的概率即可得分布列，进一步即可求得数学期望.
【详解】（1）记“该同学进行三次射击恰好有两次射击成功为事件”，
则.
（2）设事件分别表示第一次射击成功，第二次射击成功，第三次射击成功，
根据题意可知.
故；
；
；
；
.
所以的分布列为：
故的数学期望.
5．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)2001
【分析】（1）根据正态分布的性质求出的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；
（2）根据正态分布的对称性求出的值，确定，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且，
所以，
则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.
（2）因为，所以，
依题意可得，所以，
因为，所以，
又为正整数，所以的最小值为2001.
6．（2024·黑龙江牡丹江·一模）某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响．
(1)求小张同学被终止比赛的概率；
(2)现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望；
(3)求小张同学获得三等奖的概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】．
（1）根据题意，第一轮中小张只答对2道则被终止比赛，计算概率即可；
（2）分析得的所有可能取值，分别求出概率，即可得出分布列，进而得出数学期望；
（3）分析出小张同学获得三等奖的所有情况，再计算概率即可．
【详解】（1）从类道题中任选道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛，
所以小张同学被终止比赛的概率为．
（2）由题意可知，的所有可能取值为40,60,80,100，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
（3）小张获得三等奖，共有两种情况，
①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道），
概率为；
②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道），
概率为，
所以小张同学获得三等奖的概率为．
7．（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：
(1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？
(2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率；
(3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析．
【答案】(1)甲车间的平均数150，乙车间的平均数140，甲车间的方差1360，乙车间的方差2760，甲车间工作效率比较稳定
(2)0.1978
(3)答案见解析
【分析】（1）计算甲车间该日生产订单的平均数，乙车间该日生产订单的平均数，甲车间该日生产订单的方差，乙车间该日生产订单的方差；
（2）计算甲、乙2个车间都不合格的概率；
（3）比较2个车间的平均数、方差和合格率.
【详解】（1）甲车间该日生产订单的平均数为，
乙车间该日生产订单的平均数为，
甲车间该日生产订单的方差为，
乙车间该日生产订单的方差为，
因为甲车间该日生产订单的方差小于乙车间该日生产订单的方差，
所以甲车间工作效率比较稳定；
（2）甲、乙2个车间都不合格的概率为；
（3）平均数上甲车间的该日生产订单更大，方差更小，乙车间合格率更大，但是差别并不大，所以甲车间工作效率更高.
8．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）某学科测试题有多项选择题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；…．学生在作答某题时，对四个选项能正确地判断，判断不了（不选）和错误的判断的概率如下表：
已知此题的正确选项为AD．
(1)求学生答此题得6分的概率；
(2)求学生此题得分的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；
（2）设学生此题得分为，则的所有可能取值为，，，根据独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求解．
【详解】（1）设事件表示“学生答此题得6分”，选项A、D作出正确判断，且选项B、C作出正确判断或判断不了，
所以；
（2）设学生此题得分为，则的所有可能取值为，，，
所以，
，则，
所以的分布列为：
所以．
9．（2024·湖南益阳·一模）某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.
(1)完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?
(2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】(1)联表见详解，不能.
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据男游客与女游客的人数的比值,结合卡方计算公式进行计算求解即可；
（2）根据超几何分布的性质，结合数学期望公式进行求解即可.
【详解】（1）因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下：
零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关；
（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，.
所以的分布列为：
.
10．（2023·陕西西安·一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据）
【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析
(2)大约在2030年年底总资产可以翻两番
【分析】（1）分别计算出两个项目的期望和方差，比较后得到结论；
（2）设年后总资产可以翻两番，根据题意列出方程，求出答案.
【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元，则的分布列为
若投资项目二，设获利为万元，则的分布列为
，
，
，
，
，
这说明虽然项目一､项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资.
（2）假设年后总资产可以翻两番，依题意，，即，
两边取对数，得，
，，
大约在2030年年底总资产可以翻两番.
1．（2024·甘肃张掖·三模）春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己选择看哪2部电影.
(1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率；
(2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为2.4.
【分析】（1）根据超几何分布模型计算概率即可；
（2）利用超几何分布得到，再根据独立事件的乘法公式写出对应概率，最后计算期望即可.
【详解】（1）设事件:姐姐恰好看了2部贺岁片.
则，
所以姐姐恰好看了2部贺岁片的概率为.
（2）设表示姐姐看了部贺岁片.
表示弟弟看了部贺岁片.
则知.
知.
，
.
随机变量表示姐弟二人观看贺岁片的总数的取值有0，1，2，3，4.
，
，
，
，
.
从而随机变量的分布列为：
所以的数学期望.
即姐弟2人观看贺岁片的部数的数学期望为2.4.
2．（2024·四川·一模）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投个球，每投进一个球记分，未投进记分.
(1)求甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率；
(2)记甲、乙每轮投篮得分之和为.
①求的分布列和数学期望；
②若，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为，当为何值时，恒成立？
【答案】(1)
(2)①分布列见解析，；②或或
【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解；
（2）①由题知可能取值为，根据条件，求出相应的概率，即可求出分布列，再利用期望公式，即可求解；②根据条件，得到，再由，即可求解.
【详解】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次，
所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为.
（2）①由题知可能取值为，
，，
，
，，
所以的分布列为
数学期望.
②由①知，由题知，所以，
由，
得到且，
整理得到，即，
得到，所以，
由题有，所以，得到，又，所以或或.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在第（2）中的②问，根据条件得到，从而得到，再将问题转化成求解不等式，即可求解.
3．（2024·广西来宾·模拟预测）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：
(1)将列联表补充完整；
(2)根据的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？
(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
附：，其中
【答案】(1)表格见解析；
(2)根据的独立性检验，不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联；
(3)分布列见解析；.
【分析】（1）由题意以及表格数据即可填写.
（2）零假设该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据计算，再根据小概率值作出判断即可.
（3）先求随机变量，接着依次求各随机变量取值相应的概率即可得分布列，再由二项分布的数学期望公式去计算即可得.
【详解】（1）由题得列联表如下：
（2）零假设该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关，
由（1）可得，
则根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即可以认为成立，故不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联.
（3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人，
所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为，
则由题意可知，且，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为.
4．（2024·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
【答案】(1)，平均时间为小时
(2)分布列见解析，期望
(3)
【分析】（1）根据频率和为，可得，再根据平均数公式直接计算平均数即可；
（2）分别计算时间在，的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望；
（3）根据频率分布直方图可知运动时间在内的频率，根据二项分布的概率公式可得，根据最值可列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）由已知，解得，
所以平均数为
.
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又，且，则.
5．（2024·北京门头沟·一模）2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。
(1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；
(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差 的大小关系． (结论不要求证明）．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据古典概型在清水出口下高速的人数比总样本数即可得到概论。
（2）由题意，随机变量的所有可能为0，1，2，3，分别求出概率，即可求出分布列，利用期望公式求出期望。
（3）通过对，方差的估算，即可得出。
【详解】（1）解：样本中被调查的居民人数为200，
其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10，
所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为：，
（2）解：从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为；
从样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为，
由题设，的所有可能取值为0，1，2，3.
,
，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
所以X的数学期望.
（3）解：
6．（2024·江西南昌·模拟预测）南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.
(1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(3)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，期望为
【分析】（1）借助组合数结合概率定义计算即可得；
（2）借助全概率公式计算即可得；
（3）借助全概率公式与概率之和为，可得出与有关等式，结合等比数列的性质计算即可得，再利用对称性求出、后，即可由分布列与期望定义得到相应分布列与期望.
【详解】（1）设第场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件，则；
（2）；
（3）当时，
，
，
，
由，
故
，
即有，又，则，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，
结合对称性可知，每次分享会学生嘉宾中有1名男生的概率与3名男生的概率相同，
故，又，
故有，
第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数的可能取值为、、，
，
，
，
则其分布列为：
则.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助，得到，从而可由等比数列的性质解题.
7．（2024·辽宁·模拟预测）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.
(1)求的分布列；
(2)记随机变量.已知，
（i）证明：，；
（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.
（已知随机变量服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），
【分析】（1）利用超几何分布求解即可；
（2）（ⅰ）利用均值和方差的性质求解即可；
（ⅱ）利用题目给的方差公式结合第（ⅰ）中的结论，求出，，然后列方程求解即可.
【详解】（1）依题意，均服从完全相同的超几何分布，
且，均大于100，
故的分布列为.
（2）（i）均服从完全相同的超几何分布，故
，
，
故，
（ii）由（ⅰ）可知的均值
利用公式计算的方差，
所以
依题意有
解得，．
所以可以估计，．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于灵活运用期望和方差的性质，以及超几何分布的方差公式.
8．（2024·浙江温州·模拟预测）在坐标平面内 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点，记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:
(1)当 时，写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量 与分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 (四舍五入取整).
(3)记方差 ，试证明 .
【答案】(1)分布列见解析，期望
(2)①，②8
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意写出的分布列并计算期望.
（2）①根据期望的性质求解；②根据已知条件求平均数，然后求解数据；
（3）根据方差的计算公式，进行证明求解.
【详解】（1）整点有，
故的取值为，则分布列：
期望
（2）①，
所以
②，所以平均数是 7.75.
所以取， 四舍五入取
（3）先求 ,
则方差成立
9．（2024·安徽·三模）现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地完全相同.
(1)若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望；
(2)现从甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次数不超过次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为，求的数学期望，并证明：.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可知的所有可能取值为，易求得，可得分布列，计算可求数学期望.
（2）当时，，
当时，，利用错位相减法可求，进而利用单调性可证明结论.
【详解】（1）由题意可知的所有可能取值为，
且，
的概率分布表如下：
.
（2）当时，，
当时，，
记，
则，
两式相减得，
.
所以，
记，
则，
当时，，所以，且，
所以成立.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用错位相减法求出，代入得到，再计算得到其单调性即可.
10．（2024·安徽芜湖·模拟预测）有一个摸球游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中．
(1)若、，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；
(2)若，．
①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记为第n次是甲摸球的概率，求；
②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为，失败的概率为，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记作．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到这里的，，．求．
【答案】(1)分布列见解析，方差
(2)①；②4
【分析】（1）由题可得，再由二项分布的概率计算公式求出各个概率，从而得到分布列，再由方差公式计算可得方差；
（2）①由题意得到，构造等比数列即可求得；
②求出Y的分布列，再由方程公式和极限与组合数的运算计算即可求得.
【详解】（1）由题意，，且的可能取值为
，，
，，
，
所以X的分布列为：
所以方差
（2）①在题中，为第n次是甲摸球的概率，又设为第n次是乙摸球的概率，设为第n次是乙摸球的概率，则有，且，，，
根据题意，我们还能得到：
化简得：，
∴，又，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，即∴
②∵，∴的可能取值为
Y的分布列为：
，
又因为时，，，．
根据分布列的性质有，代入上式得：
．
【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是构造出这样的等比数列，从而求出.
1．（浙江高考真题） 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为p.
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球则停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望.
（2）若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值.
【答案】（1）① ；②分布列见解析；数学期望.
（2）.
【分析】（1）①利用相互独立事件的概率公式即可求解；
②利用独立重复试验的概率公式分别计算概率，写出分布列，求出数学期望；
（2）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球，利用古典概型的概率公式求得p.
【详解】（1）①从A中有放回地摸球，属于独立重复实验，所以概率
②由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3.
..
..
的分布列是：
（2）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球.
由，得 .
2．（山东·高考真题）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，
【详解】试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解.
试题解析：
（Ⅰ）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，
由事件的独立性与互斥性，
,
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
,
,
,
,
,
.
可得随机变量的分布列为

所以数学期望.
【考点】独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和数学期望
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.
3．（安徽·高考真题）本小题满分13分）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；
（3）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．
【答案】（1） 不变化；（2）；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小
【详解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为．
若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为，
发现任务能完成的概率是一样.
同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化.
（2）由题意得可能取值为
∴，
∴其分布列为:
．
（3）,
∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小,
则只能先派甲、乙中的一人.
∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则；
若先派乙,再派甲,最后派丙, 则，
，
∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．
4．（四川·高考真题）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【详解】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则
．所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．
（2）的可能取值为0，2，4，6，8，
，
，，
分布列如下表：
数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8=
考点：离散型随机变量的分布列及概率．
5．（陕西·高考真题）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）甲应选择乙应选择
（Ⅱ）见解析
【详解】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望．
（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．
用频率估计相应的概率，则有：
，；
∵，∴甲应选择路径；
，；
∵，∴乙应选择路径．
（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，的取值是0，1，2，
∴，
，
∴X的分布列为
∴．
6．（全国·高考真题）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）记该批产品通过检验为事件A；则；
（2）X的可能取值为400、500、800；
，，，则X的分布列为
【详解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，
第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，
第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，
第二次取出的1件产品是优质品为事件D，
这批产品通过检验为事件E，
∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝.
(2)X的可能取值为400，500，800，并且
P(X＝400)＝1－， P(X＝500)＝ ，P(X＝800)＝＝ ，
∴X的分布列为
EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.
7．（福建·高考真题）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,求的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大
【详解】(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,
记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”,
,
这两人的累计得分的概率为.
(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为
由已知:,
,
,
他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.
8．（江西·高考真题）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．
【答案】(1)第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式分别求出只有甲，只有乙，只有丙合格的概率，再利用互斥事件的概率加法公式求出恰有一件合格的概率；
（2）由已知确定随机变量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望.
【详解】（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，则，，，设表示第一次烧制后恰好有一件合格， ，
所以
．
（2）设甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件，，，分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，，，则，，，，，，
，，
所以，
，
，
．
于是，
9．（山东·高考真题）先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得分，没有命中得分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分的分布列及数学期望.
【答案】： （Ⅰ） （Ⅱ）分布列见解析；
【详解】试题分析：（I）三次射中一次，射中的一次可能是甲靶也可能是乙靶，而三次射击都是独立的，利用乘法公式求出三种情况下的概率并求和；（II）选手射击所的最低分为分，最高分为分，求出所有得分所对应的概率，并列表求期望.
试题解析：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件；“该射手射击甲靶命中”为事件；“该射手第一次射击乙靶命中”为事件；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件
由题意知，，，
由于，根据事件的独立性与互斥性得
（Ⅱ）根据题意，的所以可能取值为．
根据事件的独立性和互斥性得
，
，
，
故的分布列为
所以．
考点：独立性事件的概率，数学期望.
10．（江西·高考真题）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
(1)写出的分布列；
(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？
【答案】(1)见解析
(2)实施方案二，两年后柑桔产量超过灾前的概率更大；
(3)实施方案一的平均利润最大.
【分析】（1）根据所给数据分别求出、的可能值，并算出对应的概率即可得分布列；
（2）利用（1）中、的分布列，分别计算出，的概率即可得解；
（3）利用（1）中、的分布列，求出两种方案利润的值及对应概率，再经计算即可作答.
【详解】（1）依题意，的所有可能值：0.8，0.9，1.0，1.125，1.25，
，，
，，
，
于是得的分布列为：
的所有可能值：0.8，0.96，1.0，1.2，1.44，
，，
，，
，
于是得的分布列为：
（2）由（1）知，实施方案一，两年后柑桔产量超过灾前的概率为：
，
实施方案二，两年后柑桔产量超过灾前的概率为：
，
因为
所以实施方案二，两年后柑桔产量超过灾前的概率更大；
（3）令表示第i种方案的利润，它们的所有可能值均为：10万元、15万元、20万元，
由（1）得：，
则(万元)，
，
则(万元)，
而，
所以实施方案一的平均利润
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第14题,5分
求离散型随机变量的均值
均值的性质
计算古典概型问题的概率
2024年新Ⅱ卷，第18题,17分
求离散型随机变量的均值
利用对立事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
2023年新I卷，第21题,12分
求离散型随机变量的均值
利用全概率公式求概率
2022年全国甲卷（理），
第19题,12分
写出简单离散型随机变量分布列
求离散型随机查量的均值
/
2021年新I卷，第18题,12分
写出简单离散型随机变量分布列
求离散型随机查量的均值
/
2021年新Ⅱ卷，第21题,12分
求离散型随机查量的均值
均值的实际应用
利用导数研究方程的根
2020年新I卷，第12题,5分
利用随机变量分布列的性质解题
对数的运算
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
2
3
4
P
0
1
2
0.2
0.6
0.2
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
1
2
3
P
0
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
X
0
4
6
P
歌曲
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000
X
1
3
4
P
男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35
0
1
2
X
2
3
4
5
P
ξ
0
1
2
P
0
2
4
6
8
A
B
C
D
E
甲车间
100
120
150
180
200
乙车间
50
120
200
150
180
选项
作出正确的判断
判断不了（不选）
作出错误的判断
A
0.4
0.2
0.4
B
0.2
0.3
0.5
C
0.6
0.3
0.1
D
0.5
0.3
0.2
0
3
6
0.685
0.225
0.09
满意
不满意
总计
男游客
35
女游客
15
合计
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
满意
不满意
总计
男游客
35
5
40
女游客
45
15
60
合计
80
20
100
0
1
2
60
-30
100
0
-60
0
1
2
3
4
男
女
合计
了解
20
不了解
20
40
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男
女
合计
了解
40
20
60
不了解
20
20
40
合计
60
40
100
0
1
2
3
项目
斋堂出口
清水出口
安家庄出口
雁翅出口
火村出口
西台子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
探亲
16
10
10
5
5
4
0
1
2
3
0
1
99
100
X
0
1
2
P
0
1
2
X
0
1
2
3
4
5
P
Y
2
3
4
5
n
0
1
2
3
0
1
2
3
4
6
P
0
2
4
6
8
时间（分钟）
的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54
X
400
500
800
P
X
400
500
800
P
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08