2025年高考数学复习(新高考专用)重难点34概率与统计的综合问题【九大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习(新高考专用)重难点34概率与统计的综合问题【九大题型】特训(学生版+解析)，共93页。

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\l "_Tc28123" 【题型1 概率的综合问题】 PAGEREF _Tc28123 \h 3
\l "_Tc27793" 【题型2 超几何分布与二项分布的综合应用】 PAGEREF _Tc27793 \h 4
\l "_Tc1282" 【题型3 正态分布的综合问题】 PAGEREF _Tc1282 \h 6
\l "_Tc28644" 【题型4 概率与其它知识的交汇问题】 PAGEREF _Tc28644 \h 7
\l "_Tc31952" 【题型5 决策型问题】 PAGEREF _Tc31952 \h 9
\l "_Tc28357" 【题型6 频率分布直方图与分布列的综合问题】 PAGEREF _Tc28357 \h 11
\l "_Tc2661" 【题型7 回归模型与分布列的综合问题】 PAGEREF _Tc2661 \h 14
\l "_Tc28667" 【题型8 独立性检验与分布列的综合问题】 PAGEREF _Tc28667 \h 17
\l "_Tc12044" 【题型9 概率、统计与数列的综合问题】 PAGEREF _Tc12044 \h 20
1、概率与统计的综合问题
概率与统计是高考的重点、热点内容，概率与统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，往往多个知识点结合考查.从近几年的高考情况来看，题量通常为“两小一大”，选择题、填空题考查比较全面，侧重基础知识，难度不大；解答题重点考查概率统计主干知识，主要涉及古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、回归分析、独立性检验等内容，试题难度中等；复习时加强这部分内容的练习，灵活求解.
【知识点1 概率问题及其解题策略】
1．古典概型中基本事件的求解方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.
2．求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n( A)，再在事件A发生的条件下求事件B包
含的基本事件数，即n( AB)，得.
3．利用全概率公式的解题思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算.
【知识点2 频率分布直方图中的数字特征】
1．众数、中位数、平均数的应用要点
中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我
们需根据实际需要选择使用.
2．频率分布直方图的数字特征
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图
中，最高小长方形的底边中点的横坐标；
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
【知识点3 离散型随机变量及其分布的解题策略】
1．离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列；
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
【知识点4 二项分布与超几何分布、正态分布的解题策略】
1．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点：
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
3．正态分布问题的解题策略
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴x=μ；
(2)标准差σ；
(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【知识点5 回归分析、独立性检验的解题策略】
1．回归分析的三大常用结论
(1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心.
(2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
(3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大.
2．独立性检验的应用问题的解题策略
解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式计算；
(3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断.
【题型1 概率的综合问题】
【例1】（2024·广东江门·模拟预测）现有1000个苹果，其中900个是大果，100个是小果，现想用一台水果分选机筛选出来．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽出一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A．855857B．8571000C．171200D．910
【变式1-1】（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：PA|B=PAPB|APB.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．4951000B．9951000C．1011D．2122
【变式1-2】（2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为34，小郅胜小睿的胜率为12，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者.
(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
(2)求最终小金获胜的概率.
(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）.
【变式1-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）有编号为1,2,⋯,n的n个空盒子n≥2,n∈N，另有编号为1,2,⋯,k的k个球2≤k≤n,k∈N，现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k号球能放入k号盒子的概率为Pn,k．
(1)求P3,3；
(2)当n≥3时，求Pn,3；
(3)求Pn,k．
【题型2 超几何分布与二项分布的综合应用】
【例2】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为ξ1,ξ2，ξ1,ξ2的期望分别为Eξ1,Eξ2，方差分别为Dξ1,Dξ2，则（ ）
A．Eξ1=Eξ2,Dξ1Dξ2
C．Eξ15时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：η~Nμ,σ2，则Pμ−σ