【2023高考数学复习强化】专题30 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类（学生版＋教师版）

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专题30 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类
【考点预测】
1、三角形的面积处理方法
（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2）水平宽·铅锤高或

（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型


（2）等角、共角模型


3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直


（2）一般四边形


（3）分割两个三角形


4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．
【题型归纳目录】
题型一：三角形的面积问题之底·高
题型二：三角形的面积问题之分割法
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
【典例例题】
题型一：三角形的面积问题之底·高
例1．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．
【解析】（1）由题意得：，且，
解得：，
所以，
所以椭圆方程为；
（2）联立与椭圆方程可得：
，
由，解得：；
设，
则，，
由弦长公式可得：，
点到直线的距离为，
则的面积为，
其中，
令，，
则，
由于，所以，,
令得：，
令得：，
即在上单调递增，
在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
，
所以当时，面积取得最大值，此时直线的方程为．
例2．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.
【解析】（1），，
由椭圆过点得，解得，，
∴椭圆的方程为.
（2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得，
当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点
则有，∴.
将方程代入椭圆方程中整理得：，
∴，，
，
∴，当且仅当，即时取等号.
当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.
∴面积的最大值为2.
例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））设O为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于P，Q两点，且的面积是，求证：．
【解析】（1）因椭圆过点，则，又椭圆C的离心率为，
则有，解得，
所以C的方程为．
（2）依题意，，由消去x并整理得：，
，
设，则，
于是得，点O到l的距离，
因此，即，
整理得，即，显然满足，
所以.
例4．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）
【解析】（1）由椭圆的定义，
可知
解得，又.
椭圆C的标准方程为.
（2）设直线l的方程为，
联立椭圆方程，得，
，得
设，则，

，
点到直线的距离，

.
当且仅当，即时取等号；
面积的最大值为.
例5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三开学考试）如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．

(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．
【解析】（1）根据题意得：，解得，，，
所以，抛物线焦点，
所以，椭圆，拋物线
（2）设，
联立与椭圆，
整理得：，  
判别式：
弦长公式：
点到直线的距离为
所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
点到直线的距离为
所以，
因为，即，解得： .
所以，直线在轴上截距或，
所以，直线在轴上截距取值范
例6．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.
(1)若求圆心的轨迹的方程.
(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.
【解析】（1）设动圆的半径为，
依题意有，，．
所以轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，，所以，
当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．
所以轨迹的方程．
（2）设，，
联立直线与椭圆的方程，可得，
所以，，，得，
设原点到直线的距离为，
所以，
所以，
令，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．
题型二：三角形的面积问题之分割法
例7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．
【解析】（1）设椭圆C的焦距为，则，即，
所以，即，
又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，
所以，即，
综上解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）易得，设，则，联立直线l与椭圆C的方程，得，
则．
又，
易知与同号，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为．
例8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.
【解析】（1）依题可得，，解得，
所以椭圆的方程为.
所以离心率.
（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，
由可得，，
所以，
，而，即，
化简可得，
，

化简得，
所以或，
所以直线或，
因为直线不经过点，
所以直线经过定点.
设定点


，
因为，所以，
设，
所以，
当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.
例9．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【解析】（1）由已知可得：，解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）∵，
设的直线方程为：，，，
联立方程：，
整理得：，
∴，，
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
∴，
，
∴，
令，
则，
由对勾函数单调性知，，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为.
例10．（2022·云南大理·模拟预测）已知为椭圆C的左、右焦点，点为其上一点，且
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
则解之得：
所以椭圆的标准方程为．
（2）如图所示，设直线，

则消去x整理得，
设的面积为S，

又，
则，
令，则，
又设，则，
∴在上为增函数，，∴，
所以，存在当时，即直线l的方程为的面积有最大值，其最大值为3．
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
例11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.

（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，
又因为，，，
因为，所以，，轴，
点的横坐标为，所以，，，可得，即点，
过点且与渐近线平行的直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，点到直线的距离为，
且，因此，四边形的面积为；
（2）四边形的面积为定值，理由如下：
设点，双曲线的渐近线方程为，
则直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，即，
点到直线的距离为
，且，
因此，（定值）.
例12．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值
【解析】（1）由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，可得，，
所以，
又，则，
所以，，
故椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，
由得：，
则，
所以


，
当且仅当时，等号成立.
所以，面积的最大值为.
例13．（2022·全国·高三专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.
(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知，，

，，设，
，，


由椭圆的性质可知，
，
，故，即.
(2)设，，联立消去整理可得，
，，
，，
直线的方程为：，
根据点到直线的距离公式可知，点，到直线的距离分别为
，
，
，
，
四边形的面积为
，当且仅当即时，上式取等号，
所以的最大值为.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.
【解析】(1)由题意知，a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为，
因为c＝＝，
所以椭圆C的离心率.
(2)设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则
因为A(2，0)，B(0，1)，
所以直线PA的方程为，令x＝0，得，从而|BM|＝1－yM＝
直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.
所以四边形ABNM的面积
S＝|AN|·|BM|＝·
＝
＝＝2，
所以四边形ABNM的面积为2.
例15．（2022·广东·高三阶段练习）椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.
【解析】（1）椭圆经过点，,
椭圆的离心率为，则，即,
即，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线斜率不存在时，设以AB为直径的圆的圆心为，
则 ，则不妨取，故，
解得 ，故方程为，
直线过中点，即为轴，得，，
故；
直线斜率存在时，设其方程为，，，
联立，可得，
则①，
②， ③，
以为直径的圆过原点即，
化简可得，
将②③两式代入，整理得，
即④，
将④式代入①式，得恒成立，则，
设线段中点为，由，
不妨设 ，得，
又∵，∴，
又由，则点坐标为，
化简可得，代回椭圆方程可得即，
则，
综上，四边形面积的最大值为.
例16．（2022·浙江·高三竞赛）已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.
（1）求面积的最大值；
（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.
【解析】解法一  当直线的斜率不存在时，由对称性，设直线方程为，则，
，
当且仅当时取等号.
设直线：，，，联立方程，消去得：
，
判别式，则，于是
.
原点到的距离，所以

，
当且仅当时取等号.
（2）不妨设，根据垂径定理得：，则的方程为.
将的方程代入椭圆方程，消去得.注意、在直线的两侧，所以
，.
又点在直线上，所以，化简得：，则
.
解法二  （1）设，则，.
设原点到直线的距离为，则
.
（2）要四边形为平行四边形，则四边形为菱形，由（1）知
.
解法三 （1）设，，则
，
当且仅当，时取等号.
（2），则，
即，移项整理得，则，
故.
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求面积的最大值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，即，
所以，即，①
又椭圆经过点，则，②
由①②解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）当直线垂直于坐标轴时，点不能构成三角形，不符合题意，
当直线不垂直于坐标轴时，设，，，则，
联立得，
则，．
又，，
易知与同号，
所以

，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为．
例18．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））已知椭圆C：（）的焦距为，且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线交椭圆C于A、B两点，求（O为原点）面积的最大值.
【解析】（1）由①
由椭圆C经过点，得②，
联立①②，解得，，
∴椭圆C的方程是.
（2）由题意可知直线一定存在斜率，
设其方程为，
联立，消去y，得，
则，得，
设，，则，，
∴，
∵，
设（），则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，符合题意，
此时面积取得最大值.
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
例19．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得，
则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，


，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴，
则，
∵，∴，
解得，又，∴．
故λ的取值范围是．

例20．（2022·江苏·泰州中学高三开学考试）已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．
【解析】（1）由，得（c为半焦距），
∵点在椭圆E上，则．
又，解得，，．
∴椭圆E的方程为．
（2）由（1）知．设直线，，．
由消去x，得．
显然．
则，．
∴．
由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．
又，，，
∴．∴．
∵．
∴．
例21．（2022·广东·高三阶段练习）已知椭圆过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M，连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E，连接动点M与椭圆的上顶点B，与x的正半轴交于点F，记四边形的面积为，的面积为，，求的取值范围．
【解析】（1）依题意，得，
故C的方程为．
（2）依题意，，设，则，
所以直线，令，
则．
直线，令．
则，
又易知，所以四边形的面积

．
由题意可知的直线方程为，
再设椭圆的参数方程为为参数，
则动点M到直线的距离，，
化简得．
∵，
∴，
的面积，∴．
∵，∴，
即．
例22．（2022·上海金山·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分别交椭圆于点，直线与交于点.

(1)求的周长；
(2)当垂直于轴时，求直线的方程；
(3)记与的面积分别为，求的最大值.
【解析】(1)由椭圆的定义知，，
所以的周长为8.
(2)因为，故，
直线的方程为.
联立解得或
即
从而，直线的方程为，
即.
(3)设.
设直线的方程为，其中.
联立消去得
则.
又，即，
故.
同理，.
于是，
，
又，
故，
当且仅当，即时等号成立.
故的最大值为.
另令，
则.

当且仅当，
即.
故的最大值为.
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的短轴长为2，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程．
【解析】（1）根据题意可得解得
椭圆的标准方程
（2）圆
设，则
设，，，
则，同理可得：，，
∵的面积是面积的倍，则
代入整理得：
联立方程，得或，即，同理
联立方程，得或，即，同理
代入可得：，解得或
当时，直线，；
当时，直线，
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，抛物线在点处的切线l交椭圆于点M，N，交椭圆的短轴于点C，直线交x轴于点D．

(1)若点C是的中点，求p的值；
(2)设与的面积分别为，求的最大值．
【解析】（1）设直线l的方程为，代入，
得，
由题意，即，
∴l的方程为，
又∵l过，
∴；
（2）l的方程化为，设，
则l的方程为，点C的纵坐标，
则，
由，得，
解得．
设M，N的纵坐标分别为
，
令，显然，
则，
当且仅当时取等号，此时，
所以的最大值为．
例25．（2022·河北邯郸·二模）已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．
(1)求C的标准方程；
(2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值．
【解析】(1)因为△PAB的面积为5，点P（2，）为椭圆C：上一点，
所以有；
(2)由题意可知直线l的斜率不为零，故设方程为，
与椭圆方程联立为：，
设，
因为，所以，，
直线AG的方程为：，令，
得，即，
同理可得：，
，
因为，
所以有，
于是有，
因此为定值.
例26．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知椭圆，椭圆的焦点在y轴上．经过点且与椭圆有相同的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设A为椭圆的上顶点，点P是椭圆上在第一象限内的一点，点Q与点P关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点分别为M，N两点，设与的面积分别为，求的取值范围．
【解析】(1)设椭圆的方程为，焦距为，
椭圆的离心率，
则有，解得，
所以椭圆的方程为；
(2)，
设，则，且，
则kAP⋅kAQ=3-y0-x0⋅3+y0x0=3-y02-x02=3-y02y02-33=-3，
设的方程为，则的方程为，
联立，消得，
则，
联立，消得k2+3x2+23kx=0，
则，
所以，
同理可得，
所以，
设，
则，
因为，则，则，
所以，
即.
例27．（2022·江西鹰潭·二模（理））设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.
(1)求动点D的轨迹E的方程；
(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两个不同的点A、B，点T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.
【解析】(1)设，则，因，则，
又P在圆上，即，
所以动点D的轨迹E的方程是.
(2)当直线的斜率时，直线与椭圆E相切，不符合题意，
因此，设直线的方程为：，
因直线与圆相切，则，即，
由消去x并整理得：，，
设，则，
而T是线段AB中点，则


，
令，则，而，
当，即时，，于是.
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
例28．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，焦距为2，点P是椭圆C上一点满足轴，．

(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线交椭圆C于A，B（异于点P）两点，直线分别交直线于M，N，记，求的最小值．
【解析】（1）因为，，所以，，
因为轴，焦距为2，
所以，，又，
所以，，
所以椭圆C的方程为；
（2）由已知可设直线的方程为，设，，
联立方程组化简可得，
所以，化简可得，
所以，，
，

又的方程为，与直线联立可得，
所以，
的方程为，与直线联立可得，
所以，
所以，
当时，，
所以
因，
，
所以，当且仅当时取等号，
当且时，，
，
，
所以，
所以的最小值为.
例29．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值；
(3)设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】(1)设 ，依题意有 ， ，即 ，
整理得： 或 ；
(2)当 时， ，即圆D的半径为 ，当 最大时，
必有 ， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在时， 取最大值= ；
(3)

设 ， ，当 时，有 ,
由弦长公式得 ，
，
∴ ， ，
此时 ，点P的坐标为 或 ;
综上，轨迹C的方程为 ， 取最大值=，
存在，P 或P.
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．
【解析】（1）由题意知，，
又，∴，，
∴椭圆标准方程为.
（2）∵轴，∴，
设，则，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
设，，则，，
∴.
①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得.
得，
∴，即，解得.
故直线的方程为或.

例31．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于
P，Q两点，且．

(1)求椭圆的长轴和短轴的比值；
(2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围．
【解析】（1）设，则，，
所以，，
所以长轴和短轴的比值为；
（2）由（1），设椭圆方程为，
由题意直线的斜率存在且不为0，设其方程为，．
由得：，
则，所以，
所以，
因为，设，
则，，即，
又，
所以，
所以的取值范围是．
例32．（2022·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；
(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为
设点P的坐标为，由题意得，化简得
故动点P的轨迹方程为；
（2）若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为，
则
因为，所以，所以
即，解得，因为，所以，
故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
例33．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值.

【解析】当直线斜率存在且不为0时，设方程为：，联立
，
设,则，
由弦长公式可得；
因为,故，进而可得
所以四边形的面积为
,
因为，即，
，当且仅当时，等号成立，
当直线斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为
∴四边形面积的最小值为.
例34．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为.因为，所以，
当为上顶点或下顶点时，的面积最大，
因为的最大面积为，所以，即，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）设，联立消去得，
解得，
所以，所以两点的坐标分别为，
所以.
因为，设四边形的面积为，
所以.
设直线的方程为.
联立消去得，
所以，
即，
，
所以
，
所以当时，，
此时.
所以四边形面积的最大值为.
例35．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
【解析】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
动圆与圆内切，且与圆外切，

动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中
从而轨迹的方程为：
（2）（i）设直线的方程为，则
由可得：

直线的方程为，
令可得点的横坐标为：


为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：

.
，
则
，
四边形面积
（法一）
等号当且仅当时取，即时，
（法二）令，
则
当，即时，
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
例36．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．
【解析】（1）设，，联立直线与椭圆方程得，
消去y得，又，是这个方程的两个实根，
所以 ，由弦长公式得
，
所以当时，取到最大值，即，解得．
所以椭圆C的方程为．
（2）设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消去y得，
所以，且，
记点，到直线的距离分别为，，又，且，
所以
，
所以，
因为，所以，整理得，所以满足条件，
综上所述直线的方程为，即为．
例37．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
【解析】（1）依题意，又，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，
且，所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，
则，所以，
所以，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以

所以，
整理得，
又，
又原点到的距离，
所以，
将代入得，
所以，
综上可得，四边形的面积为定值.
例38．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4．
(1)求C的方程．
(2)直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设C的内接正方形的一个端点坐标为，
则，解得，
则C的内接正方形的面积为，
即．又，所以，
代入，解得，故C的方程为．
（2）存在梯形，其面积的最大值为．
理由如下：设直线，．
因为直线l经过点，所以，
所以点到直线l的距离为，
点到直线l的距离为，
所以梯形的面积（为直线l的倾斜角），
所以，
当且仅当时，等号成立，
此时，直线，直线，
联立这两条直线的方程，解得，
因为，
所以点在C的内部.
同理可证：也在C的内部.
故在C内存在梯形，其面积的最大值为．
例39．（2022·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切．
(1)求的方程；
(2)过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．
【解析】(1)因为，，，
所以①
因为，所以②
由①得：，解得：，代入②式中，
解得：，
所以的方程为：，的方程为：
(2)，因为直线不垂直于y轴
所以设方程为：
联立 得：
设，，
则，，，
则，
因为点M在直线上，所以，

直线：
联立得：
解得：，显然，故
当时，，
当时，
则，
，点直线距离分别是：
，
因为，点直线两侧，故
显然，所以
所以
则
则四边形面积
当时，四边形面积取得最小值，此时
此时方程为：，符合题意，故四边形面积的最小值为1
例40．（2022·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左､右焦点，长轴长为，分别为椭圆的上、下顶点，且四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的离心率为，过点的直线与曲线交于两点，设的中点为M，两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围.
【解析】（1）由，得，又，则
由，可得或
则椭圆的方程为或.
（2）由椭圆的离心率，则椭圆的方程为
当直线AB斜率存在时，设直线，
代入，整理得
则，
则直线
代入，整理得，
取，则





，则，则，即
当直线AB斜率不存在时，AB的方程为，
此时，，
，
综上，四边形面积的取值范围为.
例41．（2022·湖南·高考真题（理））如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.
(1)求的方程;
(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.

【解析】(1)由题可得,且,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.
(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,,则,因为在直线上,所以,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,
则,又因为在直线上,所以,
则四边形面积

,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.
考点：弦长 双曲线 椭圆 最值