【2023高考数学复习强化】专题29 弦长问题及长度和、差、商、积问题（学生版＋教师版）

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专题29 弦长问题及长度和、差、商、积问题
【考点预测】
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
【题型归纳目录】
题型一：弦长问题
题型二：长度和问题
题型三：长度差问题
题型四：长度商问题
题型五：长度积问题
题型六：长度的范围与最值问题
题型七：长度的定值问题
【典例例题】
题型一：弦长问题
例1．（2022·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
【解析】（1）由题意知，为中点，O为的中点，故,
又 ，故，即，
所以 ，
又因为，故，所以 ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）由直线经过且斜率为可知直线方程为，即，
联立，消去y可得 ，解得 ，
则两点不妨取为，
故.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
例3．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
【答案】
【解析】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，
∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，，
∴，因此，．
故答案为:．
例4．（2022·北京·高三开学考试）已知椭圆C：（其中）的离心率为，左右焦点分别为，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A，B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D.若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度.
【解析】（1）由题设，得.                                                
又，所以.                                      
所以 ，                                              
所以椭圆的方程为，
（2）设，.      
由题意可知直线有斜率且不为0，故设直线的方程为，                                     
所以直线的方程为 ，                                    
所以  得                                 
所以                                                  
因为点恰好是与的中点，
所以，                           
因为点在椭圆上，所以                     
解得，                                                    
当时，由，得                         
所以，所以               
同理时，
题型二：长度和问题
例5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，又，则，
故椭圆的方程为：；
（2）设､､､，
设直线的方程为，与椭圆的方程联立，
得，
∴，，
∴，
设直线的方程，与抛物线G的方程联立，
得，
∴，，
∴，
∴，
要使为常数，则，解得，
故存在，使得为定值．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值.
【解析】（1）由题意可得解得p=2.
故抛物线E的方程为.
（2）由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，，
设，，，
由消去x得.
所以，.
由AC垂直于l，直线AC的方程为
由消去x得.
所以，.
∴



.
同理可得，
所以，
令，，则，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当x=2时，取得最小值，即当时，最小值为.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值；
(3)求的最小值．
【解析】（1）由，得，
，．①，
由椭圆过点知，②．
联立①②式解得，．
故椭圆的方程是．
（2）为定值．
证明：椭圆的右焦点为，分两种情况．
不妨设当的斜率不存在时，，
则．此时，，；
当直线的斜率存在时，
设，则．
又设点，，，．
联立方程组，
消去并化简得，
，，

，
由题知，直线的斜率为，
同理可得
所以为定值．
（3）由（2）知，

，
当且仅当，即，即，时取等号，
的最小值为．
例8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的是小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：如图，，直线与交于、两点，
直线与交于、两点，由图象知要使最小，
则与，与关于轴对称，即直线的斜率为1，
又直线过点，
则直线的方程为，
联立方程组，则，
，，
，
的最小值为，
方法二：不妨设直线的倾斜角为，，则的倾斜角为，
根据焦点弦长公式可得

，
，
则，
，，
即，，
当时，或时，
或，
当或时，的最小，最小为16.
故选：A．

例9．（2022·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．
【解析】(1)圆O：与x轴的交点为，
即椭圆C的左顶点及右焦点分别为，
故 ，故 ，
所以椭圆C的方程为：；
(2)当直线，中，有一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0时，
弦长分别为 ，此时；
当直线，斜率都存在时，设,
联立，可得，，
，
，
同理，
，
令 ，则 ，
，
因为，所以，
所以的取值范围为.
题型三：长度差问题
例10．如图，已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．参考答案
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点，，，依次排序），且，求直线的方程．

【解析】抛物线，
，
点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且，
，解得，即，
故，
椭圆的焦点为，且过点，
，解得，
故椭圆方程为．
过点的直线的斜率不存在时，则，不符合题意，
故设直线的斜率为，则直线方程为，
联立抛物线方程，化简整理可得，，
设，，，，
则，
故，
联立，化简整理可得，，
设，，，，
则，，
则，
又，
故，即，化简整理可得，，解得，
由题图可得，，即，
故直线的方程为．
例11．已知椭圆的一个焦点为，，且，在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，问：是否存在两定点，，使得为定值？若存在，求出，
的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得，
椭圆的两个焦点为，，，，
因为点，在椭圆上，
所以根据椭圆的定义可得，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，，，，，，，则，，
所以，，
由得：，
消去，，得，
所以点在双曲线上，
因为的两个焦点为，，实轴长为，
所以存在两定点，，使得为定值．
例12．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率大于0且过点的直线与椭圆及抛物线自上而下分别交于，，，，如图所示，若，求．

【解析】（1）易知的坐标为，所以，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，代入，得，
设，，，，则，
因为，，所以．
将代入，得．
设，，，，则，
所以，
故．
题型四：长度商问题
例13．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围．
【解析】(1)由题，
由椭圆定义，的周长为，所以
所以椭圆的方程为.
(2)当轴时，MN与x轴重合，不符合题意，
当直线与轴重合时，，所以；
当直线斜率存在且不为0时，设
，
由韦达定理
所以
同理
所以
综上所述，的取值范围是.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.
【解析】（1）将，代入椭圆方程，
解得，所以椭圆的方程为，
又，所以
（2）设直线方程为，，，
联立可得；
则，且，，
设的中点，则，，
∴坐标为，，
因此直线的方程为，从而点为，又，，
所以，令，
则，
因此当，即时，最大值为3.
所以的最大值为，此时，直线l的方程为.
例15．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
【解析】（1）由题意可得，则．
因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为，
所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立得，则，
设、，则，，
所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
【解析】（1）因为圆C与圆A、圆B外切，
设C点坐标，圆C半径为，
则，，
所以