2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第七章7.9空间距离及立体几何中的探索性问题（Word版附答案）

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1.(13分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
(1)求点N到直线AB的距离；(6分)
(2)求点C1到平面ABN的距离.(7分)
2.(15分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点.
(1)证明：MN∥平面ABCD；(5分)
(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN，若存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由.(10分)
3.(15分)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E，F分别为DC，BC的中点，上、下底面中心的连线O1O垂直于上、下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°.
(1)求证：BD1∥平面C1EF；(7分)
(2)棱BC上是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成的角的正弦值为32222，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由.(8分)
4.(17分)(2024·泉州模拟)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，且∠DAB=60°，E，O分别是上、下底面的中心，F是AB的中点，AB=kAA1.
(1)求证：A1F∥平面EBC；(7分)
(2)是否存在实数k，使得O在平面EBC内的射影恰好为△EBC的重心O1.若存在，求出k；若不存在，请说明理由.(10分)
答案精析
1.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，
B(23，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4)，
∵N是CC1的中点，
∴N(0，4，2).
(1)AN＝(0，4，2)，AB＝(23，2，0)，
则|AN|＝25，
|AB|＝4.
设点N到直线AB的距离为d1，
则d1＝|AN|2-AN·AB|AB|2
＝20-4＝4.
(2)设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥AB，n⊥AN，
得n·AB＝23x+2y＝0,n·AN＝4y+2z＝0,
令z＝2，则y＝－1，x＝33，
即n＝33，-1，2.
易知C1N＝(0，0，－2)，
设点C1到平面ABN的距离为d2，
则d2＝|C1N·n||n|＝4433＝3.
2.(1)证明 连接BD，
因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
所以MD∥NB，又因为MD＝NB＝1，所以四边形MDBN为平行四边形，
所以MN∥BD，又BD⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD.
(2)解 由题意知，DM，DC，DA两两垂直，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，
M(0，0，1)，
N(1，1，1)，E12，1，0，
假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，连接AE，设AS＝λAN，λ∈[0，1]，
因为AN＝(0，1，1)，AM＝(－1，0，1)，
EA＝12，-1，0，
所以AS＝λAN＝(0，λ，λ)，
则ES＝EA+AS＝12，λ-1，λ，
由ES⊥平面AMN可得，
ES·AM＝0,ES·AN＝0,
即-12+λ＝0,λ-1+λ＝0,
解得λ＝12，
此时AS＝0，12，12，|AS|＝22，
故在线段AN上存在点S，
当AS＝22时，ES⊥平面AMN.
3.(1)证明 因为O1O⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，DA，OF，OO1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在的直线与上、下底面中心的连线O1O所成的角为45°，则B(2，2，0)，D1(－1，－1，2)，
C1(－1，1，2)，
F(0，2，0)，E(－2，0，0)，A1(1，－1，2)，所以BD1＝(－3，－3，2)，C1E＝(－1，－1，－2)，
EF＝(2，2，0)，
设平面C1EF的法向量为
n＝(x，y，z)，
则n·EF＝2x+2y＝0,n·C1E＝-x-y-2z＝0,
令x＝1，则n＝(1，－1，0)，
因为BD1＝(－3，－3，2)，
所以n·BD1＝0，所以n⊥BD1，
又因为BD1⊄平面C1EF，
所以BD1∥平面C1EF.
(2)解 假设棱BC上存在点M(x，2，0)满足条件，其中x∈[－2，2]，则A1M＝(x－1，3，－2)，
设直线A1M与平面C1EF所成的角为θ，
由题意可得sin θ＝|cs〈A1M，n〉|＝|A1M·n||A1M||n|
＝x-4|x2-2x+12·2＝32222，
化简得x2－35x+34＝0，
则x＝1或x＝34(舍去)，
即存在点M符合题意，此时BM＝1.
4.(1)证明 分别取A1B1，C1D1的中点N，M，
连接MN，MC，NB，
则在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，MN∥B1C1∥BC，且E是MN的中点，
所以平面EBC即为截面BCMN，
又F是AB的中点，则BF与A1N平行且相等，
从而四边形A1FBN是平行四边形，
所以A1F∥BN，
又A1F⊄平面BCMN，
BN⊂平面BCMN，
所以A1F∥平面BCMN，
即A1F∥平面EBC.
(2)解 不存在，理由如下：
连接AC，BD，因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD，△BCD都是等边三角形，AC⊥BD，
易知AC∩BD＝O，
由已知得OE⊥平面ABCD，
分别以OB，OC，OE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
设AA1＝2，则AB＝2k，OB＝k，OC＝3k，
OE＝AA1＝2，因此有E(0，0，2)，
B(k，0，0)，C(0，3k，0)，
BC＝(－k，3k，0)，
BE＝(－k，0，2)，
则△EBC的重心为
O1k3，3k3，23，
OO1＝k3，3k3，23，
若OO1⊥平面EBC，
则OO1·BC＝-k23+k2＝0,OO1·BE＝-k23+43＝0,无解.
因此不存在实数k，使得O在平面EBC内的射影恰好为△EBC的重心O1.