(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第11讲《立体几何中的探索性问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第11讲 立体几何中的探索性问题
高考预测一：动态问题
1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（Ⅰ）若点是棱的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：若二面角为，试求的值．

【解析】解：（Ⅰ）证明：连接，交于，连接．
且，即．
四边形为平行四边形，且为中点，
又点是棱的中点，．
平面，平面，
平面 （4分）
（Ⅱ），为的中点，．
平面平面，且平面平面，
平面．
，，为的中点，四边形为平行四边形，．
即．（6分）
如图，以为原点建立空间直角坐标系． 则平面的法向量为；，0，，，，．
则，．
设，
在平面中，，，（8分）
平面法向量为（10分）
二面角为，，
（舍
（12分）

2．如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的正弦值为，求线段的长．

【解析】解：（Ⅰ）证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，
设，，则，2，，
，2，，，1，，，0，，
平面的法向量，0，，
，且平面，
平面．
（Ⅱ）解：，1，，，0，，，，，
设，，为平面的法向量，
则，令，得，2，，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
（Ⅲ）解：设平面的法向量，，，
则，取，得，2，，
设平面法向量，，，
则，取，得，1，，
二面角的正弦值为，
，
解得．
二面角的正弦值为时线段的长为．

3．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）设是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求二面角的余弦值．

【解析】解：（1），由于平面，从而即为三棱锥的高，
故．
设点到平面的距离为．
由平面得，
又由于，故平面，所以．
由于，
所以．故
因为，所以点到平面的距离．
（2）以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为，0，，，1，，，2，，，0，．
设，
因为，0，，所以，0，，
由，，，得，，，
又，，，
从而，．
设，，，
则，．
当且仅当，即时，，的最大值为．
在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以．
，，，，1，设平面的一个法向量为，，，
则，，即，得：，令，则．
，0，是平面的一个法向量．
又，，，，，，1，
设平面的一个法向量为，，，
则，，即，取，则，，
，4，是平面的一个法向量．
从而，，
又由于二面角为钝角，二面角的余弦值为．

高考预测二：翻折问题
4．如图，是等边三角形，，，将沿折叠到△的位置，使得．
（1）求证：；
（2）若，分别是，的中点，求二面角的余弦值．

【解析】（1）证明：因为，所以，
又因为，且，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）因为是等边三角形，
，，
不防设，则，
又因为，分别为，的中点，
由此以为原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．
则有，0，，，0，，，1，，，0，，，．
所以，．
设平面的法向量为．
则，
即，
令，则．
所以．
又平面的一个法向量为．
所以．
所以二面角的余弦值为．

5．图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．

（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的二面角的大小．
【解析】证明：（1）由已知得，，，
，确定一个平面，
，，，四点共面，
由已知得，，面，
平面，平面平面．
解：（2）作，垂足为，
平面，平面平面，
平面，
由已知，菱形的边长为2，，
，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，
则，1，，，0，，，0， ，
，0，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，6，，
又平面的法向量为，1，，
，
二面角的大小为．

6．正方形的边长为2，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【解析】解：（1）由已知可得，平面平面，平面，，
平面平面，
所以平面，，又，所以，
又，且，所以平面．
（2）作，垂足为．由（1）得，平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）可得，．又，，所以．故．
可得，．
则，0，，，，，，，，
由（1）知：为平面的法向量，，
设平面的法向量为，
则：，即，
所以，令，则，，
，
则，
所以二面角的余弦值为．

7．如图，在中，，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至，使平面平面．
（1）当棱锥的体积最大时，求的长；
（2）若点为的中点，为的中点，求证：平面．

【解析】解：（1）令，则．，
因为，且平面平面，
故平面，
所以，
令，由得，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
所以，当时，取得最大值，
即：体积最大时，．
（2）设为的中点，连接，，则有，，，，
所以，又，所以．
故，
又因为点为的中点，，可得为中点，，又为的中点，可得：，
所以：，
由于，可得平面．

8．如图（1），在中，，，，、分别是、上的点，且，将沿折起到△的位置，使，如图（2）．

（1）求证：平面
（2）当点在何处时，三棱锥体积最大，并求出最大值；
（3）当三棱锥体积最大时，求与平面所成角的大小．
【解析】证明：（1）在中，，，
，可得．
又，，面．
面，．
，，面．
解：（2）设，则．
由（1），又，，
面．
．
因此当时，即为中点时，三棱锥体积最大，最大值为．
解：（3）如图，连接，
，，，即．
因此与平面所成角．

与平面所成角的大小为．

9．如图（1），在中，，，，，分别是，上的点，且，．将沿折起到△的位置，使，如图（2）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面平面．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【解析】证明：因为，分别为，上的点，且，
又因为平面，
所以平面（3分）
证明：因为，，
所以，，
由题意可知，，（4分）
又，
所以平面，（5分）
所以平面，（6分）
所以，（7分）
又，且，
所以平面，（8分）
又平面，
所以（9分）
解：线段上存在点，使平面平面．
理由如下：
因为，
所以，在△中，过点作于，
由可知，平面，又平面
所以，
又，
所以平面，（12分）
因为平面，
所以平面平面，
故线段上存在点，使平面平面（13分）
如图（1），因为，
所以，，即，
所以，，．
所以，如图（2），在△中，，
所以，，
在中，（14分）
10．如图1，，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示）．记，为三棱锥的体积．

（1）求的表达式；
（2）设函数，当为何值时，取得最小值，并求出该最小值；
（3）当取得最小值时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．
【解析】解：（1）设，则
，，
折起前，折起后，，
平面
；
（2），
时，取得最小值4；
（3）以为原点，建立如图直角坐标系，由（2）知，，
，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，，1，，且，1，
设，，，则，，
，
即，1，，，，，
，，
当时，
设平面的一个法向量为，，，
，，
得，取，2，
设与平面所成角为，则，，
，

与平面所成角的大小为．

高考预测三：存在性问题
11．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，是否存在实数使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【解析】（1）证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，，
又，且，
平面．
（2）解：取中点为，连接，，
，，
又，．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，0，，，1，，，，，，0，，
则，1，，，，，，0，，，，，
设，，为平面的法向量，
则，取，得，，，
设与平面的夹角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
（3）解：设，假设存在实数使得平面，，，，
由（2）知，，1，，，0，，，，，，1，，，，，
由，可得，，，
，，，
平面，，，为平面的法向量，
，解得．
综上，存在实数，使得平面．

12．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，确定点的位置；如果不存在，说明理由．

【解析】（Ⅰ）证明：取中点，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
（Ⅱ）解：以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，0，，，4，，，4，，
，4，，，0，，，4，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，1，，
，，
直线与平面所成角的正弦值为，．
（Ⅲ）解：设，0，，则，0，，，4，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，，
故，令，解得，
当为的中点时，二面角的大小为．

13．如图，四棱锥层中，平面，，，．且，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平面上平面？如果存在点，请指出点的位置；如果不存在，请说明理由．

【解析】解：（1），
又，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面．（4分）
（2）如图建立空间直角坐标系，则有：，0，，，，，，，，，0，，
，，，，0，，，，，
设平面的法向量，，
设直线与平面所成的角为，得：
，，
即直线与平面所成的角的正弦值为（8分）
（3）设，，，得，，，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，，，（10分）
因为平面的法向量，
且平面平面，
所以，
所以，
故在线段上存在一点（靠近点处的三等分点处），
使得平面平面．（12分）

14．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说明理由．

【解析】（1）证明：连接交于点，
，
又平面侧面，且平面侧面，
平面，又平面，
．
三棱柱是直三棱柱，底面，
．
又，平面，平面，
平面，又侧面，
．
（2）由（1）得平面，
直线与平面所成的角，
即，又，，．
假设在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为
以点为原点，以、，所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，2，，，0，，，2，，，0，，，0，．
，，，，，，，，，，0，．
假设上存在点使得二面角的大小为，且，，，
，，，
设平面的法向量为，则，，
，令得，0，，
由（1）知平面，，，为平面的一个法向量．
，，
，解得
点为线段中点时，二面角的大小为．

15．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．
（Ⅰ）求证：．
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解析】（Ⅰ）证明：因为在中，，分别为，的中点，
所以，．
所以，又为的中点，所以．
因为平面平面，
平面平面，且平面，
所以平面，
所以．
（Ⅱ）解：取的中点，连接，所以．
由（Ⅰ）得，．
如图建立空间直角坐标系．
由题意得，，0，，，，，，2，，，，．
所以，，．

设平面的法向量为．
则
即
令，则，，所以．
设直线和平面所成的角为，
则．
故所求角的正弦值为．
（Ⅲ）解：线段上存在点适合题意．
设，其中，．
设，，，则有，，，，，
所以，，，从而，，，
所以，又，
所以，
令，
整理得．解得．
所以线段上存在点适合题意，且．
高考预测四：开放性问题
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）应是平面与直线交于点在平面内，求的值．

【解析】解：（1）证明：平面，，
，，平面．
（2）解：平面，，，
，，为的中点，点在上，且．
过作，交于，
以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，2，，，2，，，0，，
，，1，，，0，，，，，
，1，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设，，，，，
则，，，，，，解得，，，
，，，
平面与直线交于点在平面内，
，
解得，故的值为．

17．如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点为上靠近的三等分点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．

【解析】解：（1）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，、分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，，，，
，，

设平面的法向量，则，
取，则，，．
不妨取平面的法向量，
，．
由图可知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为．
（2）直线在平面内，理由如下：
点在上，且，，
，
由（1）知，平面的法向量，
，
直线在平面内．
18．如图，在棱长为2的正方体中，点、、分别为，，的中点，点是正方形的中心．
（1）证明：平面；
（2）若平面和平面的交线为，求二面角．

【解析】解：（1）证明：连接，，

点，，分别为，，的中点，，
又平面，平面，平面，
同理，平面，
又，平面，平面，
平面平面，
点是正方形的中心，
平面，
平面；
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，1，，，0，，
故，设平面的法向量为，
由，可得，令，则，
取平面的法向量为，则，
二面角的大小为．