素养拓展27 立体几何中的折叠和探索性问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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一、知识点梳理
1.折叠问题
解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。
一般步骤：
①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；
②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；
③利用判定定理或性质定理进行证明。
2.探索性问题
探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的。
二、题型精讲精练
【典例1】如图所示的五边形中是矩形，，，沿折叠成四棱锥，点是的中点，．
(1)在四棱锥中，可以满足条件①；②；③，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面底面；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）
(2)在（1）的条件下求直线与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理得到，进而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得证；
选条件①③，利用正弦定理得到，进而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得证；
选条件②③，利用余弦定理和勾股定理得到，进而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
【详解】（1）证明：（1）方案一：选条件①②．
因为在四棱锥中，点是的中点，，所以，
又因为在中，，所以，
又因为是矩形，，所以，，
由可得，所以，
则由，，，平面，所以平面，又因为侧面，所以侧面底面；
方案二：选条件①③．
因为在四棱锥中，点是的中点，，所以，
又因为在中，，
所以由正弦定理得：，即，所以，即，所以，
则由，，，平面，所以平面，又因为侧面，所以侧面底面；
方案三：选条件②③．
因为在四棱锥中，点是的中点，，所以，
又因为在中，，所以，
又因为是矩形，，所以，
又因为在中，，则，
设，，
所以有，解得或（舍，所以，
由可得，所以，
则由，，，平面，所以平面，又因为侧面，所以侧面底面；
（2）在（1）条件下知平面，且，
故如图所示：以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，则，
，
设直线与平面所成角为，则，
直线与平面所成角的正弦值为.
【典例2】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，．
(1)求四棱锥的体积；
(2)在线段PB上是否存在点M，使得平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)先证明平面ABCD,则 PG为四棱锥的高,再应用体积公式 ；
(2)先过点C作交AB于点N，过点N作交PB于点M,再证平面平面CMN，最后得出比值成立即可.
【详解】（1）取AD的中点G，连接PG，GB，如图所示．
在中，，G是AD的中点，所以．
又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABCD，即PG为四棱锥的高．
又平面ABCD，所以．
在中，由余弦定理得
，故．
在中，，，，所以．
所以．
（2）过点C作交AB于点N，则，
过点N作交PB于点M，连接CM，则．
又因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
又，，平面CNM，所以平面平面CMN．
又平面CMN，所以平面PAD．
所以在PB上存在点M，使得平面PAD，且．
【题型训练-刷模拟】
1.折叠问题
一、解答题
1．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2.
（1）证明：；
（2）若为棱的中点，求点到平面的距离.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，是等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向一方折叠到的位置，使D点在平面内的射影在上，再将向另一方折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.
（1）若点F为的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图是矩形和以边为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿折叠，使平面垂直于半圆所在的平面，若点是折后图形中半圆上异于，的点
（1）证明：；
（2）若，且异面直线和所成的角为，求三棱锥的体积．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将、分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．
(1)求证：；
(2)在线段MD上是否存在一点F，使平面PQF，如果存在，求的值，如果不存在，说明理由．
5．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为．
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥的体积．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示.
(1)求的长度；
(2)求二面角的大小.
7．（2023·新疆阿克苏·校考一模）如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱．
(1)若点在棱上，且，证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
8．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图甲所示的正方形中，对角线分别交于点，将正方形沿折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱
(1)若点在棱上，且，证明：∥平面；
(2)求二面角的余弦值.
9．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.

(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；
(2)求点C到平面BED的距离.
10．（2023·广东深圳·校考二模）如图1所示，等边的边长为，是边上的高，，分别是，边的中点．现将沿折叠，如图2所示.

(1)证明：；
(2)折叠后若，求二面角的余弦值.
11．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．

(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
12．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知矩形ABCD中，，，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．

(1)求证：MN⊥平面；
(2)求此多面体体积V的最大值．
13．（2023·全国·高三专题练习）如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）

(1)求点到面的距离；
(2)求四棱锥外接球的体积；
(3)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置．
14．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．
(1)在三棱柱中，求证：平面；
(2)试判断直线是否与平面平行，并说明理由．
2.探索性问题
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台的体积为，其中.

(1)求侧棱与底面所成的角；
(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在五棱锥中，，，.

(1)证明：；
(2)若平面平面，平面平面，探索：是否为定值？若为定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由.
3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．

(1)证明：平面ABCD；
(2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，，为等边三角形．

(1)求证：平面平面；
(2)是否存在一点，满足，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
5．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
6．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．

(1)证明:平面．
(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）如图，在等腰梯形中，，四边形为矩形，且平面，.

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为，且满足.若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
9．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，，．

(1)证明：平面平面；
(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
10．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，为等边三角形，且，，O为的中点．
(1)若E为线段上动点，证明：；
(2)G为线段PD上一点，是否存在实数，当使得二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
11．（2023秋·福建三明·高三统考期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，等腰梯形中，，，，E为中点，与交于点O，将沿折起，使点D到达点P的位置（平面）.

(1)证明：平面平面；
(2)若，试判断线段上是否存在一点Q（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积，若不存在，说明理由.