2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点06利用导数证明不等式(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点06利用导数证明不等式(学生版+解析)，共4页。

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\l "_Tc7684" 【题型1 直接法证明不等式】 PAGEREF _Tc7684 \h 2
\l "_Tc5946" 【题型2 移项构造函数证明不等式】 PAGEREF _Tc5946 \h 3
\l "_Tc11479" 【题型3 分拆函数法证明不等式】 PAGEREF _Tc11479 \h 4
\l "_Tc30005" 【题型4 分析法证明不等式】 PAGEREF _Tc30005 \h 5
\l "_Tc6573" 【题型5 放缩法证明不等式】 PAGEREF _Tc6573 \h 7
\l "_Tc10238" 【题型6 指对同构】 PAGEREF _Tc10238 \h 8
\l "_Tc27791" 【题型7 隐零点法证明不等式】 PAGEREF _Tc27791 \h 9
\l "_Tc26684" 【题型8 双变量不等式的证明】 PAGEREF _Tc26684 \h 10
\l "_Tc4422" 【题型9 函数与数列不等式综合证明问题】 PAGEREF _Tc4422 \h 11
\l "_Tc6505" 【题型10 导数新定义的不等式证明问题】 PAGEREF _Tc6505 \h 12
1、利用导数证明不等式
导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，从近几年的高考情况来看，导数中的不等式证明常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果，复习是要加强这方面的训练.
知识点1 导数中的不等式证明的解题策略
1．导数中的不等式证明的解题策略
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
2．移项构造函数证明不等式
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.
3．分拆函数法证明不等式
(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.
(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，与lnx要分离，常构造与lnx，与的积、商形式.便于求导后找到极值点.
4．放缩后构造函数证明不等式
某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式，
等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.
知识点2 指对同构
1．指对同构证明不等式
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.
(1)五个常见变形：.
【题型1 直接法证明不等式】
【例1】（2025·河南·模拟预测）已知函数fx=ex−x2−ax−1a∈R，且fx有两个极值点x1,x2x10时，fx>1−2x1+2x；
(2)若fx的图象与直线y=kx−1切于点a2,fa2，求k的值.
【变式1-3】（2025·山东临沂·三模）已知fx=ex，gx=lnx.
(1)证明：fx>gx+2；
(2)证明：函数fx与gx的图象有两条公切线.
【题型2 移项构造函数证明不等式】
【例2】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数fx=12e2x+a−2ex−2axa∈R．
(1)当a=2时，求fx的单调区间；
(2)当a=0时，求证：对任意的x∈0,+∞，fx+4ex>2x2+52恒成立；
【变式2-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数fx=x22−4x+alnxa∈R有两个极值点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)记两个极值点分别为x1，x2，证明：fx1+fx2+10>lna.
【变式2-2】（2025·江西九江·三模）已知函数f(x)=ax2+(1−2a)x−lnx，其中ag(x)−1.
【变式4-3】（2024·安徽安庆·三模）已知函数fx=lnx2−x+1x+2，记f′x是fx的导函数.
(1)求f′(1)的值；
(2)求函数fx的单调区间；
(3)证明：当x>1时，x−1e−x+xln1+1x>lnx⋅lnx+1.
【题型5 放缩法证明不等式】
【例5】（2025·山东·模拟预测）已知函数fx=emxx2−3m+3mx+2m2+5m+3m2，其中m≠0.
(1)求曲线y=fx在点2,f2处切线的倾斜角；
(2)若函数fx的极小值小于0，求实数m的取值范围；
(3)证明：2ex−2x+1lnx−x>0.
【变式5-1】（2025·四川成都·一模）已知函数fx=xex.
(1)求fx的极值；
(2)若fx≤2kx+k恒成立，求k的取值范围；
(3)证明i=1ni!i+1i+2