2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点05导数中的切线问题全归纳(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点05导数中的切线问题全归纳(学生版+解析)，共4页。

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\l "_Tc24067" 【题型1 求在曲线上一点处的切线方程】 PAGEREF _Tc24067 \h 2
\l "_Tc19332" 【题型2 求过一点的切线方程】 PAGEREF _Tc19332 \h 3
\l "_Tc17924" 【题型3 与切线有关的参数问题】 PAGEREF _Tc17924 \h 3
\l "_Tc20205" 【题型4 利用切线求距离的最值问题】 PAGEREF _Tc20205 \h 4
\l "_Tc18082" 【题型5 切线的条数问题】 PAGEREF _Tc18082 \h 4
\l "_Tc29991" 【题型6 两条切线平行、垂直问题】 PAGEREF _Tc29991 \h 5
\l "_Tc474" 【题型7 公切线问题】 PAGEREF _Tc474 \h 5
\l "_Tc18282" 【题型8 与切线有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc18282 \h 6
1、导数中的切线问题
导数中的切线问题是高考的重点内容，是高考的热点问题，从近几年的高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考察求曲线的切线方程，公切线问题等，试题难度属中低档，导数的切线问题也可能会作为解答题中的条件或一小问进行考查，复习是要加强此方面的训练.
知识点1 曲线的切线方程及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
知识点2 与切线有关的参数问题
1．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线方有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
知识点3 切线的条数问题
1．切线的条数问题的解题思路
(1)已知f(x)，过点(a,b)可作曲线的切线条数问题
第一步：设切点P0(x0,y0)；
第二步：计算切线斜率k=f'(x0)；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0).
第四步：将(a,b)代入切线方程，得：b-y。=f'(x?)(a-x?)，整理成关于x0的方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于x0的方程就有几个实数解.
(2)“过点型”切线条数判断：
①有几个切点横坐标，就有几条切线；
②切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断.
2．切线条数的求参问题
已知切线条数求参数，其实就是转换成切线方程根的个数问题求参数.
知识点4 公切线问题及其解题策略
1．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
2．公切线问题的求解步骤：
(1)设两切点，求出两切点对应的斜率k1、k2，且k1=k2；
(2)根据两条曲线在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组；
(3)解方程组，进行求解，得出结论.
【题型1 "" \t "" \ "求在曲线上一点处的切线方程（斜率）" 求在曲线上一点处的切线方程】
【例1】（2025·福建福州·模拟预测）曲线fx=x3+3x在点−1, f−1处的切线方程为（ ）
A．y+4=0B．2x−y−2=0C．6x−y=0D．6x−y+2=0
【变式1-1】（2025·青海海东·三模）曲线x=ey在点(e,1)处的切线方程为（ ）
A．x−y=0B．x−ey=0C．x−y+1−e=0D．ex−y=0
【变式1-2】（2025·新疆喀什·模拟预测）曲线f(x)=sinxx在点(π,0)处的切线方程为（ ）
A．x+πy−π=0B．x−πy−π=0
C．x−πy+π=0D．πx−y−π=0
【变式1-3】（2025·广东湛江·二模）已知函数f(x)=ex+2x，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=3x+1C．y=2xD．y=3x
【题型2 "" \t "" \ "求过一点的切线方程" 求过一点的切线方程】
【例2】（2025·江西景德镇·一模）过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x−1相切的直线方程是（ ）
A．y=5x+1B．y=2x+1
C．y=x+1D．y=−2x+1
【变式2-1】（2025·新疆·二模）过点1,4且与曲线fx=x3+x+2相切的直线方程为（ ）
A．4x−y=0B．7x−4y+9=0
C．4x−y=0或7x−4y+9=0D．4x−y=0或4x−7y+24=0
【变式2-2】（2025·贵州·二模）已知函数f(x)=(x+a)ex的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为3e．
(1)求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求曲线y=f(x)过原点的切线方程．
【变式2-3】（2025·湖北·模拟预测）已知函数y=f(x)=eax+1,x∈R．
(1)若a=12，求过原点且与y=f(x)相切的切线方程；
(2)若关于x的不等式f(x)>2x+e对所有x∈(0,+∞)成立，求a的取值范围．
【题型3 与切线有关的参数问题】
【例3】（2025·河南·模拟预测）已知曲线fx=x+klnx+k的一条切线的方程为y=x，则实数k=（ ）
A．0B．1C．-1D．e
【变式3-1】（2025·河南许昌·三模）若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切，则b−a的值为（ ）
A．1B．32C．2D．52
【变式3-2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线fx=lnx+x2−axx≥45与倾斜角为45°且横截距为a的直线l相切，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-3】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数fx=a(x−a)2x−2a，若曲线y=fx在点2a,0处的切线方程为y=x+m，则m的值为（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
【题型4 利用切线求距离的最值问题】
【例4】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点P为曲线y=x+9x上的动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值为（ ）
A．32B．6C．922D．9
【变式4-1】（2025·江苏南京·二模）已知y=x−a2+xlnx−a+32a∈R，则y的最小值为（ ）
A．2B．1C．22D．12
【变式4-2】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−4的距离的最小值是（ ）
A．1B．2C．2D．22
【变式4-3】（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数y=ex2的图象与函数y=ln(2x)的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．2ln22B．2ln24C．2(1+ln2)2D．21−ln2
【题型5 切线的条数问题】
【例5】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点2,0可作曲线fx=x3−3x−2的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．0
【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）若过点(1,m)可以作y=(x+1)ex的三条切线，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−4e−2,0)B．(−6e−3,0)C．(−6e−3,2e)D．(e,2e)
【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线y=xsinx相切的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【变式5-3】（2024·内蒙古·三模）若过点a,2可以作曲线y=lnx的两条切线，则a的取值范围为（ ）
A．−∞,e2B．−∞,ln2
C．0,e2D．0,ln2
【题型6 两条切线平行、垂直问题】
【例6】（2025·山东菏泽·一模）曲线y=lnx+1在Ax1,y1，Bx2,y2两点处的切线互相垂直，则1x1+1x2的值为（）
A．−1B．0C．1D．e
【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数fx=x+a2+lnx的图象上存在不同的两点A,B，使得曲线y=fx在点A,B处的切线都与直线x+2y=0垂直，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,1−2B．1−2,0C．−∞,1+2D．0,1+2
【变式6-2】（2025·四川凉山·一模）函数fx=12x2+alnx在区间1,2的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（ ）
A．−2,1B．−2,−1C．−2,0D．−3,−2
【变式6-3】（2025·河北邢台·二模）已知函数fx=x2+2lnx的图像在Ax1,fx1，Bx2,fx2两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．x1+x2=2B．x1+x2=103C．x1x2=2D．x1x2=103
【题型7 公切线问题】
【例7】（2025·河南南阳·三模）已知函数f(x)=2aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数a的最小值为（ ）
A．1eB．12eC．14eD．16e
【变式7-1】（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=lnx，若曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线，则a的取值范围是（ ）
A．(0,12e3)B．(12e3,12e)C．(12e3,+∞)D．(12e,+∞)
【变式7-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设a≠0，若曲线fx=alnx−1在点2,f2处的切线也是曲线gx=eax−2的切线，则a= ．
【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）若函数fx=ex−1与gx=−12x2+2x+a的图象有两条公切线，则实数a的取值范围是 .
【题型8 与切线有关的新定义问题】
【例8】（2025·湖北黄冈·三模）在平面直角坐标系中，当Px，y不是原点时，定义P的“伴随点”为P∗xx2+y2,yx2+y2；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身.平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C∗定义为曲线C的“伴随曲线”.则曲线C：y=xex−1+1,x>0116x2+1,x≤0（其中e是自然对数的底数）的伴随曲线长为（ ）
A．1.5B．π2C．2D．π3
【变式8-1】（24-25高二下·辽宁·期中）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义xkk∈N是函数零点近似解的初始值，过点Pkxk,fxk的切线为y=f′xkx−xk+fxk，切线与x轴交点的横坐标xk+1，即为函数零点近似解的下一个初始值以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数fx=x2−2，满足x0=2，应用上述方法，则x2=（ ）
A．32B．75C．1712D．577408
【变式8-2】（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C:y=fx上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K=ΔθΔs为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K=limΔs→0ΔθΔs=y''1+y'232（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率.（其中y′，y″分别表示y=fx在点A处的一阶､二阶导数）
(1)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点3,y处的曲率是多少？
(2)若函数gx=12x+1−12，不等式gex+e−x2≤g2−csωx对于x∈R恒成立，求ω的取值范围；
(3)若动点A的切线沿曲线fx=2x2−8运动至点Bxn,fxn处的切线，点B的切线与x轴的交点为xn+1,0n∈N*.若x1=4，bn=xn−2，Tn是数列bn的前n项和，证明Tn0,求曲线y=gx的“双重切线”的方程；
(3)已知函数hx=sinx，直线PQ为曲线y=hx的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为k1，k2，…，kn，若k1>k2>ki（i=3,4,5,⋅⋅⋅,n），证明：k1k20)，若函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 .
13．（2025·辽宁·二模）若曲线f(x)=x与曲线g(x)=a+lnx存在公切线，则a的取值范围是 ．
14．（2025·河南·模拟预测）已知对于∀a0．
(1)当a=1时，写出曲线y=fx的两条相互垂直的切线方程，并说明理由．
(2)设gx=12x2+x−a，当x>0时，fxgx+2；
(2)证明：函数fx与gx的图象有两条公切线.