2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区三校联考八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区三校联考八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列调查中，最适宜采用抽样方式的是( )
A. 订购校服，了解学生的尺寸B. 调查你班学生对“苏超”的知晓率
C. 调查“歼20”战机各零部件的质量D. 调查我市中学生每天体育锻炼的时间
2.在正常条件下，“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是( )
A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 无法确定
3.菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是( )
A. 邻边相等B. 对角相等C. 对边平行D. 对角线相等
4.体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计(每人只能参加一个兴趣小组)，并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是( )
A. 一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多
B. 二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的35%
C. 一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多
D. 二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多
5.如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，图中平行四边形的个数是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC=∠PAB，则PC的最小值是( )
A. 2− 3
B. 52−4
C. 6
D. 6− 3
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.八年级10个班开展“学雷锋做好人好事”活动，为了清楚表明四月份各班做好人好事的件数，最好选用 统计图.
8.一个样本数据中，最大值是93，最小值是33，若组距为9，则至少应分 组才能包含所有数据.
9.为了解某市90000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为 .
10.在一个样本中，将100个数据分成4组，其中第一组的频数是20，第三组与第四组的频率之和是0.57，那么第二组的频数是 .
11.在▱ABCD中，∠A+∠C=160∘，则∠B= ∘.
12.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在AD上，直线EO交BC于点F.若AE=3，BF=5，AC+BD=20，则△BOC的周长为 .
13.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点C的坐标为(4,3)，则点B的坐标为 .
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BDC=60∘，BD=2，则矩形ABCD的面积为 .
15.如图，E、F为正方形ABCD内两点，且∠AEB=∠DFC=90∘，连接EF，若BC= 13，AE=3，DF=2，则EF的长为 .
16.正方形ABCD边长为10，点E在CD上，DE=4，将△ADE沿AE折叠得△AFE，连接BF并延长交CD于点G，则EG= .
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题3分)
计算：(−1)2026+3−8+|1− 2|.
18.(本小题6分)
2026年春假期间，某校初二年级组织“水韵江苏⋅春游研学”活动.为了解同学们最想去的景点，数学兴趣小组在全校随机抽取部分学生进行问卷调查，每人仅选其中一项.选项如下：A：南京中山陵，B：苏州园林，C：扬州瘦西湖，D：无锡鼋头渚.调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分数据缺失).
请根据图中信息回答下列问题：
(1)此次调查的学生总人数为______人；
(2)补全条形统计图，扇形统计图中C选项对应的圆心角的度数为______ ∘；
(3)若该校八年级学生共有1200人，根据此次调查结果估计该校八年级中选择D选项的学生大约有多少人？
19.(本小题6分)
某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表：
(1)a=______，b=______；
(2)估计这种油菜籽发芽的概率是______(精确到0.1)
(3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？
20.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E在AD上，BD平分∠EBC.若▱ABCD的周长为10，求△AEB的周长.
21.(本小题6分)
如图，四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点.
(1)求证：四边形EFGH是菱形；
(2)当四边形ABCD满足______(添一个条件)时，四边形EFGH为正方形.
22.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6cm，BC=10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒.
(1)AP=______ cm，CQ=______ cm；(分别用含有t的式子表示)
(2)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值.
23.(本小题7分)
如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F.
(1)求证：ED=EF；
(2)若AD=4，F是AB边的中点，则EF的长为______.
24.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接EO，过点E，O作BC的垂线，垂足分别为F，G.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AC=6，BD=8，求四边形OEFG的面积.
25.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E为AD的中点.仅用无刻度直尺在给定图形中画图.
(1)在图1中，画BC的中点M；
(2)在图2中，点P为AB边上一点，在CD上找点N，使得CN=BP.
26.(本小题10分)
课本再现
如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A1B1C1D1的顶点D1与点O重合，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF.
问题发现
(1)①求证：△AOE≌△BOF；
②猜想：AE，CF，EF之间的数量关系是______；
类比迁移
(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明；
拓展应用
(3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=5cm，BC=12cm，点D是边AB的中点，∠EDF=90∘，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=4cm时，请直接写出线段CF的长度.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.订购校服，了解学生的尺寸，适宜采用全面调查方式；
B.调查你班学生对“苏超”的知晓率，适宜采用全面调查方式；
C.调查“歼20”战机各零部件的质量，适宜采用全面调查方式；D.调查我市中学生每天体育锻炼的时间，适宜采用抽样调查方式；
故选：D.
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2.【答案】A
【解析】解：在正常条件下，“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是必然事件，
故选：A.
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】A
【解析】解：对于选项A，
∵菱形的四条边都相等，
∴菱形的邻边相等，
∵矩形的对边相等，邻边不相等，
∴邻边相等是菱形一定具有而矩形不一定具有的性质，
故选项A符合题意；
对于选项B，
∵菱形的对角相等，矩形的四个角都相等，且为直角，
∴对角相等是菱形和矩形都一定具有的性质，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
∵菱形的四条边都相等，对边平行
∴菱形的两组对边互相平行且相等，
又∵矩形的两组对边互相平行且相等，
∴对边平行且相等是菱形和矩形都一定具有的性质，
故选项C不符合题意；
对于选项D，
∵矩形的对角线相等，
∴矩形一定具有的性质，
故选项D不符合题意．
故选：A.
根据矩形的性质和菱形的性质即可得到结论．
此题主要考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.因为两个班总人数不知道，所以一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数不一定相等，故不符合题意；
B.二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的1−(40%+30%)=30%，故不符合题意；
C.因为两个班的总人数不知道，所以一班参加羽毛球兴趣小组的人数与二班参加羽毛球兴趣小组的人数无法比较大小，故不符合题意；
D.二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数占总人数的百分比均为30%，所以二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多，故符合题意；
故选：D.
根据扇形统计图中各项目人数占总人数的百分比的意义求解即可．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
5.【答案】C
【解析】解：在本题的图形中，任意两个相邻的等边三角形都可以拼成一个平行四边形．
我们可以按照顺时针或逆时针的方向，依次选取相邻的两个三角形进行组合：
第1个三角形和第2个三角形组合，可以拼成第1个平行四边形；
第2个三角形和第3个三角形组合，可以拼成第2个平行四边形；
第3个三角形和第4个三角形组合，可以拼成第3个平行四边形；
第4个三角形和第5个三角形组合，可以拼成第4个平行四边形；
第5个三角形和第6个三角形组合，可以拼成第5个平行四边形；
第6个三角形和第1个三角形组合，可以拼成第6个平行四边形．
图中只有这6个基本三角形，且平行四边形是由两个相邻三角形组成的．
由3个或更多三角形组成的图形(如梯形、五边形、六边形)都不是平行四边形．
因此，图中平行四边形的总数就是由相邻三角形对组成的数量．
综上所述，图中共有6个平行四边形．
故选：C.
观察题目中的图形，正六边形被分割成了6个全等的等边三角形．这6个等边三角形围绕正六边形的中心点排列，每个三角形都有一个顶点在中心；寻找平行四边形的构成根据平行四边形的性质，两个全等的等边三角形如果共用一条边，并且这两个三角形关于这条边的中点中心对称，那么它们就可以拼成一个平行四边形．
本题考查平面图形的计数，重难点在于要有序地观察和组合，避免遗漏或重复，解题的关键是识别出基本图形(等边三角形)以及由基本图形组合而成的平行四边形．
6.【答案】B
【解析】解：设AB的中点为O，连接OP，OC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠PBA+∠PBC=90∘，
∵∠PBC=∠PAB，
∴∠PBA+∠PAB=90∘，
在△PAB中，∠APB=180∘−(∠PBA+∠PAB)=90∘，
∴△PAB是直角三角形，
∵点O是AB的中点，
∴OP是Rt△PAB斜边AB的中线，
∴OP=OA=OB=12AB=4，
在Rt△OBC中，BC=6，
由勾股定理得：OC= OB2+BC2= 42+62= 52，根据“两点之间线段最短”得：PC+OP≥OC，
∴PC≥OC−OP= 52−4，
∴当点O，P，C共线时，PC为最小，最小值为 52−4，
故选：B.
设AB的中点为O，连接OP，OC，证明△PAB是直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得OP=OA=OB=12AB=4，再根据由勾股定理求出OC=2 13，然后根据“两点之间线段最短”得PC+OP≥OC，则PC≥OC−OP=2 13−4，据此即可得出PC的最小值．
此题主要考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解矩形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键．
7.【答案】条形
【解析】解：八年级10个班开展“学雷锋做好人好事”活动，为了清楚表明四月份各班做好人好事的件数，最好选用条形统计图．
故答案为：条形．
根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点，分析得结论．
本题考查了根据统计图的特点，选择统计图．掌握各统计图的特点是解决本题的关键．各统计图的特点：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
8.【答案】7
【解析】解：计算最大值与最小值的差得到范围再除以组距结果向上取整得到最少组数可知：
样本数据的范围为93−33=60，组距为9，
则组数为609≈6.667，向上取整为7，
故至少应分7组才能包含所有数据．
故答案为：7.
计算最大值与最小值的差得到范围，再除以组距，结果向上取整得到最少组数．
本题考查了求组数．熟练掌握该知识点是关键．
9.【答案】2000
【解析】解：∵本次调查中抽查的样本是2000名学生的体重，
∴样本容量为2000.
故答案为：2000.
抽查的2000名学生的体重是样本，样本容量是2000.
本题考查总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】23
【解析】解：∵第三组与第四组的频率之和是0.57，
∴第三组与第四组的频数之和=100×0.57=57，
∵第一组的频数是20，
∴第二组的频数=100−20−57=23，
故答案为：23.
根据频数=总次数×频率进行计算，即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频数=总次数×频率是解题的关键．
11.【答案】100
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∴∠A+∠B=180∘，
∵∠A+∠C=160∘，
∴∠A=80∘，
∴∠B=100∘.
故答案为：100.
根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠A+∠B=180∘，再由∠A+∠C=160∘，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
12.【答案】18
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF=3，
∴BC=BF+CF=5+3=8，
∵AO=CO，BO=DO，AC+BD=20，
∴BO+CO=12(AC+BD)=10，
∴△BOC的周长=BO+CO+BC=18，
故答案为：18.
由平行四边形的性质推出AD//BC，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，结合平行线的性质利用ASA证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，进而可知BC=BF+CF，求得BC，即可求得△AOD的周长．
本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，证明是△AOE≌△COF解题的关键．
13.【答案】(4,8)
【解析】解：如图，过B作BD⊥y轴于点D，延长BC交x轴于E，
设菱形边长为x，
∵C(4,3)，
∴OE=BD=4，CE=3，
∵OE2+CE2=OC2，
即42+32=x2，
∴x=5(负值已舍)，
∴BC=x=5，
∴BE=BC+CE=8，
∴B(4,8)，
故答案为：(4,8).
过B作BD⊥y轴，延长BC交x轴于E，设菱形边长为x，在Rt△AOCE，根据勾股定理求出x=5，据此即可得解．
本题主要考查菱形的性质，勾股定理，设边长，根据勾股定理构建方程是解题的关键．
14.【答案】 3
【解析】解：∵BD=2，四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90∘，OD=OC=12BD=1，
∵∠BDC=60∘，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OD=1，
∴BC= BD2−CD2= 22−12= 3，
∴矩形ABCD的面积=BC⋅CD=1× 3= 3.
故答案为： 3.
根据矩形的性质，可得OD=OC=12BD=1，∠BCD=90∘，可证明△COD是等边三角形，可得CD=OD=1，再由勾股定理可BC= 3，即可求解．
本题考查等边三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15.【答案】 2
【解析】解：如图，延长DF交AE于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90∘，AB=AD=CD= 13，
∴∠CDF+∠ADG=90∘，∠BAE+∠GAD=90∘，
∴BE= AB2−AE2= ( 13)2−32=2，
∴CF= CD2−DF2= ( 13)2−22=3，
∵DF=2，AE=3，
∴BE=DF，AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CDAE=CFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SSS)，
∴∠ABE=∠CDF，∠BAE=∠DCF，
∵∠AEB=90∘，
∴∠ABE+∠BAE=90∘，
∴∠ABE=∠GAD，∠BAE=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
∠BAE=∠ADGAB=AD∠ABE=∠GAD，
∴△ABE≌△ADG(ASA)，
∴∠DGA=∠AEB=90∘，AG=BE=2，DG=AE=3，
∴∠EGF=180∘−∠DGA=90∘，
∴EG=AE−AG=3−2=1，FG=DG−DF=3−2=1，
在Rt△EFG中，EF= EG2+FG2= 12+12= 2.
故答案为： 2.
先根据正方形的性质得到AB=AD=CD= 13，∠BAD=∠ADC=90∘，再利用勾股定理分别求出Rt△AEB中BE的长和Rt△DFC中CF的长，即可得AE=CF，BE=DF，进而证明△ABE≌△CDF(SSS)，得到∠BAE=∠DCF，∠ABE=∠CDF，再结合直角三角形两锐角互余的性质，利用余角性质得∠BAE=∠ADG，∠ABE=∠GAD，即可证明△ABE≌△ADG(ASA)，得到AG、DG的长度和∠DGA=90∘，进而推出∠EGF=90∘，然后计算出EG和FG的长度，最后在Rt△EFG中用勾股定理求出EF的长，从而确定答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
16.【答案】127
【解析】解：延长EF交BC于点H，连接AH交BG于点L，
∵四边形ABCD是边长为10的正方形，
∴AB=BC=AD=CD=10，∠ABH=∠C=∠D=90∘，
由折叠得AF=AD，FE=DE=4，∠AFE=∠D=90∘，
∴AF=AB，∠AFH=90∘，
∴∠AFB=∠ABF，
∴∠HFB=90∘−∠AFB=90∘−∠ABF=∠HBF，
∴HF=HB，
∴点A、点H都在线段BF的垂直平分线上，
∴AH垂直平分BF，
∴∠ALB=90∘，
∴∠BAH=∠CBG=90∘−∠ABG，
∴△BAH≌△CBG(ASA)，
∴FH=BH=CG，
∵CH2+CE2=EH2，且CH=10−BH=10−CG，CE=10−DE=6，EH=4+FH=4+CG，
∴(10−CG)2+62=(4+CG)2，
解得CG=307，
∴EG=CE−CG=6−307=127，
故答案为：127.
延长EF交BC于点H，连接AH交BG于点L，由正方形的性质得AB=BC=AD=CD=10，∠ABH=∠C=∠D=90∘，由折叠得AF=AD，FE=DE=4，∠AFE=∠D=90∘，则AF=AB，∠AFH=90∘，可证明HF=HB，则AH垂直平分BF，再证明△BAH≌△CBG，得FH=BH=CG，由勾股定理得(10−CG)2+62=(4+CG)2，求得CG=307，则EG=CE−CG=127，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】 2−2.
【解析】解：原式=1−2+ 2−1
= 2−2.
先计算乘方、立方根、化简绝对值，再计算实数的加减即可．
本题考查了实数的运算等知识点，熟练掌握运算方法是解此题的关键．
18.【答案】500 补全条形图：；72 估计该校八年级中选择D选项的学生大约有120人
【解析】解：(1)已知选A(南京中山陵)的人数为150人，占比30%，调查总人数：150÷30%=500(人)；
故答案为：500；
(2)总人数500人，B占比40%，人数为：500×40%=200(人)，
补全条形图：；
C选项人数为100人，占比：100500×100%=20%，
圆心角度数：360∘×20%=72∘；
故答案为：72；
(3)D选项人数为50人，占比：50500×100%=10%，
全校八年级共1200人，估计人数：1200×10%=120(人)；
故估计该校八年级中选择D选项的学生大约有120人．
(1)用A选项的人数和占比，直接算出调查总人数为500人；
(2)先算B选项人数补全条形图，再用C选项人数占比求对应圆心角；
(3)先算D选项人数占比，再乘八年级总人数，估计出选择D的人数．
本题考查条形统计图，扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】0.69，0.69；
0.7；
10000×0.7×90%=6300(棵)，
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵
【解析】(1)a=552800=0.69，b=6901000=0.69；
故答案为：0.69，0.69；
(2)这种油菜籽发芽的概率估计值是0.7，
故答案为：0.7；
(3)10000×0.7×90%=6300(棵)，
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵．
(1)用发芽的粒数m÷每批粒数n即可得到发芽的频率mn；
(2)6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将接近0.7；
(3)首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵数即可．
本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】5.
【解析】解：∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠CBD.
又∵AD//BC，
∴∠EDB=∠DBC.
∴∠EBD=∠EDB，
∴△BED为等腰三角形，
∴BE=ED.
∴△AEB的周长=AB+AD=12×10=5.
先证明△BED为等腰三角形，则BE=ED，故此△AEB的周长=AB+AD.
本题主要考查的是平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21.【答案】证明：∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF、FG、GH、EH分别为△ABD、△BCD、△ADC、△ABC的中位线，
∴EF=12AD，FG=12BC，GH=12AD，EH=12BC，
∵AD=BC，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形 AD⊥BC(答案不唯一)
【解析】(1)证明：∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF、FG、GH、EH分别为△ABD、△BCD、△ADC、△ABC的中位线，
∴EF=12AD，FG=12BC，GH=12AD，EH=12BC，
∵AD=BC，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
(2)解：由(1)可知：EF、EH分别为△ABD、△ABC的中位线，
∴EF//AD，EH//BC，
当AD⊥BC时，EF⊥EH，此时，菱形EFGH为正方形，
故答案为：AD⊥BC(答案不唯一).
(1)根据三角形中位线定理得到EF=12AD，FG=12BC，GH=12AD，EH=12BC，根据题意得出EF=FG=GH=EH，根据菱形的判定定理证明；
(2)根据邻边垂直的菱形是正方形解答．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形和正方形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】t;2t 2或103或4
【解析】(1)由题意知，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，
设运动时间为t秒，则AP=tcm，CQ=2tcm，
故答案为：t；2t；
(2)当四边形PDCQ是平行四边形时，如图，
则PD=CQ，
即6−t=2t，
解得t=2；
当四边形PABQ是平行四边形时，如图，
则AP=BQ，
即t=10−2t，
解得t=103；
当四边形PDQB是平行四边形时，如图，
则PD=BQ，
即6−t=10−2t，
解得t=4，
综上，t的值为2或103或4.
(1)设运动时间为秒，则AP=tcm，CQ=2tcm；
(2)设t秒后四边形ABQP是平行四边形，分情况讨论，根据平行四边形的性质列出方程解方程即可求解．
本题考查平行四边形的性质，列代数式，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．
23.【答案】如图，
过点E作EH⊥AB，交DC于G，
在正方形ABCD中，
∴∠EAH=45∘，
∴DG=AH=EH，
∴∠DGE=∠DEF=∠FHE=90∘，
∴∠GDE+∠DEG=∠FEH+∠DEG=90∘，
∴∠GDE=∠FEH，
∴△DGE≌△EHF(AAS)，
∴ED=EF 10
【解析】(1)证明：如图，
过点E作EH⊥AB，交DC于G，
在正方形ABCD中，
∴∠EAH=45∘，
∴DG=AH=EH，
∴∠DGE=∠DEF=∠FHE=90∘，
∴∠GDE+∠DEG=∠FEH+∠DEG=90∘，
∴∠GDE=∠FEH，
∴△DGE≌△EHF(AAS)，
∴ED=EF；
(2)解：连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC=45∘，AE=AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，
∴DE=BE，
∵DEF，
∴EF=BE，
∵EH⊥AB，
∴BH=FH，
∵AD=4，F是AB边的中点，
∴BF=12AB=12AD=2，
∴FH=12BF=1，
∵∠EAB=45∘，∠AHE=90∘，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AH=EH=3，
∴EF= EH2+FH2= 32+12= 10，
故答案为： 10.
(1)如图，过点E作EH⊥AB，交DC于G，根据正方形的性质得到∠EAH=45∘，求得DG=AH=EH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)连接BE，根据正方形的性质得到AD=AB，∠DAC=∠BAC=45∘，AE=AE，根据全等三角形的性质得到DE=BE，求得EF=BE，根据等腰三角形的性质得到BH=FH，求得BF=12AB=12AD=2，得到FH=12BF=1，根据等腰直角三角形的性质得到AH=EH=3，根据勾股定理得到EF= EH2+FH2= 32+12= 10.
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】证明见解析；
6.
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∵E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//BC，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF//OG，∠EFG=90∘，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵∠EFG=90∘，
∴平行四边形OEFG是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴OA=OC=12AC=3，OB=OD=12BD=4，AC⊥BD，
∴∠BOC=90∘，
∴BC= OC2+OB2= 32+42=5，
由(1)可知，OE是△ABC的中位线，四边形OEFG是矩形，
∴OE=12BC=52，
∵OE⊥BC，
∴S△BOC=12BC⋅OG=12OB⋅OC，
∴OG=OB⋅OCBC=4×35=125，
∴S矩形OEFG=OE⋅OG=52×125=6.
(1)证明OE是△ABC的中位线，得OE//BC，再证明EF//OG，∠EFG=90∘，则四边形OEFG是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC=3，OB=OD=4，AC⊥BD，进而由勾股定理得BC=5，则OE=12BC=52，然后由三角形面积求出OG的长，即可解决问题．
本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】如图1中，点M即为所求； 如图2中，点N即为所求
【解析】解：(1)如图1中，点M即为所求；
(2)如图2中，点N即为所求．
(1)连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交BC于点M，点M即为所求；
(2)连接AC，BD交于点O，连接EO，DP交于点J，连接AJ，延长AJ交CD于点N，点N即为所求(可以证明AP=DN，推出CN=PB).
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
26.【答案】证明：在正方形和正方形A1B1C1O中，
AB=BC，OA=OB，∠AOB=∠A1OC1=90∘，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∠OAB=∠OBC=45∘OA=OB∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF(ASA)；
②AE2+CF2=EF2；
AE2+CF2=EF2，
证明：连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点．
∴AO=CO，在矩形ABCD中，∠BCD=90∘，AB//CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CGO，
∴△AEO≌△CGO，
AE=CG，OE=OG，
在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1=90∘，
∴EF=FG，
在Rt△FCG中，CG2+CF2=GF2，
∴AE2+CF2=EF2；
538cm或7924cm
【解析】(1)证明：在正方形和正方形A1B1C1O中，
AB=BC，OA=OB，∠AOB=∠A1OC1=90∘，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∠OAB=∠OBC=45∘OA=OB∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF(ASA)；
②解：AE2+CF2=EF2，
连接EF，
∵△AEO≌△BFO，
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴AB−AE=BC−BF，
即BE=CF，
∵∠ABC=90∘，
在Rt△BEF中，
BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2；
故答案为：AE2+CF2=EF2；
(2)解：AE2+CF2=EF2，
证明：连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点．
∴AO=CO，在矩形ABCD中，∠BCD=90∘，AB//CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CGO，
∴△AEO≌△CGO，
AE=CG，OE=OG，
在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1=90∘，
∴EF=FG，
在Rt△FCG中，CG2+CF2=GF2，
∴AE2+CF2=EF2；
(3)解：设CF=xcm，①当E在线段AC上时，如图3，连接EF，
∵AE=4cm，AC=5cm，BC=12cm，
∴CE=1cm，在Rt△FCE中，∠C=90∘，
∴CE2+CF2=EF2，
∴12+x2=EF2，
又由(2)知EF2=AE2十BF2，
∴EF2=42+BF2，
∴12+x2=42+(12−x)2，
解得：x=538，
∴此时线段CF的长度为538cm；
②当点E在CA延长线上时，如图4，过点B作BG⊥BC，交ED的延长线于G，连接EF，GF，
同理可证EF2=AE2十BF2，
∴EF2=42+(12−x)2，
在Rt△FCE中，EF2=x2+(5+4)2，
∴x2+(5+4)2=42+(12−x)2，
解得：x=7924，
∴此时线段CF的长度为7924cm；
综上所述，线段CF的长度为538cm或7924cm.
(1)①现根据正方形的性质，推出OA=OB，∠AOB=∠A1OC1=90∘，∠AOE=∠BOF，根据ASA进而证明即可；
②△AEO≌△BFO，进而推出BE=CF，在Rt△BEF中，BF2+BE2=EF2，根据等量代换即可求出AE2+CF2=EF2；
(2)连接AC，延长EO交CD于点G，连接FG，根据矩形的性质可得点O是AC的中点，再证明△AEO≌△CGO，可得AE=CG，OE=OG，再由线段垂直平分线的性质可得EF=FG，在Rt△FCG中，根据勾股定理，即可求解；
(3)设CF=xcm，分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上时，结合勾股定理，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形根据勾股定理列方程解决问题．每批粒数n
100
150
200
500
800
1000
发芽的粒数m
65
111
136
345
552
690
发芽的频率mn
0.65
0.74
0.68
0.69
a
b