2025-2026学年江苏省苏州市八年级（下）期中数学模拟试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省苏州市八年级（下）期中数学模拟试卷（含答案+解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 任意画一个三角形，其内角和为180∘B. 打开电视机正在播放广告
C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球D. 抛一枚硬币正面向上
2.为了解某校480名八年级学生的睡眠时间，从中抽取80名学生进行调查，下列说法正确的是( )
A. 480名学生是总体B. 样本容量是80名
C. 每名学生是个体D. 80名学生的睡眠时间是总体的一个样本
3.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是( )
A. AB=ADB. ∠BAC=∠DAC
C. ∠BAC=∠ABDD. AC⊥BD
4.如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是( )
A. 四边相等B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形
5.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD=6，CD=9，则EO的长为( )
A. 1B. 32C. 2D. 3
6.我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比.如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于( )
A. 34B. 43C. 35D. 125
7.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=2 3.过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y.求xy的值( )
A. 2
B. 4 3
C. 1
D. 没法求出
8.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接AF，CE，则下列结论中错误的是( )
A. AB=DCB. △ABE≌△CDF
C. 四边形AECF是正方形D. ∠BAM=∠DCN
9.在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是( )
A. 摸出红球是必然事件B. 摸出黄球是不可能事件
C. 摸出蓝球是随机事件D. 摸出黑球是随机事件
10.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BCD=60∘，E为AD上一动点，连结BE，以BE为腰作等腰三角形BEE′，使得∠EBE′=120∘，连结AE′.当AE=3时，△ABE′的面积为( )
A. 2 3
B. 32
C. 3
D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.为了解10000只灯泡的使用寿命，从中抽取30只进行试验，则该考察中的样本容量是______.
12.为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
估计这种幼苗移植成活的概率是 (结果精确到0.1).
13.如图，在Rt△ABC中，E，F，D分别是AC，BC，AB的中点，连接EF，CD.若CD=5 2，则EF=______.
14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE//AC，AE//BD，OE与AB交于点F.若OE=5，AC=8，则菱形ABCD的面积为 .
15.超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等待时间，并绘制成频数分布直方图(图中等待时间1∼2分钟表示大于或等于1分钟而小于2分钟，其余类似)，这个时间段内顾客等待时间低于3分钟的有 人.
16.如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG.有下列结论：①∠BGD=120∘；②BG+DG=CG；③S△ABD= 34AB2；④△BDF≌△CGB.其中正确的结论序号是 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
某市林业局考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了统计图.请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活的概率为______(精确到0.1)；
(2)该林业局已经移植这种花卉20000棵.
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉.估计还需要移植多少棵？
18.(本小题6分)
某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
根据以上信息解决下列问题：
(1)本次共随机抽查了______名学生，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是多少度？
(3)该校共有2000名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数.
19.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，连接AC、BD交于点O，且AC=2AB.
(1)尺规作图：作出∠BAC的平分线，与BD交于点E.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作图的基础上，求证：AE⊥BD.
20.(本小题8分)
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5m的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(未掷在封闭图形内视为无效次数，可把小石子近似看成点).将所掷小石子落在封闭图形内(含边界)的总次数m与落在正方形内(含正方形边上)的次数n记录如下：
(1)根据表格，如果掷1次小石子，那么小石子落在正方形内(含正方形边上)的概率约为______(结果精确到0.01).
(2)当m=1000时，n最可能为______.
A.105 B.249 C.518 D.815
(3)请你利用(1)中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积.
21.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△AOB沿直线AB翻折得到△AEB.
(1)求证：四边形AOBE是菱形；
(2)若AB=2，BD=5，则菱形AOBE的面积为______.
22.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC=90∘.
(1)求证：四边形ABDE是矩形；
(2)连接OC.若AB=4，BD=2 5，求OC的长.
23.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD.过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E连接OE.
(1)求证；四边形ABCD是菱形；
(2)若AB= 13，BD=4，求OE的长.
24.(本小题10分)
如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE=CF.
(1)写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若AB=2，点E为AD的中点，求AG的长度；
(3)在(2)的条件下，连接GD，试证明GD是∠EGF的角平分线，并求出GD的长．
25.(本小题10分)
如图1，Rt△CEF中，∠C=90∘，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作AB⊥CE的延长线于B，AD⊥CF的延长线于D.
(1)填空：∠EAF的度数______；
(2)求证：AB=AD；
(3)如图2，在△PQR中，∠QPR=45∘，高PH=12，QH=4，求HR的长度.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180∘，是必然事件，符合题意；
B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
故选：A.
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】D
【解析】解：总体是某校480名八年级学生的睡眠时间，故选项A说法错误，不符合题意；
样本容量是80，故选项B说法错误，不符合题意；
每名学生的睡眠时间是个体，故选项C说法错误，不符合题意；
80名学生的睡眠时间是总体的一个样本，故D选项说法正确，符合题意．
故选：D.
根据总体、个体、样本、样本容量的意义，即可解答．
此题主要考查了总体，样本，样本容量的概念，熟练掌握相关定义是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C、由∠BAC=∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；
D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．
故选：C.
根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
4.【答案】C
【解析】解：A.菱形的定义是四边相等的四边形，该项正确；
B.菱形的对角线互相垂直平分，该项正确；
C.菱形的对角线不一定相等(仅正方形等特殊菱形对角线相等)，该项不正确；
D.菱形是轴对称图形(对称轴为对角线所在直线)和中心对称图形(对称中心为对角线交点)，该项正确．
故选：C.
菱形是四边相等的平行四边形，具有四边相等、对角线互相垂直、轴对称和中心对称等性质，但对角线不一定相等，即可解答．
本题考查菱形的性质，掌握知识点是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵在▱ABCD中，AB=CD=9，AB//CD，OB=OD，
∴∠CDP=∠DPA，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠CDP，
∴∠ADP=∠DPA，
∴AP=AD=6，
∴PB=AB−AP=3，
∵E是PD的中点，OD=OB，
∴OE=12PB=12×3=32，
故选：B.
由平行四边形的性质及角平分线的定义得AP=AD=6，从而得PB的长，由三角形中位线定理即可求解．
本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，等腰三角形的性质和判定，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
6.【答案】B
【解析】解：如图，∵一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，
∴在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=13，BC−AD=10，
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则∠AEF=∠DFE=∠AEB=∠CFD=90∘，
∵AD//BC，
∴∠DAE=180∘−∠AEF=90∘，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF，AE=DF，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴BE=CF，
∴BE=CF=12(BC−EF)=12(BC−AD)=5，
∴AE=DF= AB2−BE2= 132−52=12，
∵S梯形面积ABCD=12(AD+BC)⋅AE=12×(AD+AD+10)×12=108，
∴AD=4，
∴BC=14，
∴梯形的中位线AD+BC2=4+142=9，
∴这个等腰梯形的纵横比=129=43，
故选：B.
根据题意画出图形，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据底差等于10求出BE=CF=5，利用勾股定理求出高的长，利用梯形面积公式求出AD=4，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案．
此题考查的是勾股定理，矩形的判定和性质、梯形中位线定理，等腰梯形的性质，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD//BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE=DH，
在Rt△DCH和Rt△ABE中，
DC=ABDH=AE，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，
∴CH=BE=x.
∵BC=y，
∴EC=BC−BE=y−x，BH=BC+CH=y+x，
∵AE2=AC2−EC2，DH2=BD2−BH2，
∴22−(y−x)2=(2 3)2−(y+x)2，
∴xy=2.
故选：A.
过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，由平行四边形的性质推出AB=DC，AD//BC，得到AE=DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，得到CH=BE=x，由勾股定理得到22−(y−x)2=(2 3)2−(y+x)2，得到xy=2.
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，得到CH=BE，由勾股定理得到22−(y−x)2=(2 3)2−(y+x)2.
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，故A正确；
∴∠ABC=∠ADC，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴∠AMB=∠CND=90∘，
∴∠BAM=∠DCN，故D正确；
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，故B正确；
∵AD//BC，
∴∠MAN=∠AMC=90∘，
∴∠EAFBC，进一步可知BD≠CG，即可判断④选项．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30∘角直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】0.9;0.9 (2)①18000棵；②80000棵
【解析】解：(1)由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9；
故答案为：0.9，0.9；
(2)①20000×0.9=18000(棵)，
答：估计这批花卉成活的棵数为18000棵；
②90000÷0.9−20000=80000(棵)，
答：估计还需要移植80000棵．
(1)根据统计图可得频率，利用频率估计概率可得概率；
(2)①用20000乘以成活的概率即可；
②用移植的总棵数减去已经移植的棵数．
本题考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键．
18.【答案】(1)
100；
(2)扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是360∘×20%=72∘；
(3)2000×4+12100=320(名)，
答：估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数大约为320名．
【解析】解：(1)本次共随机抽查了学生15÷15%=100(名)，
“D组”的频数为：100×30%=30(名)，“E组”的频数为：100×20%=20(名)，
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
(2)扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是360∘×20%=72∘；
(3)2000×4+12100=320(名)，
答：估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数大约为320名．
(1)根据“B组”的频数和所占的百分比，利用频率=频数调查人数，即可求出调查人数，进而求出“D组”的频数和“E组”的频数，再补全条形统计图即可；
(2)“E组”占调查人数的20%，因此相应的圆心角度数占360∘的20%，计算即可；
(3)求出“不合格”所占的百分比即可估计总体中“不合格”的人数．
本题考查频数分布表、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】(1)解：如图，AE即为所求，
(2)证明：∵四边形ABCD平行四边形，
∴OA=OC，
∵AC=2AB，
∴AB=OA，
∴△AOB为等腰三角形，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴AE⊥BD.
【解析】(1)根据角平分线的作图方法作图即可；
(2)根据平行四边形的性质可得△AOB为等腰三角形，再根据三线合一即可证明．
本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】0.25 B 1m2
【解析】解：(1)观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在正方形内(含正方形边上)的频率值稳定在0.25，
故答案为：0.25；
(2)当掷小石子所落的总次数m=1000时，
小石子落在正方形内(含正方形边上)的次数n最可能为1000×0.25=250，
只有249比较接近，即n最可能为249，
故选：B；
(3)设整个不规则封闭图形的面积为am2.
∵正方形的边长为0.5m，
∴(0.5)2a=0.25，
解得a=1.
经检验，a=1是原分式方程的根，且符合题意．
故估计整个不规则封闭图形的面积为1m2.
(1)观察数据，找到稳定值即可．
(2)大量试验时，频率可估计概率，找最接近的值．
(3)利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积=概率建立方程求解．
本题考查的是利用频率估计概率，正方形的性质，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
21.【答案】∵ABCD是矩形，
∴AO=BO=OD=OC，
∵△AOB沿直线AB翻折得到△AEB，
∴△ABO≌△ABE，
∴AE=EB=BO=OA，
∴四边形AOBE是菱形 21
【解析】(1)证明：∵ABCD是矩形，
∴AO=BO=OD=OC，
∵△AOB沿直线AB翻折得到△AEB，
∴△ABO≌△ABE，
∴AE=EB=BO=OA，
∴四边形AOBE是菱形．
(2)解：∵ABCD是矩形，
∴∠BAD=90∘，
∴AD= BD2−AB2= 25−4= 21，
∴S△ABD=12AB×AD= 21，
∴S△ABO=12S△ABD= 212，
∵△ABO≌△ABE，
∴S菱形AOBE=2S△ABO= 21.
故答案为： 21.
(1)根据矩形的性质得到AO=BO，利用翻折后两个三角形全等可知AE=EB=BO=OA，由此可知是菱形；
(2)根据勾股定理求出AD，得到△ABD的面积，再求出△ABO的面积，菱形AOBE的面积是△ABO的面积的两倍．
本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
22.【答案】证明见解答过程；
41.
【解析】(1)证明：∵O为AD的中点，
∴AO=DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAO=∠EDO，
又∵∠AOB=∠DOE，
∴△AOB≌△DOE(ASA)，
∴AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC=90∘，
∴∠BDE=90∘，
∴平行四边形ABDE是矩形；
(2)解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，

∵四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=4，OD=12AD，OB=OE=12BE，AD=BE，
∴OD=OE，
∵OF⊥DE，
∴DF=EF=12DE=2，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OF=12BD= 5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
∴CF=CD+DF=6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC= CF2+OF2= 62+( 5)2= 41，
即OC的长为 41.
(1)证△AOB≌△DOE(ASA)，得AB=DE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后证∠BDE=90∘，即可得出结论；
(2)过点O作OF⊥DE于点F，由矩形的性质得DE=AB=4，OD=OE，再由等腰三角形的性质得DF=EF=12DE=2，则OF为△BDE的中位线，得OF=12BD= 5，然后由平行四边形的性质得CD=AB=4，进而由勾股定理即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴▱ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=4，
∴OB=12BD=2，
在Rt△AOB中，AB= 13，OB=2，
∴OA= ( 13)2−22=3，
∴AC=2OA=6，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90∘，
∴OE=12AC=3.
【解析】(1)先证出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
(2)先证出OE=OA=OC，再求出OB=2，利用勾股定理求出OA=3，得出AC=6，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质等知识；判断出CD=AD=AB是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)BE=AF，BE⊥AF，理由：
四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90∘，
∵DE=CF，
∴AE=DE，
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90∘，
∴∠DAE+∠AEB=90∘，
∴∠BGA=90∘，
∴BE⊥AF.
(2)在Rt△ABE中，∵AB=2，AE=1，
∴BE= AB2+AE2= 22+12= 5，
∵S△ABE=12⋅AB⋅AE=12⋅BE⋅AG，
∴AG=AB⋅AEBE=2×1 5=2 52.
(3)如图2，过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，AF= AD2+DF2= 22+12= 5，
∵S△ADF=12AD×FD=12AD×DN，
∴DN=2×1 5=2 55，
∵AG=2 55，
∴AG=DN，
易证，△AEG≌△DEM(AAS)，
∴AG=DM，
∴DN=DM，
∵DM⊥BE，DN⊥AF，
∴GD平分∠MGN，
∴∠DGN=12∠MGN=45∘，
∴△DGN是等腰直角三角形，
∴GD= 2DN=2 105；
【解析】(1)先判断出△BAE≌△ADF(SAS)，得出BE=AF，∠ABE=∠DAF，即可得出结论；
(2)利用面积法计算即可解决问题．
(3)先利用勾股定理求出AF，进而利用面积求出DN，进而判断出AG=DN，再判断出DM=AG，即可得出GD是∠MGN的平分线，进而判断出△DGN是等腰直角三角形即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，等腰直角三角形的判定，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
25.【答案】45∘；
证明见解答过程；
6.
【解析】(1)过点A作AK⊥EF于点K，如图1所示：

∵∠C=90∘，AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B=∠C=∠D=90∘，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90∘，
∵AF平分∠DFE，EA平分∠BEF，
∴AD=AK，AB=AK，
在Rt△ADF和Rt△AKF中，
AD=AKAF=AF，
∴Rt△ADF≌Rt△AKF(HL)，
∴∠DAF=∠KAF，
∴∠DAK=2∠KAF，
同理：Rt△BAE≌Rt△KAE(HL)，
∴∠BAE=∠KAE，
∴∠BAK=2∠KAE，
∵∠BAD=∠DAK+∠BAK=90∘，
∴2∠KAF+2∠KAE=90∘，
∴∠KAF+∠KAE=45∘，
即∠EAF=45∘；
(2)证明：由(1)可知：AD=AK，AB=AK，
∴AB=AD；
(3)解：将△PQH沿PQ翻折得到△PQM，点H的对应点为M，将△PQH沿PR翻折得到△ARN，点H的对应点为N，设MQ，NR的延长线交于点T，如图2所示：
设HR=a，则QR=QH+HR=4+a，
在△PQR中，∠QPR=45∘，高PH=12，QH=4，
∴∠PHQ=∠PHR=90∘，
由翻折的性质得：PM=PH=12，QM=QH=4，∠M=∠PHQ=90∘，∠QPM=∠QPH，PN=PH=12，NR=HR=a，∠N=∠PHR=90∘，∠RPN=∠RPH，
∴∠QPM+∠RPN=∠QPH+∠RPH=∠QPR=45∘，PM=PN=12，
∴∠MPN=∠QPM+∠RPN+∠QPR=90∘，
∴∠M=∠MPN=∠N=90∘，
∴四边形PMTN是矩形，
又∵PM=PN=12，
∴矩形PMTN是正方形，
∴MT=NT=12，∠T=90∘，
∴QT=MT−QM=12−4=8，RT=NT−NR=12−a，
在Rt△TQR中，由勾股定理得：QR2=TQ2+RT2，
∴(4+a)2=82+(12−a)2，
解得：a=6，
∴HR=a=6.
(1)过点A作AK⊥EF于点K，证明四边形ABCD是矩形得∠BAD=90∘，根据角平分线性质得AD=AK，AB=AK，由此可依据“HL”判定Rt△ADF和Rt△AKF全等，则∠DAF=∠KAF，继而得∠DAK=2∠KAF，同理证明Rt△BAE和Rt△KAE全等得∠BAE=∠KAE，继而得∠BAK=2∠KAE，根据∠BAD=∠DAK+∠BAK=90∘得∠KAF+∠KAE=45∘，由此即可得出∠EAF的度数；
(2)由(1)可知AD=AK，AB=AK，据此即可得出结论；
(3)将△PQH沿PQ翻折得到△PQM，点H的对应点为M，将△PQH沿PR翻折得到△ARN，点H的对应点为N，设MQ，NR的延长线交于点T，设HR=a，则QR=QH+HR=4+a，根据翻折的性质证明四边形PMTN是正方形，则MT=NT=12，∠T=90∘，进而得QT=8，RT=12−a，在Rt△TQR中，由勾股定理可求出a=6，继而可得出HR的长．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质是解决问题的关键，利用翻折的性质构造正方形是解决问题的难点．移植总数
n
150
300
700
1000
1500
成活数
m
134
271
631
899
1350
成活的频率mn
mn
0.893
0.903
0.901
0.899
0.900
组别
听写正确的个数x
组中值
A
0≤x