[数学]江苏省南京市鼓楼区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份[数学]江苏省南京市鼓楼区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件
B. “在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C. “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D. 可能性是的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
【答案】A
【解析】A.“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件，故选项符合题意；
B.“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故选项不符合题意；
C.“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，故选项不符合题意；
D.可能性是的事件，是指这个事件发生的可能性是，故选项不符合题意；
故选：A．
3. 某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵原计划x天生产120吨煤
∴原计划每天生产吨，采用新技术，提前2天完成，
∴实际每天生产的吨数为：
根据题意得
故选：D．
4. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )
A. 平行四边形B. 对角线相等的四边形
C. 矩形D. 对角线互相垂直的四边
【答案】B
【解析】四边形是菱形，
，
故AC．
故选：B．
5. 如图，，E、F分别是，的中点，若，，则的长为（ ）
A. 5B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】连接，并延长交于点G，如图所示：
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
又∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴．故选：D．
6. 如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点．
①是定值；
②平分；
③当运动到中点时，；
④当时，四边形的面积是．
其中正确的是（ ）
A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ①④
【答案】C
【解析】①∵四边形是正方形，
∴，，
∵点与点的运动速度相同，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，是定值，故①正确；
②根据题意无法判断与的大小关系，所以平分不正确，故②错误；
③当运动到中点时，点运动到中点，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，故③正确；
④∵，
∴，即，
∴，
当时，可有，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，结论正确的是①③④．
故选：C．
二、填空题
7. 当x_______时，分式的值为零．
【答案】= 3
【解析】根据题意，
∵分式的值为零，
∴，
∴；
故答案为：．
8. 任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为_____．①面朝上的点数小于2； ②面朝上的点数大于2； ③面朝上的点数是奇数．
【答案】①③②
【解析】任意掷一枚质地均匀骰子，共有6种等可能结果，
其中①面朝上的点数小于2的有1种结果，其概率为；
②面朝上的点数大于2的有4种结果，其概率为；
③面朝上的点数是奇数的有3种结果，其概率为；
所以按事件发生的可能性大小，按从小到大排列为①③②，
故答案为①③②．
9. 一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1,2,3,4组数据的个数分别是2,8,15,5，则第5组数据的频数为_________，频率为_________.
【答案】20 0.4
【解析】根据题意可得：第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，共，
样本总数为50，
故第5小组的频数是，
频率．
故答案为20，0.4．
10. 若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________．
【答案】
【解析】由题意，，
，
故答案为：．
11. ，求的值________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴
；
故答案为：
12. 如图，将沿对角线折叠，使点B落在处，，则_________．
【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∵将沿对角线折叠使点B落在处，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图所示，点D、E分别是边、的中点，连接，若，交的延长线于点F，，则_____．
【答案】3
【解析】∵点D、E分别是的边、的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：3．
14. ▱ABCD的周长是32cm，∠ABC的平分线交AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB的长为_____．
【答案】6cm或12cm
【解析】分两种情况：
①点E在线段AD上，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴AB+AD＝×32＝16（cm），∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE：ED＝3：2，
∴AB：AD＝3：5，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×＝6（cm）．
②点E在AD的延长线上，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴AB+AD＝×32＝16（cm），∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE：ED＝3：2，
∴AB：AD＝3：1，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×＝12（cm）；
故答案为：6cm或12cm．
15. 如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________．
【答案】
【解析】∵菱形的周长为20，面积为24，
∴，，
∵分别作P点到直线、的垂线段、，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
16. 如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______．
【答案】2.5
【解析】如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，
∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，
∴BE＝，
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°，
∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，
故答案为：2.5．
三、解答题
17. 计算：
（1） ；
（2）；
（1）解：原式
（2）解：原式=
18. 甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次．两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭．设前后两次的米价分别是每千克元和元（，，），请问谁的购买方式合算？
解：甲的平均单价：元，
乙的平均单价：元，
．
，，，
，，
，
所以乙家庭合算．
19. 某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间（单位：）
课外阅读时间频数分布表
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1） ， ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若全校共1000名学生，估计有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50？

解：（1）
课外阅读时间为的学生人数人，
课外阅读时间为的学生人数占比．
故答案为：20，；
（2）结合（1），可补全频数分布直方图如下：

（3）人．
答：估计平均每天的课外阅读时间不少于50的学生有760人．
20. 六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为人次，公园游戏场发放的福娃玩具为个．
求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；
请你估计袋中白球接近多少个？
解：（1），
∴参加一次这种活动得到的福娃玩具的频率为；
∵试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论概率，
∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为．
设袋中白球有个，根据题意得
解得，经检是方程的解
∴估计袋中白球接近个．
21. 如图，已知在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E、F是对角线BD上两点，且BE=DF．
求证：．
证明：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴ABCD．
∴∠ABE=∠CDF．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AE=CF．
22. 如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（－3，4）、B（－7，1）、C（－2，1）．
（1）请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点A的对应点的坐标：______；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，直接写出点A的对应点P的坐标；______；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标；______；
解：（1）△ ，如图所示，（3，﹣4）；
故答案为：（3，-4），
（2）如图所示，P（4，3）；
故答案为：（4，3），
（3）满足条件的点D的坐标为（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）．
故答案为：（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）．
23. 如图，已知，平分（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）作菱形，使点M，N分别在边上；
（2）若，求（1）菱形的面积
（1）解：作线段的垂直平分线交于点M，交于点N、得四边形即为所求菱形，
证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∴菱形的面积．
24. 如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形,A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．
（1）当t= 时，四边形PODB是平行四边形；
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求出当四边形ODQP为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标 （直接写出答案）．
解：（1）∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB＝OD＝5，
∴PC＝5，
∴t＝5．
（2）∵ODQP为菱形，
∴OD＝OP＝PQ＝5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
，
∴t＝3，
CQ＝PC+PQ＝3+5＝8，
∴点Q的坐标为（8，4）．
（3）当P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝3，
P2O＝P2D时，作P2E⊥OA，
∴OE＝ED＝2.5；
当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3，
∴P3C＝2；
当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得
DG＝3，
∴OG＝8．
∴P1（2，4），P2（2.5，4），P3（3，4），P4（8，4）．
25. 阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题：
（1）将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
① ；② ；
（2）利用分离常数法，求分式的最大值．
（3）已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值．
（1）解：将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
①；
②．
故答案为：①；②
（2）解：，
，当时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大，
当时，分母的值越大，分式的值越小，
当时，，
即当时，分式有最大值，最大值为3．
（3）解：，，，
，
、均为非零整数，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，的值为18或12．
26. 数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形中，点E是对角线上任意一点，过点E作，垂足为E，交所在直线于点F．探索与之间的数量关系，并说明理由．
小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线的中点时，他发现与之间的数量关系是______．若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系．
（1）请你按照小明的思路，完成解题过程；
（2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．
（1）解：，理由如下：
当E是对角线的中点时，
四边形是正方形，
，，，，
，
，且E是对角线的中点，
此时点B和点F重合，且点E也为的中点，
，
，即；
若点E在其它位置时，如图，延长，作，交的延长线于点G，连接．
四边形是正方形，
，，．
，，
四边形为平行四边形．
，．
．
，，
．
，
．
．
．
．
．
，
，．
．
是等腰直角三角形，
，
．
；
（2）解：如图，作，并截取，连接、．
四边形是正方形，
，．
，
，
．
又，
是等腰直角三角形，
，
．
，
．
．
，．
．
，
．
．
．
．
，
，
四边形为平行四边形．
，
．
课外阅读时间
频数
百分比
4
8
16
2
合计
50