还剩24页未读，
继续阅读
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级（下）期中数学试卷(含解析)
展开
这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级（下）期中数学试卷(含解析)，共27页。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．平行四边形
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．不共线的三条线段可以组成一个三角形
B．400人中有两个人的生日在同一天
C．早上的太阳从西方升起
D．打开电视机，它正在播放动画片
3．下列调查中，不适合采用普查的是（ ）
A．调查一批防疫口罩的质量
B．调查某校八年级某班同学的视力
C．为保证某种新研发的大型客机试飞成功，对其零部件进行检查
D．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检
4．把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍
C．缩小为原来的 D．扩大4倍
5．矩形具备而平行四边形不一定具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
6．如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，则当∠A＝30°时，四边形的面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接
7．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
8．分式的值为0，则x的值是 ．
9．某校对120名初二女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m）这一小组的频率为0.25，则该组的人数为 ．
10．某中学要了解八年级学生的视力情况，在八年级中抽取了80名学生进行检测，这次抽样调查的样本是 ．
11．菱形周长是20，对角线长的比为3：4，则菱形的面积为 ．
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若CD＝1，则EF的长为 ．
13．八年级（1）班有40位同学，他们的学号是1﹣40，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）．
14．若分式的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），点P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴上一点B，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17．计算：
（1）；
（2）．
18．先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
19．一个不透明的口袋中有若干个红球和黑球，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3附近．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）若袋中红球和黑球的总数为20个，估计其中黑球的个数．
20．为了了解某校八年级学生每天完成家庭作业所用时长，该校数学兴趣小组对此展开抽样调查．已知八年级共25个班级，每班40名学生．
（1）小明选择对2班全体同学进行调查，小刚选择在学校门口随机抽取10名同学．他们的抽样是否合理？请分别说明理由．
（2）设样本容量为100，请设计一个合理的抽样调查方案．
21．某校组织了关于古诗知识竞赛的活动，随机抽取了若干名学生的成绩进行统计（成绩均为整数），并将成绩按从低到高分成A，B，C，D，E五个小组，绘制如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布直方图中a的值为 ；
（2）扇形统计图中D小组所对应的扇形圆心角为n°，求n的值；
（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，全校共有3000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
22．如图，在平面直角坐标系中，A（5，2），B（﹣1，4），C（2，0）．
（1）若A，B关于点M成中心对称，在图中画出点M（描黑并标注字母，下同）；
（2）若点A绕点N顺时针旋转90°得到点B，在图中画出点N；
（3）已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D所有可能的坐标．
23．若a＞0，M＝，N＝
（1）当a＝1时，M＝ ，N＝ ；当a＝3时，M＝ ，N＝ ；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
24．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，顺次连接各点得到四边形EGFH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若AB＝CD，求证：▱EGFH是菱形．
25．如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点；
Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
26．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．在此条件下，对它“强化条件”，分别得到图1的3个命题．
（1）命题1的证明思路如下，在图1中连接AC，BD，并填充证明框图．
① ；
② ；
③ ．
（2）命题2是真命题，请在图2中完成证明．
（3）命题3是假命题，请画出反例并解释反例存在的合理性．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．平行四边形
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．不共线的三条线段可以组成一个三角形
B．400人中有两个人的生日在同一天
C．早上的太阳从西方升起
D．打开电视机，它正在播放动画片
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
解：A、不共线的三条线段可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
B、400人中有两个人的生日在同一天，是必然事件，符合题意；
C、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
D、打开电视机，它正在播放动画片，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．下列调查中，不适合采用普查的是（ ）
A．调查一批防疫口罩的质量
B．调查某校八年级某班同学的视力
C．为保证某种新研发的大型客机试飞成功，对其零部件进行检查
D．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检
【分析】直接利用全面调查和抽样调查的意义分别分析得出答案．
解：A、调查一批防疫口罩的质量，适合抽样调查，符合题意；
B、调查某校八年级某班同学的视力，适合全面调查，不合题意；
C、为保证某种新研发的大型客机试飞成功，对其零部件进行检查，必须全面调查，不合题意；
D、对乘坐某班次飞机的乘客进行安检，必须全面调查，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了全面调查和抽样调查的意义，正确理解抽样调查的意义是解题关键．
4．把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍
C．缩小为原来的 D．扩大4倍
【分析】把原分式中的x和y都扩大2倍得到，根据分式的基本性质化简得到2•，从而可对各选项进行判断．
解：分式中的x和y都扩大2倍，则原分式变形为：＝＝2•，
所以把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值扩大2倍．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
5．矩形具备而平行四边形不一定具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
【分析】根据矩形、平行四边形的性质即可判断．
解：矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形具备而平行四边形不一定具备的是矩形的对角线相等，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等是常考内容．
6．如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，则当∠A＝30°时，四边形的面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【分析】根据正方形的判定和性质解得AB＝BC＝4，进而根据含30°角的直角三角形的性质和菱形的面积解答即可．
解：将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，
过A作AE⊥CB，交CB的延长线于E，
∵∠A＝30°，AD∥BC，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝2，
∴四边形的面积＝AE•BC＝2×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，含30°角的直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接
7．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分母不等于零分式有意义，可得答案．
解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
8．分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
9．某校对120名初二女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m）这一小组的频率为0.25，则该组的人数为 30人 ．
【分析】根据频率＝频数÷总数，得频数＝总数×频率．
解：根据题意，得
该组的人数为120×0.25＝30（人）．
故答案为：30人．
【点评】此题主要考查了频数与频率．解题的关键是掌握频率＝频数÷数据的总数．
10．某中学要了解八年级学生的视力情况，在八年级中抽取了80名学生进行检测，这次抽样调查的样本是 从中抽取的30名八年级学生的视力情况 ．
【分析】样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可解答．
解：样本是：从中抽取的80名八年级学生的视力情况．
故答案是：从中抽取的30名八年级学生的视力情况．
【点评】本题考查了总体、个体的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
11．菱形周长是20，对角线长的比为3：4，则菱形的面积为 24 ．
【分析】菱形的周长是20，边长就是5，边和对角线的一半构成直角三角形，根据勾股定理求出对角线的长，菱形的面积等于对角线乘积的一半从而得解．
解：设较短对角线的一半是3x，较长对角线的一半是4x，
（3x）2+（4x）2＝52，
解得x＝1（负值舍去）．
较短的对角线长为：2•3x＝6，
较长的对角线长为：2•4x＝8．
∴菱形的面积为：＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，以及菱形的面积的计算方法和勾股定理的应用．
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若CD＝1，则EF的长为 1 ．
【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
解：∵△ABC是直角三角形，D是AB的中点，CD＝1，
∴CD是斜边的中线，
∴AB＝2CD＝2，
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝×2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，熟知直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13．八年级（1）班有40位同学，他们的学号是1﹣40，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 ③ （填序号）．
【分析】分别求出3个事件的概率即可求解．
解：①抽到的学号是奇数的可能性为；
②抽到的学号是个位数的可能性为；
③抽到的学号不小于35的可能性为，
∵，
∴发生可能性最小的事件为为③．
故答案为：③．
【点评】本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
14．若分式的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 ﹣3 ．
【分析】根据分式的值为整数，x的值也为整数，可得x﹣1＝±4或±2或±1，求出x的值，即可确定x的最小值．
解：分式的值为整数，x的值也为整数，
∴x﹣1＝±4或±2或±1，
∴x＝5或﹣3或3或﹣1或2或0，
∴x的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式的值，理解题意是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 4 ．
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ADF中运用勾股定理求得DF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案．
解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD，
Rt△ABD中，BD＝，
由折叠可得DO＝BD＝4，∠BFO＝∠DFO，
由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO，
∴∠DFO＝∠BGO，
∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，
∴BD平分FG，
∴OF＝OG，
由折叠知，BF＝DF，
设BF＝DF＝x，则AF＝16﹣x，
在Rt△ABF中，（16﹣x）2+82＝x2，
解得x＝10，即DF＝10，
∴Rt△DOF中，OF＝＝2，
∴FG＝2FO＝4．
故答案为：4．
【点评】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），点P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴上一点B，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的取值范围为 OC≥4 ．
【分析】过点D作x轴的平行线交y轴于点F，过点C作y轴的平行线交FD于点E，首先证明△AOP≌△DFP （ASA），得OA＝DF＝2，然后根据平行四边形的性质得到∠EDC＝∠OAB，再证明△ECD≌△OBA（AAS），得DE＝OA＝2，所以EF＝DE+DF＝4，根据CE⊥EF，EF∥y轴，得C点始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4，则O到这条直线的距离为4，进而可得OC长度的取值范围为OC≥4．
解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
如图，过点D作x轴的平行线交y轴于点F，过点C作y轴的平行线交FD于点E，
∴∠OAP＝∠FDP，
∵∠APO＝∠DPF，AP＝DP，
∴△AOP≌△DFP （ASA），
∴OA＝DF＝2，
在▱ABCD中，AB＝CD，
∵EF∥OA，
∴∠EDA+∠OAD＝180°，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠EDA+∠OAD﹣∠CDA﹣∠BAD＝0，
∴∠EDA﹣∠CDA＝∠BAD﹣∠OAD，
∴∠EDC＝∠OAB，
∵∠CED＝∠BOA＝90°，CD＝BA，
∴△ECD≌△OBA（AAS），
∴DE＝OA＝2，
∴EF＝DE+DF＝4，
∵CE⊥EF，EF∥y轴，
∴C点始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4，
则O到这条直线的距离为4，
∴OC长度的取值范围为OC≥4．
故答案为：OC≥4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是利用平行四边形的性质得到∠EDC＝∠OAB．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）整理第二个分式的分母，再进行分式的加减运算，约分；
（2）先把1化成分式，计算小括号，第二个分式的分子、分母因式分解，再把除法运算变成乘法运算，分子分母约分即可．
解：（1）
＝
＝
＝1；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的运算，解题的关键是掌握分式的加减乘除运算法则．
18．先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为﹣2和2，取x＝0，最后代入求出答案即可．
解：÷（1﹣）
＝÷
＝÷
＝•
＝x﹣2，
要使分式÷（1﹣）有意义，x+2≠0且x﹣2≠0，
所以x不能为﹣2和2，
取x＝0，
当x＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．一个不透明的口袋中有若干个红球和黑球，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3附近．
（1）估计摸到黑球的概率是 0.3 ；
（2）若袋中红球和黑球的总数为20个，估计其中黑球的个数．
【分析】（1）根据摸出的黑球的频率在0.3附近摆动可估计摸出一球是黑球的概率为0.3，据此可得；
（2）根据概率公式可得．
解：（1）∵经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3附近．
∴估计摸到黑球的概率为0.3；
故答案为：0.3；
（2）20×0.3＝6（个）；
答：估计其中黑球的个数6个．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20．为了了解某校八年级学生每天完成家庭作业所用时长，该校数学兴趣小组对此展开抽样调查．已知八年级共25个班级，每班40名学生．
（1）小明选择对2班全体同学进行调查，小刚选择在学校门口随机抽取10名同学．他们的抽样是否合理？请分别说明理由．
（2）设样本容量为100，请设计一个合理的抽样调查方案．
【分析】（1）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况；
（2）答案不唯一，根据样本容量为100，设计一个合理的调查方案即可．
解：（1）小明的抽样不合理．
理由：全年级每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性；
小刚的抽样不合理．
理由：样本容量太小，样本不具有广泛性．
（2）答案不唯一，如：数学兴趣小组从25个班级各随机抽取学号为9，19，29，39的4名同学进行调查．
【点评】本题主要考查总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是掌握它们的定义：①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
21．某校组织了关于古诗知识竞赛的活动，随机抽取了若干名学生的成绩进行统计（成绩均为整数），并将成绩按从低到高分成A，B，C，D，E五个小组，绘制如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 200 ，频数分布直方图中a的值为 16 ；
（2）扇形统计图中D小组所对应的扇形圆心角为n°，求n的值；
（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，全校共有3000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
【分析】（1）根据B组的频数以及百分比，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a的值；
（2）利用360°乘以对应的百分比，即可求解；
（3）利用全校总人数乘以对应的百分比，即可求解．
解：（1）样本容量为40÷20%＝200，
则a＝200×8%＝16；
故答案为：200；16；
（2）样本D的百分数为 ，
∴n＝360×35%＝126．
（3）样本D，E两组的百分数的和为1﹣25%﹣20%﹣8%＝47%，
∴3000×47%＝1410．
答：估计成绩优秀的学生有1410名．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．如图，在平面直角坐标系中，A（5，2），B（﹣1，4），C（2，0）．
（1）若A，B关于点M成中心对称，在图中画出点M（描黑并标注字母，下同）；
（2）若点A绕点N顺时针旋转90°得到点B，在图中画出点N；
（3）已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D所有可能的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的定义作出点M；
（2）根据旋转变换的性质作出旋转中心即可；
（3）根据平行四边形的定义，画出图形，可得结论．
解：（1）如图点M即为所求；
（2）如图点N即为所求；
（3）D1 （2，6），D2（8，﹣2），D3（﹣4，2）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．若a＞0，M＝，N＝
（1）当a＝1时，M＝ ，N＝ ；当a＝3时，M＝ ，N＝ ；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）利用求差法比较M与N的大小关系，根据分式的加减法运算法则进行计算，最后判断其正负．
解：（1）当a＝1时，M＝＝＝，N＝＝＝，
当a＝3时，M＝＝＝，N＝＝＝，
故答案为：，，，；
（2）M＜N，理由是：
M﹣N＝﹣，
＝，
＝﹣，
∵a＞0，
∴（a+1）（a+2）＞0，
∴﹣＜0，
即M﹣N＜0，
∴M＜N．
【点评】本题考查了分式的加减法和分式大小比较，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘；对于大小比较问题，方法为：①求商法，②求差法，③平方法等．
24．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，顺次连接各点得到四边形EGFH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若AB＝CD，求证：▱EGFH是菱形．
【分析】（1）由三角形中位线定理，得到GF∥EH，GF＝EH，推出四边形EGFH是平行四边形；
（2）由三角形中位线定理得到FG＝FH，又四边形EGFH是平行四边形，推出▱EGFH是菱形．
【解答】证明：（1）∵点E与点H分别为AD，AC的中点，
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH∥CD，EH＝CD，
同理：GF∥CD，GF＝CD，
∴GF∥EH，GF＝EH，
∴．四边形EGFH是平行四边形；
（2）∵点F与点H分别为BC，AC的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH＝AB，
∵FG＝CD，AB＝CD，
∴FH＝FG，
由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴▱EGFH是菱形．
【点评】本题考查平行四边形、菱形的判定，三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形，菱形的判定方法；三角形中位线定理．
25．如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点；
Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答即可．
解：（1）选择I，理由如下：
如图，D是AB中点， 但E显然不是AC的中点，
（2）真命题是Ⅱ或Ⅲ．
选择命题Ⅲ．
证明：如图，延长ED到点F使DF＝DE，连接BF．
∵D为AB中点，
∴AD＝BD．
在△ADE与△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴BF＝AE，∠F＝∠AED，
∴AC∥BF，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF＝CE，
又∵BF＝AE，
∴CE＝AE，
即E是AC的中点．
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答．
26．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．在此条件下，对它“强化条件”，分别得到图1的3个命题．
（1）命题1的证明思路如下，在图1中连接AC，BD，并填充证明框图．
① ∠BAD＝∠CDA ；
② △ABC≌△DCB ；
③ ∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA ．
（2）命题2是真命题，请在图2中完成证明．
（3）命题3是假命题，请画出反例并解释反例存在的合理性．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出命题即可；
（2）连接AC，根据全等三角形的判定和性质得出AD＝BC，进而利用平行四边形和矩形的判定解答即可；
（3）根据矩形的判定解答即可．
解：（1）在△ABD与△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠BAD＝∠CDA；
同理可得：△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA；
故答案为：①∠BAD＝∠CDA；
②△ABC≌△DCB；
③∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA；
（2）证明：连接AC．
∵∠B＝∠D，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
又∵AB＝CD，AC＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形；
（3）如图①，四边形ABCD满足以上条件但显然不是矩形，
存在的合理性：
如图②，设点C，D分别是射线BN，AM上的动点，且保持∠ADC＝∠ABC（均为锐角）．
当C，B两点重合时，显然 C1D1＞AB：CD，离AB越远，CD越小（趋近于0），即存在 C2D2＜AB；
因此在C1D1 和C2D2 之间，必存在CD＝AB，故反例存在．
【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的判定、矩形的判定和全等三角形的判定和性质解答．
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．平行四边形
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．不共线的三条线段可以组成一个三角形
B．400人中有两个人的生日在同一天
C．早上的太阳从西方升起
D．打开电视机，它正在播放动画片
3．下列调查中，不适合采用普查的是（ ）
A．调查一批防疫口罩的质量
B．调查某校八年级某班同学的视力
C．为保证某种新研发的大型客机试飞成功，对其零部件进行检查
D．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检
4．把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍
C．缩小为原来的 D．扩大4倍
5．矩形具备而平行四边形不一定具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
6．如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，则当∠A＝30°时，四边形的面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接
7．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
8．分式的值为0，则x的值是 ．
9．某校对120名初二女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m）这一小组的频率为0.25，则该组的人数为 ．
10．某中学要了解八年级学生的视力情况，在八年级中抽取了80名学生进行检测，这次抽样调查的样本是 ．
11．菱形周长是20，对角线长的比为3：4，则菱形的面积为 ．
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若CD＝1，则EF的长为 ．
13．八年级（1）班有40位同学，他们的学号是1﹣40，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）．
14．若分式的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），点P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴上一点B，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17．计算：
（1）；
（2）．
18．先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
19．一个不透明的口袋中有若干个红球和黑球，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3附近．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）若袋中红球和黑球的总数为20个，估计其中黑球的个数．
20．为了了解某校八年级学生每天完成家庭作业所用时长，该校数学兴趣小组对此展开抽样调查．已知八年级共25个班级，每班40名学生．
（1）小明选择对2班全体同学进行调查，小刚选择在学校门口随机抽取10名同学．他们的抽样是否合理？请分别说明理由．
（2）设样本容量为100，请设计一个合理的抽样调查方案．
21．某校组织了关于古诗知识竞赛的活动，随机抽取了若干名学生的成绩进行统计（成绩均为整数），并将成绩按从低到高分成A，B，C，D，E五个小组，绘制如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布直方图中a的值为 ；
（2）扇形统计图中D小组所对应的扇形圆心角为n°，求n的值；
（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，全校共有3000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
22．如图，在平面直角坐标系中，A（5，2），B（﹣1，4），C（2，0）．
（1）若A，B关于点M成中心对称，在图中画出点M（描黑并标注字母，下同）；
（2）若点A绕点N顺时针旋转90°得到点B，在图中画出点N；
（3）已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D所有可能的坐标．
23．若a＞0，M＝，N＝
（1）当a＝1时，M＝ ，N＝ ；当a＝3时，M＝ ，N＝ ；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
24．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，顺次连接各点得到四边形EGFH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若AB＝CD，求证：▱EGFH是菱形．
25．如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点；
Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
26．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．在此条件下，对它“强化条件”，分别得到图1的3个命题．
（1）命题1的证明思路如下，在图1中连接AC，BD，并填充证明框图．
① ；
② ；
③ ．
（2）命题2是真命题，请在图2中完成证明．
（3）命题3是假命题，请画出反例并解释反例存在的合理性．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．平行四边形
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．不共线的三条线段可以组成一个三角形
B．400人中有两个人的生日在同一天
C．早上的太阳从西方升起
D．打开电视机，它正在播放动画片
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
解：A、不共线的三条线段可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
B、400人中有两个人的生日在同一天，是必然事件，符合题意；
C、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
D、打开电视机，它正在播放动画片，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．下列调查中，不适合采用普查的是（ ）
A．调查一批防疫口罩的质量
B．调查某校八年级某班同学的视力
C．为保证某种新研发的大型客机试飞成功，对其零部件进行检查
D．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检
【分析】直接利用全面调查和抽样调查的意义分别分析得出答案．
解：A、调查一批防疫口罩的质量，适合抽样调查，符合题意；
B、调查某校八年级某班同学的视力，适合全面调查，不合题意；
C、为保证某种新研发的大型客机试飞成功，对其零部件进行检查，必须全面调查，不合题意；
D、对乘坐某班次飞机的乘客进行安检，必须全面调查，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了全面调查和抽样调查的意义，正确理解抽样调查的意义是解题关键．
4．把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍
C．缩小为原来的 D．扩大4倍
【分析】把原分式中的x和y都扩大2倍得到，根据分式的基本性质化简得到2•，从而可对各选项进行判断．
解：分式中的x和y都扩大2倍，则原分式变形为：＝＝2•，
所以把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值扩大2倍．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
5．矩形具备而平行四边形不一定具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
【分析】根据矩形、平行四边形的性质即可判断．
解：矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形具备而平行四边形不一定具备的是矩形的对角线相等，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等是常考内容．
6．如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，则当∠A＝30°时，四边形的面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【分析】根据正方形的判定和性质解得AB＝BC＝4，进而根据含30°角的直角三角形的性质和菱形的面积解答即可．
解：将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，
过A作AE⊥CB，交CB的延长线于E，
∵∠A＝30°，AD∥BC，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝2，
∴四边形的面积＝AE•BC＝2×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，含30°角的直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接
7．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分母不等于零分式有意义，可得答案．
解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
8．分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
9．某校对120名初二女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m）这一小组的频率为0.25，则该组的人数为 30人 ．
【分析】根据频率＝频数÷总数，得频数＝总数×频率．
解：根据题意，得
该组的人数为120×0.25＝30（人）．
故答案为：30人．
【点评】此题主要考查了频数与频率．解题的关键是掌握频率＝频数÷数据的总数．
10．某中学要了解八年级学生的视力情况，在八年级中抽取了80名学生进行检测，这次抽样调查的样本是 从中抽取的30名八年级学生的视力情况 ．
【分析】样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可解答．
解：样本是：从中抽取的80名八年级学生的视力情况．
故答案是：从中抽取的30名八年级学生的视力情况．
【点评】本题考查了总体、个体的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
11．菱形周长是20，对角线长的比为3：4，则菱形的面积为 24 ．
【分析】菱形的周长是20，边长就是5，边和对角线的一半构成直角三角形，根据勾股定理求出对角线的长，菱形的面积等于对角线乘积的一半从而得解．
解：设较短对角线的一半是3x，较长对角线的一半是4x，
（3x）2+（4x）2＝52，
解得x＝1（负值舍去）．
较短的对角线长为：2•3x＝6，
较长的对角线长为：2•4x＝8．
∴菱形的面积为：＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，以及菱形的面积的计算方法和勾股定理的应用．
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若CD＝1，则EF的长为 1 ．
【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
解：∵△ABC是直角三角形，D是AB的中点，CD＝1，
∴CD是斜边的中线，
∴AB＝2CD＝2，
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝×2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，熟知直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13．八年级（1）班有40位同学，他们的学号是1﹣40，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 ③ （填序号）．
【分析】分别求出3个事件的概率即可求解．
解：①抽到的学号是奇数的可能性为；
②抽到的学号是个位数的可能性为；
③抽到的学号不小于35的可能性为，
∵，
∴发生可能性最小的事件为为③．
故答案为：③．
【点评】本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
14．若分式的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 ﹣3 ．
【分析】根据分式的值为整数，x的值也为整数，可得x﹣1＝±4或±2或±1，求出x的值，即可确定x的最小值．
解：分式的值为整数，x的值也为整数，
∴x﹣1＝±4或±2或±1，
∴x＝5或﹣3或3或﹣1或2或0，
∴x的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式的值，理解题意是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 4 ．
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ADF中运用勾股定理求得DF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案．
解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD，
Rt△ABD中，BD＝，
由折叠可得DO＝BD＝4，∠BFO＝∠DFO，
由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO，
∴∠DFO＝∠BGO，
∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，
∴BD平分FG，
∴OF＝OG，
由折叠知，BF＝DF，
设BF＝DF＝x，则AF＝16﹣x，
在Rt△ABF中，（16﹣x）2+82＝x2，
解得x＝10，即DF＝10，
∴Rt△DOF中，OF＝＝2，
∴FG＝2FO＝4．
故答案为：4．
【点评】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），点P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴上一点B，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的取值范围为 OC≥4 ．
【分析】过点D作x轴的平行线交y轴于点F，过点C作y轴的平行线交FD于点E，首先证明△AOP≌△DFP （ASA），得OA＝DF＝2，然后根据平行四边形的性质得到∠EDC＝∠OAB，再证明△ECD≌△OBA（AAS），得DE＝OA＝2，所以EF＝DE+DF＝4，根据CE⊥EF，EF∥y轴，得C点始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4，则O到这条直线的距离为4，进而可得OC长度的取值范围为OC≥4．
解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
如图，过点D作x轴的平行线交y轴于点F，过点C作y轴的平行线交FD于点E，
∴∠OAP＝∠FDP，
∵∠APO＝∠DPF，AP＝DP，
∴△AOP≌△DFP （ASA），
∴OA＝DF＝2，
在▱ABCD中，AB＝CD，
∵EF∥OA，
∴∠EDA+∠OAD＝180°，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠EDA+∠OAD﹣∠CDA﹣∠BAD＝0，
∴∠EDA﹣∠CDA＝∠BAD﹣∠OAD，
∴∠EDC＝∠OAB，
∵∠CED＝∠BOA＝90°，CD＝BA，
∴△ECD≌△OBA（AAS），
∴DE＝OA＝2，
∴EF＝DE+DF＝4，
∵CE⊥EF，EF∥y轴，
∴C点始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4，
则O到这条直线的距离为4，
∴OC长度的取值范围为OC≥4．
故答案为：OC≥4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是利用平行四边形的性质得到∠EDC＝∠OAB．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）整理第二个分式的分母，再进行分式的加减运算，约分；
（2）先把1化成分式，计算小括号，第二个分式的分子、分母因式分解，再把除法运算变成乘法运算，分子分母约分即可．
解：（1）
＝
＝
＝1；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的运算，解题的关键是掌握分式的加减乘除运算法则．
18．先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为﹣2和2，取x＝0，最后代入求出答案即可．
解：÷（1﹣）
＝÷
＝÷
＝•
＝x﹣2，
要使分式÷（1﹣）有意义，x+2≠0且x﹣2≠0，
所以x不能为﹣2和2，
取x＝0，
当x＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．一个不透明的口袋中有若干个红球和黑球，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3附近．
（1）估计摸到黑球的概率是 0.3 ；
（2）若袋中红球和黑球的总数为20个，估计其中黑球的个数．
【分析】（1）根据摸出的黑球的频率在0.3附近摆动可估计摸出一球是黑球的概率为0.3，据此可得；
（2）根据概率公式可得．
解：（1）∵经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3附近．
∴估计摸到黑球的概率为0.3；
故答案为：0.3；
（2）20×0.3＝6（个）；
答：估计其中黑球的个数6个．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20．为了了解某校八年级学生每天完成家庭作业所用时长，该校数学兴趣小组对此展开抽样调查．已知八年级共25个班级，每班40名学生．
（1）小明选择对2班全体同学进行调查，小刚选择在学校门口随机抽取10名同学．他们的抽样是否合理？请分别说明理由．
（2）设样本容量为100，请设计一个合理的抽样调查方案．
【分析】（1）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况；
（2）答案不唯一，根据样本容量为100，设计一个合理的调查方案即可．
解：（1）小明的抽样不合理．
理由：全年级每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性；
小刚的抽样不合理．
理由：样本容量太小，样本不具有广泛性．
（2）答案不唯一，如：数学兴趣小组从25个班级各随机抽取学号为9，19，29，39的4名同学进行调查．
【点评】本题主要考查总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是掌握它们的定义：①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
21．某校组织了关于古诗知识竞赛的活动，随机抽取了若干名学生的成绩进行统计（成绩均为整数），并将成绩按从低到高分成A，B，C，D，E五个小组，绘制如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 200 ，频数分布直方图中a的值为 16 ；
（2）扇形统计图中D小组所对应的扇形圆心角为n°，求n的值；
（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，全校共有3000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
【分析】（1）根据B组的频数以及百分比，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a的值；
（2）利用360°乘以对应的百分比，即可求解；
（3）利用全校总人数乘以对应的百分比，即可求解．
解：（1）样本容量为40÷20%＝200，
则a＝200×8%＝16；
故答案为：200；16；
（2）样本D的百分数为 ，
∴n＝360×35%＝126．
（3）样本D，E两组的百分数的和为1﹣25%﹣20%﹣8%＝47%，
∴3000×47%＝1410．
答：估计成绩优秀的学生有1410名．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．如图，在平面直角坐标系中，A（5，2），B（﹣1，4），C（2，0）．
（1）若A，B关于点M成中心对称，在图中画出点M（描黑并标注字母，下同）；
（2）若点A绕点N顺时针旋转90°得到点B，在图中画出点N；
（3）已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D所有可能的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的定义作出点M；
（2）根据旋转变换的性质作出旋转中心即可；
（3）根据平行四边形的定义，画出图形，可得结论．
解：（1）如图点M即为所求；
（2）如图点N即为所求；
（3）D1 （2，6），D2（8，﹣2），D3（﹣4，2）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．若a＞0，M＝，N＝
（1）当a＝1时，M＝ ，N＝ ；当a＝3时，M＝ ，N＝ ；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）利用求差法比较M与N的大小关系，根据分式的加减法运算法则进行计算，最后判断其正负．
解：（1）当a＝1时，M＝＝＝，N＝＝＝，
当a＝3时，M＝＝＝，N＝＝＝，
故答案为：，，，；
（2）M＜N，理由是：
M﹣N＝﹣，
＝，
＝﹣，
∵a＞0，
∴（a+1）（a+2）＞0，
∴﹣＜0，
即M﹣N＜0，
∴M＜N．
【点评】本题考查了分式的加减法和分式大小比较，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘；对于大小比较问题，方法为：①求商法，②求差法，③平方法等．
24．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，顺次连接各点得到四边形EGFH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若AB＝CD，求证：▱EGFH是菱形．
【分析】（1）由三角形中位线定理，得到GF∥EH，GF＝EH，推出四边形EGFH是平行四边形；
（2）由三角形中位线定理得到FG＝FH，又四边形EGFH是平行四边形，推出▱EGFH是菱形．
【解答】证明：（1）∵点E与点H分别为AD，AC的中点，
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH∥CD，EH＝CD，
同理：GF∥CD，GF＝CD，
∴GF∥EH，GF＝EH，
∴．四边形EGFH是平行四边形；
（2）∵点F与点H分别为BC，AC的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH＝AB，
∵FG＝CD，AB＝CD，
∴FH＝FG，
由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴▱EGFH是菱形．
【点评】本题考查平行四边形、菱形的判定，三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形，菱形的判定方法；三角形中位线定理．
25．如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点；
Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答即可．
解：（1）选择I，理由如下：
如图，D是AB中点， 但E显然不是AC的中点，
（2）真命题是Ⅱ或Ⅲ．
选择命题Ⅲ．
证明：如图，延长ED到点F使DF＝DE，连接BF．
∵D为AB中点，
∴AD＝BD．
在△ADE与△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴BF＝AE，∠F＝∠AED，
∴AC∥BF，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF＝CE，
又∵BF＝AE，
∴CE＝AE，
即E是AC的中点．
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答．
26．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．在此条件下，对它“强化条件”，分别得到图1的3个命题．
（1）命题1的证明思路如下，在图1中连接AC，BD，并填充证明框图．
① ∠BAD＝∠CDA ；
② △ABC≌△DCB ；
③ ∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA ．
（2）命题2是真命题，请在图2中完成证明．
（3）命题3是假命题，请画出反例并解释反例存在的合理性．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出命题即可；
（2）连接AC，根据全等三角形的判定和性质得出AD＝BC，进而利用平行四边形和矩形的判定解答即可；
（3）根据矩形的判定解答即可．
解：（1）在△ABD与△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠BAD＝∠CDA；
同理可得：△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA；
故答案为：①∠BAD＝∠CDA；
②△ABC≌△DCB；
③∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA；
（2）证明：连接AC．
∵∠B＝∠D，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
又∵AB＝CD，AC＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形；
（3）如图①，四边形ABCD满足以上条件但显然不是矩形，
存在的合理性：
如图②，设点C，D分别是射线BN，AM上的动点，且保持∠ADC＝∠ABC（均为锐角）．
当C，B两点重合时，显然 C1D1＞AB：CD，离AB越远，CD越小（趋近于0），即存在 C2D2＜AB；
因此在C1D1 和C2D2 之间，必存在CD＝AB，故反例存在．
【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的判定、矩形的判定和全等三角形的判定和性质解答．
相关试卷
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区五校七年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区五校七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
