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2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区四校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. “顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件
B. “在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C. “从一副扑克牌(含大小王)中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D. 可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
3.某煤矿原计划x天生产120t煤，由于采用新的技术，每天增加生产3t，因此提前2天完成，列出的方程为( )
A. 120x−2=120x−3B. 120x=120x+2−3C. 120x+2=120x−3D. 120x=120x−2−3
4.顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是矩形，则原四边形一定是( )
A. 平行四边形B. 对角线相等的四边形
C. 对角线互相垂直的四边形D. 矩形
5.如图，AB//CD，E、F分别为AC、BD的中点，若AB=6，CD=4，则EF的长为( )
A. 5
B. 3
C. 2
D. 1
6.如图，正方形ABCD的边长为2，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A、D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D、C重合)，点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：
①∠BGF是定值；
②FB平分∠AFC；
③当E运动到AD中点时，GH= 52；
④当AG+BG= 6时，四边形GEDF的面积是12．
其中正确的是( )
A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ①④
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.当x=____时，分式x2−9x−3的值为零．
8.任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为______.①面朝上的点数小于2；②面朝上的点数大于2；③面朝上的点数是奇数．
9.一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，则第5组数据的频数为______，频率为______．
10.若分式x+y2xy的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是______．
11.x+1x=4，求x2x4+x2+1的值______．
12.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B处，若∠1=∠2=42°，则∠B=______．
13.如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF//BE，交DE的延长线于点F，若EF=6，则DE的长为______．
14.▱ABCD的周长是32cm，∠ABC的平分线交AD所在直线于点E，且AE：ED=3：2，则AB的长为______．
15.如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于______．
16.如图，矩形ABCD的边AB=112，BC=3，E为AB上一点，且AE=1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF=EG，连接CG，则CG的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)2aba2−b2−ba+b；
(2)2x2x+y−x+y；
18.(本小题5分)
甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次.两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭.设前后两次的米价分别是每千克m元和n元(m>0,n>0,m≠n)，请问谁的购买方式合算？
19.(本小题5分)
某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t(单位：min)，然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表．
课外阅读时间频数分布表
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
(1)a=______，b=______；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)若全校共1000名学生，估计有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？
20.(本小题4分)
六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他相同)的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．
(1)求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；
(2)请你估计袋中白球接近多少个？
21.(本小题6分)
如图，已知在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E、F是对角线BD上两点，且BE=DF.求证：AE=CF．
22.(本小题6分)
如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A(−3,4)、B(−7,1)、C(−2,1)．
(1)请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标：______；
(2)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，直接写出点A的对应点P的坐标：______；
(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标：______．
23.(本小题8分)
如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．
(1)作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上，并根据你的作法证明你的结论；
(2)若∠C=90°，AB=8，BP=4，求(1)中所作菱形AMPN的面积．
24.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．
(1)当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
(2)在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求处当四边形ODQP为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标(请直接写出答案，不必写过程)．
25.(本小题10分)
阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：x2−2x+3x−1=x(x−1)−x+3x−1=x+−(x−1)+2x−1=x−1+2x−1，这样，分式就拆分成了一个分式2x−1与一个整式x−1的和的形式.根据以上阅读材料，解答问题：
(1)将下列分式化为一个整式和一个分式(此分式的分子为整数)的形式：
①x+5x+4= ______；②2x2−4x+1x−2= ______；
(2)利用分离常数法，求分式−2x2+3x2+1的最大值．
(3)已知：P=x+2，Q=8xx+2，设y=4P−Q12，若x，y均为非零整数，求xy的值．
26.(本小题10分)
数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F.探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，他发现AF与DE之间的数量关系是______.若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．
(1)请你按照小明的思路，完成解题过程；
(2)你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、C、D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：A、“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件，故A符合题意；
B、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故B不符合题意；
C、“从一副扑克牌(含大小王)中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，故C不符合题意；
D、可能性是50%的事件，是指这个事件发生的可能性是50%，故D不符合题意；
故选：A．
根据中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键设出天数，以工作效率作为等量关系列方程．设原计划x天生产120t煤，则实际(x−2)天生产120t煤，等量关系为：原计划工作效率=实际工作效率−3，依此可列出方程．
【解答】
解：设原计划x天生产120t煤，则实际(x−2)天生产120t煤，
根据题意得，120x=120x−2−3．
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC、BD．
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F分别是AD、AB各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF//BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH//AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD，
故原图形一定是：对角线互相垂直的四边形．
故选：C．
连接AC、BD.根据矩形的性质、三角形中位线定理，只要证明AC⊥BD即可解决问题．
本题考查中点四边形、矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：连接DE并延长交AB于H，如图所示：
∵CD//AB，
∴∠C=∠A，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
在△DCE和△HAE中，
∠C=∠ACE=AE∠CED=∠AEH，
∴△DCE≌△HAE(ASA)，
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF=12BH，
∴BH=AB−AH=AB−DC=6−4=2，
∴EF=1，
故选：D．
连接DE并延长交AB于H，由ASA证得△DCE≌△HAE，得出DE=HE，DC=AH，则EF是△DHB的中位线，再根据中位线的性质即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形中位线定理等知识；关键是正确画出辅助线，证明△DCE≌△HAE．
6.【答案】C
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAE=∠D=90°，
在△BAE和△ADF中，
AE=DF∠BAE=∠DAB=AD，
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG=90°，
∴∠AGB=90°，
∴∠BGF是定值；故①正确；
②根据题意无法判断∠AFB与∠CFB的大小，FB平分∠AFC；
故②错误；
③当E运动到AD中点时，
当F运动到DC中点，
∴CF=12CD=1，
∴BF= 5，
∵H为BF中点，
∴GH=12BF= 52；故③正确；
④∵△BAE≌△ADF，
∴四边形GEDF的面积=△ABG的面积，
当AG+BG= 6时，
(AG+BG)2=AG2+2AG⋅BG+BG2=6，
∵AG2+BG2=AB2=4，
∴2AG⋅BG=2，
∴AG⋅BG=1，
∴S△ABG=12AG⋅BG=12，
∴四边形GEDF的面积是12.故④正确．
故其中正确的是①③④．
故选：C．
根据全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理逐一进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
7.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：要使分式为0，则分子x2−9=0，解得：x=±3．
而x=−3时，分母x−3=−6≠0．
x=3时分母x−3=0，分式没有意义．
所以x的值为−3．
故答案为：−3．
8.【答案】①③②
【解析】解：任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能结果，
其中①面朝上的点数小于2的有1种结果，其概率为16；
②面朝上的点数大于2的有4种结果，其概率为46=23；
③面朝上的点数是奇数的有3种结果，其概率为36=12；
所以按事件发生的可能性大小，按从小到大排列为①③②，
故答案为：①③②．
根据概率公式分别求出每种情况发生的概率，然后比较出它们的大小即可．
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
9.【答案】20；0.4
【解析】解：根据题意可得：第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，
共(2+8+15+5)=30，
样本总数为50，
故第5小组的频数是50−30=20，
频率是2050=0.4．
故答案为20，0.4．
总数减去其它四组的数据就是第5组的频数，用频数除以数据总数就是频率．
本题考查频率、频数的关系．
10.【答案】53
【解析】解：由题意，x+y2xy=5，
∴3x+3y2×3x×3y=13×x+y2xy=53．
故答案为：53．
判断出x+y2xy=5，利用整体代入的思想解决问题．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
11.【答案】115
【解析】解：∵x+1x=4，
∴x≠0，
∴x2x4+x2+1=1x2+1+1x2
=1(x+1x)2−1
=142−1
=115；
故答案为：115．
由x+1x=4可得x≠0，结合x2x4+x2+1=1(x+1x)2−1，再代入计算即可得到答案．
本题考查的是分式的基本性质，分式的求值，熟记分式的基本性质是解本题的关键．
12.【答案】117°
【解析】解：∵四边形ABCD
∴AB//CD，
∴∠1=∠B′AB=42°
∵将▱ABCD沿对角线AC折叠
∴∠BAC=∠B′AC=21°
∴∠B=180°−∠2−∠BAC=117°
故答案为：117°
由平行线的性质可得∠1=∠B′AB=42°，由折叠的性质可得∠BAC=∠B′AC=21°，即可求解．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴EF//BC，
∵CF//BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC=EF=6，
∴DE=12BC=3，
故答案为：3．
先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC=EF=6，再根据中位线定理即可求解．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形判定与性质等知识，熟知三角形中位线定理是解题的关键．
14.【答案】6cm或12cm
【解析】解：分两种情况：
①角平分线AD在▱ABCD内部，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴AB+AD=12×32=16(cm)，∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AE：ED=3：2，
∴AB：AD=3：5，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×38=6(cm)．
②角平分线AD在▱ABCD外部，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴AB+AD=12×32=16(cm)，∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AE：ED=3：2，
∴AB：AD=3：1，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×34=12(cm)；
故答案为：6cm或12cm．
证△ABE是等腰三角形，分两种情况，分别求得答案即可．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论．
15.【答案】4.8
【解析】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为24，
∴AB=AD=5，S△ABD=12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴12×AB×PE+12×PF×AD=12，
∴12×5×(PE+PF)=12，
∴PE+PF=4.8．
故答案为：4.8．
直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确得出12×AB×PE+12×PF×AD=S△ABD是解题关键．
16.【答案】2.5
【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN//AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB=112，BC=3，
∴∠B=90°，CD=112，AD=3，
∵AE=1，
∴BE=92，
∵∠GHE=∠A=∠GEF=90°，
∴∠GEH+∠EGH=90°，∠GEH+∠FEA=90°，
∴∠EGH=∠FEA，
又∵GE=EF，
∴△GEH≌△FEA(AAS)，
∴GH=AE=1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF=EH=3，
∴CG的最小值= (112−1−3)2+22=2.5，
故答案为：2.5．
过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN//AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH=AE=1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2ab(a+b)(a−b)−b(a−b)(a+b)(a−b)
=2ab−ab+b2(a+b)(a−b)
=b(a+b)(a+b)(a−b)
=ba−b；
(2)原式=2x2−(x−y)(x+y)x+y
=2x2−x2+y2x+y
=x2+y2x+y．
【解析】(1)先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解；
(2)先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解．
本题主要考查了异分母分式相加减，掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
18.【答案】解：甲的平均单价：每千克20m+20n40=m+n2元，
乙的平均单价：每千克4020m+20n=2mnm+n元，
m+n2−2mnm+n=(m−n)22(m+n)．
∵m+n>0m≠n，(m−n)2>0，
∴(m−n)22(m+n)>0，
所以乙家庭合算．
【解析】根据甲的消费额除以甲的购买数量，可得甲的单价，乙的消费额除以甲的购买数量，可得乙的单价，根据分式的减法，可得答案．
本题考查了分式的加减，利用消费额除以购买数量等于单价得出甲、乙的单价是解题关键．
19.【答案】(1)20 32% ;
(2)补全图形如下：
(3)估计平均每天的课外阅读时间不少于50min的学生有1000×(40%+32%+4%)=760人．
【解析】解：(1)a=50×40%=20、b=16÷50×100%=32%，
故答案为：20、32%；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)利用百分比=所占人数总人数，计算即可；
(2)根据b的值计算即可；
(3)用一般估计总体的思想思考问题即可．
本题考查表示频数分布直方图、频数分布表、总体、个体、百分比之间的关系等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)1000÷4000=14，
∴参加一次这种活动得到的福娃玩具的概率为14；
(2)∵试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论概率，
∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为14．
设袋中白球有x个，根据题意得6x+6=14
解得x=18，经检x=18是方程的解，
∴估计袋中白球接近18个．
【解析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
(1)根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小；
(2)用(1)中求得的概率和概率公式列出有关白球个数的方程即可求解．
21.【答案】证明：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB//CD．
∴∠ABE=∠CDF．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE=CF．
【解析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证△ABE≌△CDF，即可证明AE=CF．
本题主要考查平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22.【答案】(3,−4) (4,3) (−8,4)或(2,4)或(−6,−2)
【解析】解：(1)△A′B′C′，如图所示，A′(3,−4)．
(2)如图所示，P(4,3)．
(3)满足条件的点D的坐标为(−8,4)或(2,4)或(−6,−2)．
故答案为：(3,4)，(4,3)，(−8,4)或(2,4)或(−6,−2)．
(1)分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
(2)作出点A的对应点P即可解决问题．
(3)分三种情形，画出图形，写出坐标即可．
本题考查作图−旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，
证明：∵MN是AP的垂直平分线，
∴AN=PN，AM=PM，∠AON=∠AOM=90°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠NAO=∠MAO，
∵AO=AO
∴△AON≌△AOM(ASA)，
∴AN=AM，
∴AN=PN=PM=AM，
∴四边形AMPN是菱形；
(2)∵四边形AMPN是菱形，
∴AN=PN=PM=AM，PM//AC，
∵∠C=90°，AB=8，BP=4，
∴∠BPM=∠C=90°，
设AN=PN=PM=AM=x，则BM=8−x，
由勾股定理得：BM2=PM2+BP2，
∴(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴BM=8−3=5，
∵PM//AC，
∴BMAB=BPBC，即58=4BC，
解得：BC=325，
∴PC=BC−BP=325−4=125，
∴菱形AMPN的面积=AN⋅PC=3×125=365．
【解析】(1)作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，通过证明四条边相等即可证明；
(2)由四边形AMPN是菱形、∠C=90°，可得△BPM为直角三角形，通过勾股定理求得PB、PM、BM的长度，再由相似三角形求得PC的长度，最后由AN⋅PC求得AMPN的面积．
本题考查了尺规作图，菱形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，菱形面积的求法等知识，掌握菱形的判定方法，利用勾股定理求出菱形的边长是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴t=5．
(2)∵ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC= PO2−OC2= 52−42=3，
∴t=3，
CQ=PC+PQ=3+5=8，
∴点Q的坐标为(8,4)．
(3)当P1O=OD=5时，由勾股定理可以求得P1C=3，
P2O=P2D时，作P2E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
当P3D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F=3，
∴P3C=2；
当P4D=OD=5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得
DG=3，
∴OG=8．
∴P1(3,4)，P2(2.5,4)，P3(2,4)，P4(8,4)．
【解析】(1)根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值．
(2)要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．
(3)当P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5时分别作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐标．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．解决本题的关键是熟记平行四边形、菱形的判定．
25.【答案】1+1x+4 2x+1x−2
【解析】解：(1)将下列分式化为一个整式和一个分式(此分式的分子为整数)的形式：
①x+5x+4=x+4+1x+4=x+4x+4+1x+1=1+1x+4；
②2x2−4x+1x−2=2x(x−2)+1x−2=2x+1x−2．
故答案为：1+1x+4，2x+1x−2；
(2)−2x2+3x2+1=−2(x2+1)+5x2+1=−2(x2+1)x2+1+5x2+1=−2+5x2+1，
∵x2≥0，当x=0时，分式−2x2+3x2+1中分母不为零，有意义，且分式值最大，
当x>0时，分母的值越大，分式的值越小，
∴当x=0时，−2x2+3x2+1=−2(x2+1)+5x2+1=−2+5x2+1=−2+50+1=−2+5=3，
即当x=0时，分式−2x2+3x2+1有最大值，最大值为3．
(3)∵y=4P−Q12，P=x+2，Q=8xx+2，
∴y=4P−Q12
=4x+2−8x12(x+2)
=12−2x3(x+2)
=−2(x+2)+163(x+2)
=−23+163(x+2)，
∵x、y均为非零整数，
∴当x=−3时，y=−6，此时xy=18，
当x=−6时，y=−2，此时xy=12，
当x=−18时，y=−1，此时xy=18，
综上所述，xy的值为18或12．
(1)根据题意，x+5x+4=x+4+1x+4=x+4x+4+1x+4=1+1x+4，2x2−4x+1x−2=2x(x−2)+1x−2=2x+1x−2，由此即可求解；
(2)用分离常数法，分式−2x2+3x2+1得−2x2+3x2+1=−2+5x2+1，由此即可求解．
(3)先计算得到y=4P−Q12=−23+163(x+2)，由x、y均为非零整数，即可得到答案．
本题主要考查分式的综合运用，解题的关键是运用“分离常数法”对分式化为一个整式和一个分式(此分式的分子为整数)的形式．
26.【答案】AF= 2DE
【解析】解：AF= 2DE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AC⊥BD，AE=BE=CE=DE．
∵AB2=AE2+BE2，
∴AB2=2DE2，
∵B点与F点重合，
∴AF2=2DE2，
∴AF= 2DE；
(1)如图③，延长BC，作DG//AF，交BC的延长线于点G，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD−90°，AB=BC=CD=AD，AD//BC，
∵DG//AF，AD//BC，
∴四边形AFGD为平行四边形，
∴AF=DG，AD=FG，
∴FG=CD．
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，∠ACD=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴EF=EC．
∴∠EFC=∠ECD．
∴△CDE≌△FGE(SAS)．
∴ED=EG，∠FEG=∠CED．
∴∠DEG=∠FEC=90°，
∴△DEG是等腰直角三角，
∴DG2=DE2+EG2=2DE2，
∴DG= 2DE，
∴AF= 2DE，
故答案为：AF= 2DE．
(2)如图④，作DG⊥DE，并截取DG=DE，连接AG、GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，CD=AD，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
同理，∠ACB=45°，
∵GD⊥DE，
∴∠GDE=90°，
又∵DG=DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG2=DE2+DG2=2DE2，
∴EG= 2DE，
∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠GDA=∠EDC，
∴△GDA≌Δ EDC(SAS)，
∴∠GAD=∠ECD=45°，AG=EC，
∴∠GAE=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=∠FEA=90°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴EF=EC．
∴EF=AG，
∵∠GAE=∠FEA=90°，
∴AG//EF，
∴四边形AGEF为平行四边形，
∴AF=EG．
∵AF= 2DE．
(1)延长BC，作DGLAF，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形，从而证明ACDEAFGE得到DEG是等腰直角三角形，得到DG=2DE，故可求解；
(2)作DGIDE，并截取DG−DE，连接AG，证明DEG是等腰直角三角形，得到EGEDE，再证明GDAAEDC EF=AG，AGIEF，再得到四边形GEF为平行四边形，则AF=EG，故可求解(1)．
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．课外阅读时间t
频数
百分比
10≤t<30
4
8%
30≤t<50
8
16%
50≤t<70
a
40%
70≤t<90
16
b
90≤t<110
2
4%
合计
50
100%
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. “顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件
B. “在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C. “从一副扑克牌(含大小王)中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D. 可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
3.某煤矿原计划x天生产120t煤，由于采用新的技术，每天增加生产3t，因此提前2天完成，列出的方程为( )
A. 120x−2=120x−3B. 120x=120x+2−3C. 120x+2=120x−3D. 120x=120x−2−3
4.顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是矩形，则原四边形一定是( )
A. 平行四边形B. 对角线相等的四边形
C. 对角线互相垂直的四边形D. 矩形
5.如图，AB//CD，E、F分别为AC、BD的中点，若AB=6，CD=4，则EF的长为( )
A. 5
B. 3
C. 2
D. 1
6.如图，正方形ABCD的边长为2，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A、D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D、C重合)，点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：
①∠BGF是定值；
②FB平分∠AFC；
③当E运动到AD中点时，GH= 52；
④当AG+BG= 6时，四边形GEDF的面积是12．
其中正确的是( )
A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ①④
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.当x=____时，分式x2−9x−3的值为零．
8.任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为______.①面朝上的点数小于2；②面朝上的点数大于2；③面朝上的点数是奇数．
9.一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，则第5组数据的频数为______，频率为______．
10.若分式x+y2xy的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是______．
11.x+1x=4，求x2x4+x2+1的值______．
12.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B处，若∠1=∠2=42°，则∠B=______．
13.如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF//BE，交DE的延长线于点F，若EF=6，则DE的长为______．
14.▱ABCD的周长是32cm，∠ABC的平分线交AD所在直线于点E，且AE：ED=3：2，则AB的长为______．
15.如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于______．
16.如图，矩形ABCD的边AB=112，BC=3，E为AB上一点，且AE=1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF=EG，连接CG，则CG的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)2aba2−b2−ba+b；
(2)2x2x+y−x+y；
18.(本小题5分)
甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次.两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭.设前后两次的米价分别是每千克m元和n元(m>0,n>0,m≠n)，请问谁的购买方式合算？
19.(本小题5分)
某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t(单位：min)，然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表．
课外阅读时间频数分布表
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
(1)a=______，b=______；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)若全校共1000名学生，估计有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？
20.(本小题4分)
六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他相同)的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．
(1)求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；
(2)请你估计袋中白球接近多少个？
21.(本小题6分)
如图，已知在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E、F是对角线BD上两点，且BE=DF.求证：AE=CF．
22.(本小题6分)
如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A(−3,4)、B(−7,1)、C(−2,1)．
(1)请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标：______；
(2)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，直接写出点A的对应点P的坐标：______；
(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标：______．
23.(本小题8分)
如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．
(1)作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上，并根据你的作法证明你的结论；
(2)若∠C=90°，AB=8，BP=4，求(1)中所作菱形AMPN的面积．
24.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．
(1)当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
(2)在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求处当四边形ODQP为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标(请直接写出答案，不必写过程)．
25.(本小题10分)
阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：x2−2x+3x−1=x(x−1)−x+3x−1=x+−(x−1)+2x−1=x−1+2x−1，这样，分式就拆分成了一个分式2x−1与一个整式x−1的和的形式.根据以上阅读材料，解答问题：
(1)将下列分式化为一个整式和一个分式(此分式的分子为整数)的形式：
①x+5x+4= ______；②2x2−4x+1x−2= ______；
(2)利用分离常数法，求分式−2x2+3x2+1的最大值．
(3)已知：P=x+2，Q=8xx+2，设y=4P−Q12，若x，y均为非零整数，求xy的值．
26.(本小题10分)
数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F.探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，他发现AF与DE之间的数量关系是______.若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．
(1)请你按照小明的思路，完成解题过程；
(2)你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、C、D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：A、“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件，故A符合题意；
B、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故B不符合题意；
C、“从一副扑克牌(含大小王)中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，故C不符合题意；
D、可能性是50%的事件，是指这个事件发生的可能性是50%，故D不符合题意；
故选：A．
根据中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键设出天数，以工作效率作为等量关系列方程．设原计划x天生产120t煤，则实际(x−2)天生产120t煤，等量关系为：原计划工作效率=实际工作效率−3，依此可列出方程．
【解答】
解：设原计划x天生产120t煤，则实际(x−2)天生产120t煤，
根据题意得，120x=120x−2−3．
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC、BD．
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F分别是AD、AB各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF//BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH//AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD，
故原图形一定是：对角线互相垂直的四边形．
故选：C．
连接AC、BD.根据矩形的性质、三角形中位线定理，只要证明AC⊥BD即可解决问题．
本题考查中点四边形、矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：连接DE并延长交AB于H，如图所示：
∵CD//AB，
∴∠C=∠A，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
在△DCE和△HAE中，
∠C=∠ACE=AE∠CED=∠AEH，
∴△DCE≌△HAE(ASA)，
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF=12BH，
∴BH=AB−AH=AB−DC=6−4=2，
∴EF=1，
故选：D．
连接DE并延长交AB于H，由ASA证得△DCE≌△HAE，得出DE=HE，DC=AH，则EF是△DHB的中位线，再根据中位线的性质即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形中位线定理等知识；关键是正确画出辅助线，证明△DCE≌△HAE．
6.【答案】C
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAE=∠D=90°，
在△BAE和△ADF中，
AE=DF∠BAE=∠DAB=AD，
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG=90°，
∴∠AGB=90°，
∴∠BGF是定值；故①正确；
②根据题意无法判断∠AFB与∠CFB的大小，FB平分∠AFC；
故②错误；
③当E运动到AD中点时，
当F运动到DC中点，
∴CF=12CD=1，
∴BF= 5，
∵H为BF中点，
∴GH=12BF= 52；故③正确；
④∵△BAE≌△ADF，
∴四边形GEDF的面积=△ABG的面积，
当AG+BG= 6时，
(AG+BG)2=AG2+2AG⋅BG+BG2=6，
∵AG2+BG2=AB2=4，
∴2AG⋅BG=2，
∴AG⋅BG=1，
∴S△ABG=12AG⋅BG=12，
∴四边形GEDF的面积是12.故④正确．
故其中正确的是①③④．
故选：C．
根据全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理逐一进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
7.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：要使分式为0，则分子x2−9=0，解得：x=±3．
而x=−3时，分母x−3=−6≠0．
x=3时分母x−3=0，分式没有意义．
所以x的值为−3．
故答案为：−3．
8.【答案】①③②
【解析】解：任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能结果，
其中①面朝上的点数小于2的有1种结果，其概率为16；
②面朝上的点数大于2的有4种结果，其概率为46=23；
③面朝上的点数是奇数的有3种结果，其概率为36=12；
所以按事件发生的可能性大小，按从小到大排列为①③②，
故答案为：①③②．
根据概率公式分别求出每种情况发生的概率，然后比较出它们的大小即可．
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
9.【答案】20；0.4
【解析】解：根据题意可得：第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，
共(2+8+15+5)=30，
样本总数为50，
故第5小组的频数是50−30=20，
频率是2050=0.4．
故答案为20，0.4．
总数减去其它四组的数据就是第5组的频数，用频数除以数据总数就是频率．
本题考查频率、频数的关系．
10.【答案】53
【解析】解：由题意，x+y2xy=5，
∴3x+3y2×3x×3y=13×x+y2xy=53．
故答案为：53．
判断出x+y2xy=5，利用整体代入的思想解决问题．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
11.【答案】115
【解析】解：∵x+1x=4，
∴x≠0，
∴x2x4+x2+1=1x2+1+1x2
=1(x+1x)2−1
=142−1
=115；
故答案为：115．
由x+1x=4可得x≠0，结合x2x4+x2+1=1(x+1x)2−1，再代入计算即可得到答案．
本题考查的是分式的基本性质，分式的求值，熟记分式的基本性质是解本题的关键．
12.【答案】117°
【解析】解：∵四边形ABCD
∴AB//CD，
∴∠1=∠B′AB=42°
∵将▱ABCD沿对角线AC折叠
∴∠BAC=∠B′AC=21°
∴∠B=180°−∠2−∠BAC=117°
故答案为：117°
由平行线的性质可得∠1=∠B′AB=42°，由折叠的性质可得∠BAC=∠B′AC=21°，即可求解．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴EF//BC，
∵CF//BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC=EF=6，
∴DE=12BC=3，
故答案为：3．
先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC=EF=6，再根据中位线定理即可求解．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形判定与性质等知识，熟知三角形中位线定理是解题的关键．
14.【答案】6cm或12cm
【解析】解：分两种情况：
①角平分线AD在▱ABCD内部，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴AB+AD=12×32=16(cm)，∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AE：ED=3：2，
∴AB：AD=3：5，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×38=6(cm)．
②角平分线AD在▱ABCD外部，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴AB+AD=12×32=16(cm)，∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AE：ED=3：2，
∴AB：AD=3：1，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×34=12(cm)；
故答案为：6cm或12cm．
证△ABE是等腰三角形，分两种情况，分别求得答案即可．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论．
15.【答案】4.8
【解析】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为24，
∴AB=AD=5，S△ABD=12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴12×AB×PE+12×PF×AD=12，
∴12×5×(PE+PF)=12，
∴PE+PF=4.8．
故答案为：4.8．
直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确得出12×AB×PE+12×PF×AD=S△ABD是解题关键．
16.【答案】2.5
【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN//AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB=112，BC=3，
∴∠B=90°，CD=112，AD=3，
∵AE=1，
∴BE=92，
∵∠GHE=∠A=∠GEF=90°，
∴∠GEH+∠EGH=90°，∠GEH+∠FEA=90°，
∴∠EGH=∠FEA，
又∵GE=EF，
∴△GEH≌△FEA(AAS)，
∴GH=AE=1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF=EH=3，
∴CG的最小值= (112−1−3)2+22=2.5，
故答案为：2.5．
过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN//AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH=AE=1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2ab(a+b)(a−b)−b(a−b)(a+b)(a−b)
=2ab−ab+b2(a+b)(a−b)
=b(a+b)(a+b)(a−b)
=ba−b；
(2)原式=2x2−(x−y)(x+y)x+y
=2x2−x2+y2x+y
=x2+y2x+y．
【解析】(1)先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解；
(2)先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解．
本题主要考查了异分母分式相加减，掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
18.【答案】解：甲的平均单价：每千克20m+20n40=m+n2元，
乙的平均单价：每千克4020m+20n=2mnm+n元，
m+n2−2mnm+n=(m−n)22(m+n)．
∵m+n>0m≠n，(m−n)2>0，
∴(m−n)22(m+n)>0，
所以乙家庭合算．
【解析】根据甲的消费额除以甲的购买数量，可得甲的单价，乙的消费额除以甲的购买数量，可得乙的单价，根据分式的减法，可得答案．
本题考查了分式的加减，利用消费额除以购买数量等于单价得出甲、乙的单价是解题关键．
19.【答案】(1)20 32% ;
(2)补全图形如下：
(3)估计平均每天的课外阅读时间不少于50min的学生有1000×(40%+32%+4%)=760人．
【解析】解：(1)a=50×40%=20、b=16÷50×100%=32%，
故答案为：20、32%；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)利用百分比=所占人数总人数，计算即可；
(2)根据b的值计算即可；
(3)用一般估计总体的思想思考问题即可．
本题考查表示频数分布直方图、频数分布表、总体、个体、百分比之间的关系等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)1000÷4000=14，
∴参加一次这种活动得到的福娃玩具的概率为14；
(2)∵试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论概率，
∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为14．
设袋中白球有x个，根据题意得6x+6=14
解得x=18，经检x=18是方程的解，
∴估计袋中白球接近18个．
【解析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
(1)根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小；
(2)用(1)中求得的概率和概率公式列出有关白球个数的方程即可求解．
21.【答案】证明：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB//CD．
∴∠ABE=∠CDF．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE=CF．
【解析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证△ABE≌△CDF，即可证明AE=CF．
本题主要考查平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22.【答案】(3,−4) (4,3) (−8,4)或(2,4)或(−6,−2)
【解析】解：(1)△A′B′C′，如图所示，A′(3,−4)．
(2)如图所示，P(4,3)．
(3)满足条件的点D的坐标为(−8,4)或(2,4)或(−6,−2)．
故答案为：(3,4)，(4,3)，(−8,4)或(2,4)或(−6,−2)．
(1)分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
(2)作出点A的对应点P即可解决问题．
(3)分三种情形，画出图形，写出坐标即可．
本题考查作图−旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，
证明：∵MN是AP的垂直平分线，
∴AN=PN，AM=PM，∠AON=∠AOM=90°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠NAO=∠MAO，
∵AO=AO
∴△AON≌△AOM(ASA)，
∴AN=AM，
∴AN=PN=PM=AM，
∴四边形AMPN是菱形；
(2)∵四边形AMPN是菱形，
∴AN=PN=PM=AM，PM//AC，
∵∠C=90°，AB=8，BP=4，
∴∠BPM=∠C=90°，
设AN=PN=PM=AM=x，则BM=8−x，
由勾股定理得：BM2=PM2+BP2，
∴(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴BM=8−3=5，
∵PM//AC，
∴BMAB=BPBC，即58=4BC，
解得：BC=325，
∴PC=BC−BP=325−4=125，
∴菱形AMPN的面积=AN⋅PC=3×125=365．
【解析】(1)作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，通过证明四条边相等即可证明；
(2)由四边形AMPN是菱形、∠C=90°，可得△BPM为直角三角形，通过勾股定理求得PB、PM、BM的长度，再由相似三角形求得PC的长度，最后由AN⋅PC求得AMPN的面积．
本题考查了尺规作图，菱形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，菱形面积的求法等知识，掌握菱形的判定方法，利用勾股定理求出菱形的边长是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴t=5．
(2)∵ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC= PO2−OC2= 52−42=3，
∴t=3，
CQ=PC+PQ=3+5=8，
∴点Q的坐标为(8,4)．
(3)当P1O=OD=5时，由勾股定理可以求得P1C=3，
P2O=P2D时，作P2E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
当P3D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F=3，
∴P3C=2；
当P4D=OD=5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得
DG=3，
∴OG=8．
∴P1(3,4)，P2(2.5,4)，P3(2,4)，P4(8,4)．
【解析】(1)根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值．
(2)要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．
(3)当P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5时分别作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐标．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．解决本题的关键是熟记平行四边形、菱形的判定．
25.【答案】1+1x+4 2x+1x−2
【解析】解：(1)将下列分式化为一个整式和一个分式(此分式的分子为整数)的形式：
①x+5x+4=x+4+1x+4=x+4x+4+1x+1=1+1x+4；
②2x2−4x+1x−2=2x(x−2)+1x−2=2x+1x−2．
故答案为：1+1x+4，2x+1x−2；
(2)−2x2+3x2+1=−2(x2+1)+5x2+1=−2(x2+1)x2+1+5x2+1=−2+5x2+1，
∵x2≥0，当x=0时，分式−2x2+3x2+1中分母不为零，有意义，且分式值最大，
当x>0时，分母的值越大，分式的值越小，
∴当x=0时，−2x2+3x2+1=−2(x2+1)+5x2+1=−2+5x2+1=−2+50+1=−2+5=3，
即当x=0时，分式−2x2+3x2+1有最大值，最大值为3．
(3)∵y=4P−Q12，P=x+2，Q=8xx+2，
∴y=4P−Q12
=4x+2−8x12(x+2)
=12−2x3(x+2)
=−2(x+2)+163(x+2)
=−23+163(x+2)，
∵x、y均为非零整数，
∴当x=−3时，y=−6，此时xy=18，
当x=−6时，y=−2，此时xy=12，
当x=−18时，y=−1，此时xy=18，
综上所述，xy的值为18或12．
(1)根据题意，x+5x+4=x+4+1x+4=x+4x+4+1x+4=1+1x+4，2x2−4x+1x−2=2x(x−2)+1x−2=2x+1x−2，由此即可求解；
(2)用分离常数法，分式−2x2+3x2+1得−2x2+3x2+1=−2+5x2+1，由此即可求解．
(3)先计算得到y=4P−Q12=−23+163(x+2)，由x、y均为非零整数，即可得到答案．
本题主要考查分式的综合运用，解题的关键是运用“分离常数法”对分式化为一个整式和一个分式(此分式的分子为整数)的形式．
26.【答案】AF= 2DE
【解析】解：AF= 2DE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AC⊥BD，AE=BE=CE=DE．
∵AB2=AE2+BE2，
∴AB2=2DE2，
∵B点与F点重合，
∴AF2=2DE2，
∴AF= 2DE；
(1)如图③，延长BC，作DG//AF，交BC的延长线于点G，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD−90°，AB=BC=CD=AD，AD//BC，
∵DG//AF，AD//BC，
∴四边形AFGD为平行四边形，
∴AF=DG，AD=FG，
∴FG=CD．
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，∠ACD=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴EF=EC．
∴∠EFC=∠ECD．
∴△CDE≌△FGE(SAS)．
∴ED=EG，∠FEG=∠CED．
∴∠DEG=∠FEC=90°，
∴△DEG是等腰直角三角，
∴DG2=DE2+EG2=2DE2，
∴DG= 2DE，
∴AF= 2DE，
故答案为：AF= 2DE．
(2)如图④，作DG⊥DE，并截取DG=DE，连接AG、GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，CD=AD，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
同理，∠ACB=45°，
∵GD⊥DE，
∴∠GDE=90°，
又∵DG=DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG2=DE2+DG2=2DE2，
∴EG= 2DE，
∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠GDA=∠EDC，
∴△GDA≌Δ EDC(SAS)，
∴∠GAD=∠ECD=45°，AG=EC，
∴∠GAE=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=∠FEA=90°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴EF=EC．
∴EF=AG，
∵∠GAE=∠FEA=90°，
∴AG//EF，
∴四边形AGEF为平行四边形，
∴AF=EG．
∵AF= 2DE．
(1)延长BC，作DGLAF，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形，从而证明ACDEAFGE得到DEG是等腰直角三角形，得到DG=2DE，故可求解；
(2)作DGIDE，并截取DG−DE，连接AG，证明DEG是等腰直角三角形，得到EGEDE，再证明GDAAEDC EF=AG，AGIEF，再得到四边形GEF为平行四边形，则AF=EG，故可求解(1)．
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．课外阅读时间t
频数
百分比
10≤t<30
4
8%
30≤t<50
8
16%
50≤t<70
a
40%
70≤t<90
16
b
90≤t<110
2
4%
合计
50
100%
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