专题 反比例函数k值几何模型（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测 习题+答案

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题型1 定值三角形与定值矩形模型
【例1】（2026·江苏徐州·一模）如图，点A在双曲线y=kx上，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的任意点，且S△ACB=2，则k=（ ）
A．2B．−2C．4D．−4
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数 k的几何意义：设点 A的坐标为(x,y)，根据AB⊥y轴可知 AB平行于 x轴，且 AB的长度为x；△ACB以 AB为底时，高为点 A的纵坐标 y；利用三角形面积公式结合反比例函数 k的几何意义即可求解.
【详解】解：设点 A的坐标为 (x,y)
∵点 A在双曲线y=kx上，
∴xy=k；
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，且AB=|x|，
∵点 C在 x轴上，
∴点 C到直线 AB的距离等于点 A的纵坐标y(y>0)；
∴S△ACB=12⋅AB⋅y=12|x|y；
∵图像在第二象限，x0；
∴x=−x，
∴S△ACB=12−xy=−12xy=12k
∵S△ACB=2，
∴12k=2，k=±4，
如图可知：k=−4
故选：D.
【变式1-1】（2026·吉林长春·一模）如图，点A在函数y=kxk≠0,x0)的图象经过点C，
∴k3=8，
解得k=24，
∴ 反比例函数的表达式为y=24x．
题型2 双点同支模型
【例2】（2026·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，反比例函数y=kx的图象与AB相交于点F，与BC相交于点E，若点B的坐标为−3,2，四边形BEOF的面积是4，则k的值为（ ）
A．2B．−2C．4D．−4
【答案】B
【分析】求出点E的坐标为−3，k−3，点F的坐标为k2,2，根据S四边形BEOF=S矩形OABC−S△OCE−S△OAF进行计算即可．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵B点的坐标为−3,2，
∴AB=OC=3，BC=AO=2，
则点E的坐标为−3，k−3，点F的坐标为k2,2，
∴S四边形BEOF=S矩形OABC−S△OCE−S△OAF
=6−12k−12k=4，
解得，k=2，
∵反比例函数y=kx的图象经过第二象限，
∴k=−2．
【变式2-1】（2026·广东佛山·一模）如图，△OAB的边OB落在x轴上，点C是线段AB的中点，反比例函数y=kxk>0,x>0的图像经过点A和点C．若△OAB的面积为9，则k的值为_____．
【答案】6
【分析】过A作AD⊥OB于D，设Am,n，根据三角形的面积公式得到OB=18n，求得B18n,0，求得Cmn+182n,n2，列方程即可得到结论．
【详解】解：过A作AD⊥OB于D，
∵点A在反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上，
∴设Am,n，则有mn=k，
∵△OAB的面积为9，
∴OB=18n，
∴B18n,0，
∵点C是AB的中点，
∴Cmn+182n,n2，
∵点C在反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上，
∴mn+182n⋅n2=k，
∴mn+182n⋅n2=mn
∴mn=6，
∴k=6．
【变式2-2】（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心的圆与反比例函数y=3x在第一象限的图象交于A, B两点．已知点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，连接OA, OB，则AB的长为__________．（结果保留π）
【答案】π3/13π
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，可求出A1,3，B3,1，进而解直角三角形得到∠AOE=∠BOF=30°，则∠AOB=30°，利用勾股定理求出OA的长，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
在y=3x中，当x=1时，y=3，当x=3时，y=1，
∴A1,3，B3,1，
∴AE=1，OE=3，BF=1，OF=3，
∴tan∠AOE=AEOE=13=33，tan∠BOF=BFOF=13=33，
∴∠AOE=∠BOF=30°，
∴∠AOB=∠EOF−∠AOE−∠BOF=30°，
又∵OA=AE2+OE2=2，
∴AB的长为30×π×2180=π3．
题型3 异支两点模型
【例3】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=8x的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=kx的图象上，且OA⊥OB,∠A=60°，则k的值为（ ）
A．12B．−24C．−83D．163
【答案】B
【分析】作AE⊥x轴，作BF⊥x轴，先证明△BFO∽△OEA，利用相似比得到S△BFO=9，继而求出k值即可．
【详解】如图，作AE⊥x轴，垂足为E，作BF⊥x轴，垂足为F，
由条件可知∠BOF=∠OAE=90°−∠AOE，
∵∠BFO=∠OEA=90°，
∴ △BFO∽△OEA，
由条件可知tan∠BAO=BOAO=tan60°=3，
∴ S△BFOS△OEA=BOAO2=3，
∵点A在反比例函数y=8x的图象上
∴S△OEA=12×8=4，
∴S△BFO=12，
∴|k|=2S△BFO=24，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=−24．
【变式3-1】（2026·陕西西安·三模）如图，平行四边形OABC的顶点B在双曲线y=20x上，顶点C在双曲线y=kx上，BC与y轴交于点P且BP=2CP，已知平行四边形OABC面积为24，则k的值为____________
【答案】−7
【分析】连接BO，过点B和C分别作y轴的垂线段BE和CD，先证明△BEP∽△CDP，求出S△BOP，S△COP，S△BEPS△CDP的值，根据反比例函数的比例系数的几何意义得到12k+12=4，即可求出答案．
【详解】解：连接BO，过点B和C分别作y轴的垂线段BE和CD，垂足为E，D，
∵∠BPE=∠CPD，∠BEP=∠CDP=90°，
∴△BEP∽△CDP，
∵BP=2CP，
∴S△BOP=23S△BOC=13S平行四边形OABC=8，
S△COP=13S△BOC=16S平行四边形OABC=4，
S△BEPS△CDP=BPCP2=4，
∵点B在双曲线y=20x上，
∴S△BOE=12×20=10．
∴S△BPE+S△BOP=S△BOE=10
∴S△BPE=10−S△BOP=2，
∴S△CDP=14S△BPE=12
∵点C在双曲线y=kx上，且由图象可知k0)图象上一点A作AD垂直于x轴，垂足为D，交反比例函数y2=6x(x>0)的图象于点B，连接OA交y2于点C，连接CD，若△OCD的面积为6，则k=________．
【答案】24
【分析】过点C作CE⊥OD于点E，根据k的几何意义结合已知可得S△OCE=S△DCE，进而证明AC=CO，得出S△AOD=2S△OCD=12，进而根据k的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥OD于点E，
∵点C在y2=6x(x>0)
∴S△OCE=12×6=3
又∵△OCD的面积为6，
∴S△OCE=S△DCE
∴OE=ED
∴CE垂直平分OD，
∴CO=CD，
∵AD⊥OD，CE⊥OD
∴AD∥CE
∴ACCO=DEOE=1
∴AC=CO
∴S△AOD=2S△OCD=12
∵点A在y1=kx(x>0)
∴k=2S△AOD=24
【变式4-1】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，反比例函数y=kxx>0和y=6xx>0的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一动点，过点C作x轴的垂线，分别与y=kxx>0和y=6xx>0的图象交于点A，B．若△OAB的面积为10，则k的值为__________．
【答案】−14
【分析】本题考查反比例函数y=kx k≠0系数k的几何意义：从反比例函数y=kx k≠0图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k，则S△BCO=12×6=3,S△ACO=12×k=12k，根据△OAB的面积为10，得12k+3=10，故k=14，结合点A在第四象限，故k=−14．
【详解】解：依题意，S△BCO=12×6=3,S△ACO=12×k=12k，
∵△OAB的面积=S△BCO+S△ACO，△OAB的面积为10，
∴12k+3=10，
∴k=14，
∵点A在第四象限，
故k=−14．
【变式4-2】（2026·陕西咸阳·一模）如图，点A是反比例函数y=1xx>0的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数y=4xx>0的图象于点B、C，连接BC，则△ABC的面积为______．
【答案】
92
【分析】根据题意，设点A的坐标为a,1a a>0，根据AC∥y轴，AB∥x轴，分别求出点C和点B的坐标，进而表示出线段AC和AB的长，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意，设点A的坐标为a,1a a>0，
∵AC∥y轴，AB∥x轴，且点B、C在反比例函数y=4xx>0的图象上，
∴Ca,4a，B4a,1a，且AC⊥AB，
∴AC=4a−1a=3a，AB=4a−a=3a，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×3a×3a=92．
1．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数y=kx的图象经过点C．若点B的坐标为0,6，OC=5，则k=______．
【答案】12
【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 AB 的长，再利用勾股定理求出 OA 的长，从而确定点 A 的坐标，接着利用中点坐标公式求出点 C 的坐标，最后将点 C 的坐标代入反比例函数解析式即可求出 k 的值．
【详解】解：∵点A，B分别在x 轴和 y轴上 ，
∴∠AOB=90∘，
∵点C为AB的中点，OC=5，
∴AB=2OC=10，
∵点B的坐标为 0,6，
∴OB=6，
在Rt△AOB中，OA=AB2−OB2=102−62=8，
∴点A 的坐标为8,0，
∵点C 为AB 的中点，
∴点C的横坐标为0+82=4，纵坐标为6+02=3，
∴ 点 C 的坐标为 4,3，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴k=4×3=12．
故答案为：12．
2．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数y=kxk>0图像上，△AOB为等腰直角三角形，四边形PCOD为矩形，则ACAP=______．
【答案】5−12
【分析】令点A的坐标为a,ka，根据等量关系，证出△COA≌△PAB，可得OD=a+ka，BD=ka−a，及ACAP=aka=a2k，易得Ba+ka,ka−a，代入函数得k2−ka2−a4=0，令t=a2k，方程变形为t2+t−1=0，求解t的值即可得出结果．
【详解】解：令点A的坐标为a,ka，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=AB，∠OAB=90°，
∵四边形PCOD为矩形，
∴∠P=∠OCA=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAC+∠COA=∠OAC+∠PAB=90°，
∴∠COA=∠PAB，
∴△COA≌△PAB(AAS)，
∴OC=PD=AP=ka，AC=PB=a，
OD=CA+AP=a+ka，BD=DP−BP=ka−a，
∴ACAP=aka=a2k，
∴点Ba+ka,ka−a代入函数表达式y=kx，
得ka−a=ka+ka，
化简得k2−ka2−a4=0，
即1−a2k−a4k2=0，
令t=a2k，
上述方程为1−t−t2=0，
即t2+t−1=0，
解得t=5−12或t=−5−12（舍去），
故a2k=5−12，
∴ACAP=5−12．
3．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数y=kxk0的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作AC∥x轴，与反比例函数y=bx b0的交点，点B在y=−8xx>0的图象上，直线AB与y轴交于点C．连接OB．若AB=3AC，则OB的长为___________．
【答案】65
【分析】联立直线与反比例函数解析式求出点A坐标，过点A、B分别作y轴的垂线，利用相似三角形的性质求出点B的横坐标，代入反比例函数求出纵坐标，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：联立函数y=−2x与y=−8x得：−2x=−8x，
解得：x1=2,x2=−2，
经检验，x1=2,x2=−2均为原分式方程的解，
∵x>0，
∴x1=2，
∴y=−4，
∴A2,−4，
如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
∴AD∥BE，
∴△CAD∽△CBE，
∴BEAD=CBCA，
∵AB=3AC，
∴CB=CA+AB=4AC，
∴BEAD=4，
∵A2,−4，
∴AD=2，
∴BE=8，
即点B的横坐标为8，
将x=8代入y=−8x得y=−1，
∴B8,−1，
∴OB=82+(−1)2=65．
6．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数y=6x的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且AC=OA，则△ABC的面积为______．
【答案】12
【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数比例系数k的几何意义，等腰三角形的性质，过点A作AD⊥x轴于点D，可得AO=BO，S△AOD=12×6=3，即得S△ABC=2S△AOC，利用等腰三角形的性质可得OD=CD，即得到S△AOC=2S△AOD=6，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵正比例函数与反比例函数y=6x的图象交于A，B两点，
∴AO=BO，S△AOD=12×6=3，
∴S△ABC=2S△AOC，
∵AC=OA，AD⊥x轴，
∴OD=CD，
∴S△AOC=2S△AOD=6，
∴S△ABC=2S△AOC=12，
故答案为：12．
7．（2025·河南濮阳·一模）已知反比例函数y=3x(x>0)和y=kx(x>0)的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一点，过点C作AB∥y轴分别交两个图象于点A， B．连接OA，OB，若S△AOC=35S△AOB，则k的值为________．
【答案】−2
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，由反比例函数系数的几何意义得12×3=35S△AOB，求出S△AOB=52，再由12×−k=25×52，即可求解．
【详解】解：∵ S△AOC=35S△AOB，AB∥y轴，
∴12×3=35S△AOB，S△BOC=25S△AOB
解得S△AOB=52
∴12×−k=25×52，
解得k=−2，
故答案为−2．
8．（2025·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在双曲线y=8xx>0和y=−2xx0)的图象分别交边BC、AB于点D、E，连接DE，ΔDEF与ΔDEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上时，则k的值为__________．
【答案】27
【分析】本题主要利用图形的对称，三角形相似及反比例函数的性质来解决问题．把各个边的长表示来，再利用勾股定理即可解决．如图，连接BF，过点D作DG⊥OA，垂足为G，用含k的代数式表示D，E的坐标，设Fx,0，求出直线DE、BF的斜率，根据两条垂直的直线的斜率相乘，乘积为−1求出x的值，证明△DGF~△FAE，根据对应线段成比例列式求出k的值．
【详解】解：如图，连接BF，过点D作DG⊥OA，垂足为G，
根据题意可知，D(k6,6)，E(12,k12)，
∴直线DE的斜率k1=6−k12k6−12=−12，
∵F在OA上，
故可设F坐标为x,0，
∴直线BF的斜率k2=612−x，
∵ΔDEF与ΔDEB关于直线DE对称，
∴BF⊥DE，
∴k1k2=−1，
即−12×612−x=−1，
解得x=9，
∴AF=3，
∵∠OFE=90°+∠FEA=90°+∠DFG，
∴∠DFG=∠FEA，
又∵∠DGF=∠EAF=90°，
∴△DGF~△FAE，
∴AEGF=AFDG，
即k129−k6=36，
解得k=27．
10．（2026·河北邯郸·一模）如图，△OAB和△BCD都是等边三角形，点A和BC上的点E都在双曲线y=kx(x>0)上，点F在线段CE上，连接AF，OF．若△AOF的面积8，则k的值为__________．
【答案】8
【分析】根据等边三角形的性质得出∠AOB=∠CBD=60°，利用同位角相等判定OA∥BC，根据平行线间的距离处处相等得出S△AOF=S△AOB，设等边△OAB的边长为a，表示出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征及三角形面积公式建立k与面积的关系求解．
【详解】解：∵△OAB和△BCD都是等边三角形，
∴∠AOB=60°，∠CBD=60°，
∴∠AOB=∠CBD，
∴OA∥BC，
∵点F在线段CE上，点E在BC上，
∴点F在直线BC上，
∴点F到直线OA的距离等于点B到直线OA的距离，
∴S△AOF=S△AOB=8，
设△OAB的边长为a，则OB=OA=a，
过点A作AH⊥x轴于点H，
在Rt△AOH中，∠AOH=60°，
∴OH=OA⋅cs60°=12a，AH=OA⋅sin60°=32a，
∴点A的坐标为12a,32a，
∵点A在双曲线y=kx上，
∴k=12a⋅32a=34a2，
又∵S△AOB=12OB⋅AH=12a⋅32a=34a2，
∴k=S△AOB=8，
故答案为8．
11．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC=DE=FG=2，点A，C，E，G均在双曲线y=kx的一支上．若点A的坐标为8,3，则第三级阶梯的高EF=_________．
【答案】6
【分析】先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点C,E,G的坐标，最后根据线段EF的长度等于点G与点E的纵坐标之差来求解．
【详解】解：∵点A8,3在双曲线y=kx上，
∴k=8×3=24，即双曲线解析式为y=24x．
∵BC=2，且线段BC与坐标轴平行，
∴点C的横坐标为8−2=6，代入y=24x得y=246=4，即C6,4．
∵DE=2，
∴点E的横坐标为6−2=4，代入y=24x得y=244=6，即E4,6．
∵FG=2，
∴点G的横坐标为4−2=2，代入y=24x得y=242=12，即G2,12．
∵EF的长度等于点G与点E的纵坐标之差，
∴EF=12−6=6．
12．（2026·陕西西安·一模）如图点A−1,a，B在反比例函数y=kx的图象上，若△AOB是以∠BAO为直角的等腰直角三角形，则k的值为______．
【答案】−1+52
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质．
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于点N，根据等腰直角三角形和直角三角形的性质证明△ABN≌△OAM，根据点A、B在反比例函数的图象上，设Bm,km，根据全等三角形对应边相等列方程并解方程得到a和m的值，进而得到k的值．
【详解】解：∵点A−1,a在反比例函数y=kx的图象上，
∴a=k−1，即k=−a，
如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于点N，
∵BN⊥AM，AM⊥MO，
∴∠ANB=∠OMA=90°，
∵△AOB是以∠BAO为直角的等腰直角三角形，
∴∠BAO=90°，AO=BA，
∴∠MAO+∠BAM=∠BAM+∠NBA=90°，
∴∠MAO=∠NBA，
∴在△ABN和△OAM中，
∠ANB=∠OMA∠NBA=∠MAOBA=AO，
∴△ABN≌△OAMAAS，
∴AN=OM，BN=AM，
∵点A−1,a，
∴OM=1，AM=a，
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴设Bm,km，即Bm,−am，
∴BN=−m−1，AN=AM−MN=a−−am=a+am，
∴可列方程−m−1=aa+am=1，解得：m=−3+52，a=1−52m=−3−52，a=1+52，
∵a>0，
∴取a=1+52，即k=−1+52.
题型
考情分析
考向预测
1. 定值三角形与定值矩形模型
2025年威海：15题考查了异支两点模型
2025年黑龙江：11题考查了双点同支模型
反比例函数 k 值几何模型是中考数学的核心考点，以基础模型为根、双 k 模型为核、综合创新为拔，掌握 “作垂线、割补、坐标化” 三大方法，即可稳拿全部分值。
2. 双点同支模型
3.异支两点模型
4.同竖线双点模型
核心公式：
∣k∣=2S△=S矩形​
解题步骤：
1.看图找垂直
只要看到双曲线上一点向 x 轴、y 轴作垂线，立刻想：矩形面积 = |k|，三角形面积 =|k|。
2.先算面积，再求|k|
若给三角形面积S→ |k|=2S
若给矩形面积S→ |k|=S
3.看象限定 k 的符号
一、三象限：k 为正； 二、四象限：k 为负
核心结论：
S△OAB=S梯形ACDB
解题思路：
1.不直接算斜三角形，改用梯形面积
2.梯形面积 =×(上底+下底)×水平距离
3.上底、下底就是两点纵坐标的绝对值
核心结论：
∣k∣=2S△
方法：割补法
1.分别过 A、B 作x轴垂线，得到两个小三角形
2.总面积 = 两个小三角形面积之和（或差）
3.每个小三角形面积=|k|。
核心结论：
S△OAB=​
解题思路：
1.面积是定值，和竖线位置无关
2.计算时只看两个k的差
3.若 k1>0,k2