新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第八十六中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第八十六中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了 下列各式中，正确是， 下列命题的逆命题是假命题的是等内容，欢迎下载使用。
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形；
B、因为，所以不能构成直角三角形；
C、因为，所以能构成直角三角形；
D、因为，所以不能构成直角三角形．
故选：C．
3. 下列各式中，正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、二次根式的性质，根据算术平方根、平方根、立方根、二次根式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根、二次根式的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、，则A不符合题意；
B、，则B不符合题意；
C、，则C符合题意；
D、，则D不符合题意；
故选：C．
4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意；
C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
故选：B．
5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）

A. 25B. 35C. 40D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
根据勾股定理分别求出正方形F、正方形G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可．
【详解】解：∵正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，
∴正方形F的面积，正方形G的面积，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积，
故选：B．

6. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A. B. C. D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故选：C．
7. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点C，连结并延长至点D，连结并延长至点E，使得A、B分别是的中点，若，则线段的长度是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．根据题意得到即可得到答案．
【详解】解： A、B分别是的中点，
是的中位线，
，
故选C．
8. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 角平分线上的点到角的两边距离相等
C. 若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等
D. 全等三角形的对应边相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了逆命题的真假，写出原命题的逆命题是解答本题的关键．先分别写出原命题的逆命题，然后再根据相关知识判断正误即可．
【详解】解：A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为：若两实数的绝对值相等，则这两个数也相等，错误，是假命题，符合题意；
D、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：C．
9. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上a点位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【详解】解：由图知：1＜a＜2，
∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．
二.填空题（共6小题）
10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
11. 如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是__________米．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理应用，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，
折断部分长为，
折断之前的高度为（米），
故答案为：8．
12. 如图，在平行四边形中，平分交边于点，，则的度数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质和角平分线的性质，根据平行四边形的性质求得，结合角平分的性质求得，进一步利用平行四边形的性质求得即可．
【详解】解：，，
平分，
．
，
．
故答案为：．
13. 如图，圆柱体的底面圆周长为16，高为6，是上底面的直径．一只蚂蚁从圆柱的表面点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为________cm．

【答案】10
【解析】
【分析】先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】圆柱体的侧面展开图如图所示，

∵底面圆周长为16，
∴
又∵高为6，
∴在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
14. 古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的意义，先根据题意求出，再根据公式代值计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴
，
故答案为：．
15. 如图，矩形中，，，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，若点在线段上，且，若动点，同时出发，点运动到点时两点同时停止，经过________秒钟，点，，，组成平行四边形．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键；
根据平行四边形的性质，分两种情况，求解即可；
【详解】解：点运动到点时两点同时停止，
可知，
①如图，点在点右侧时，当时，
四边形为平行四边形，
得：，
解得，
②如图2，点在点左侧时，当时，
四边形为平行四边形，
得：，
解得，
所以，经过秒或秒，点、、、组成平行四边形；
故答案为：或
三.解答题（共7小题）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
17. 已知：，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）16 （2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键．
（1）先根据已知求得，再代入求解即可；
（2）先根据已知求得，再代入求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴．
18. 如图，86中学对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】2400元
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，判断出是解答的关键．连接，利用勾股定理求得米，再利用勾股定理的逆定理判断出，再利用割补法求得草坪的面积，进而可求解．
【详解】解：连接，
∵，米，米，
∴（米），
∵米，米，
∴，，
∴，
∴，
∴草坪面积为
（平方米），
（元），
答：该草坪铺满这块空地共需花费2400元．
19. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】（1）处与地面的距离是24米；
（2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米．
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
（1）在中，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
（2）在中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
【小问1详解】
解：在中，
米，米，
米
米．
答：处与地面的距离是24米；
【小问2详解】
解：在中，
米，米，
米
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米．
20. 已知：如图，在平行四边形中， ．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形是解题关键．连接交于点O，根据平行四边形的性质可得，结合已知条件可得，即可证得结论．
【详解】证明：连接交于点O，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
21. 若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式．
（1）求a，b的值；
（2）求第三边c的长．
【答案】（1），
（2）或5
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、勾股定理，分类讨论是解答的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件求得a值，进而求得b值；
（2）分为斜边和c为斜边两种情况，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得且，
∴且，则，
将代入，得，
∴；
【小问2详解】
解：∵a，b是一直角三角形的两边长，
∴若为斜边，则；
若c为斜边，则，
综上，第三边c的长为或5．
22. 小明在探究二次根式时发现了两个有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（1）请观察上面的解题过程，直接写出下列各式的结果．
①______；
②（为正整数）______．
（2）求的值．
【答案】（1）① ②
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解答本题的关键．
（1）①根据探究中的解法解答即可；
②根据探究中的解法解答即可；
（2）根据平方差公式和分母有理化可以解答本题；
【小问1详解】
解：①；
②
【小问2详解】
．