河南省郑州市2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份河南省郑州市2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，共30分）
1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、不是整式方程，不是一元二次方程；
C、是一元二次方程；
D、整理后为，不是一元二次方程；
故选：C．
3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，即，
故选：B．
4. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是矩形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】∵两组对边的长度分别相等，AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD平行四边形，
又∵测量它们的两条对角线相等，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．故选择D．
5. 如图所示，矩形中，对角线、相交于点O，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
故选：B．
6. 根据下面表格中的对应值：
判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】时，；时，，
关于的方程的一个解的范围是．故选：C．
7. 如图，在Rt△ABC中，，，于点D，E是AB的中点，若，则AB的长为（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中，E是AB的中点，
∴AE=CE=BE，
∴∠A=∠ACE=30°，
∴∠CED=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∵，，
∴∠DCE=30°，
∴CE=2DE=5，
∴AB=2CE=10．
故选：A
8. 问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定四边形是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A. 甲、乙对，丙错B. 乙、丙对，甲错
C. 三个人都对D. 甲、丙对，乙错
【答案】A
【解析】甲：四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理：，，
，，
，
四边形是菱形；
乙：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，，
即，
四边形是平行四边形，
又，平行四边形是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，故选：A．
9. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，
∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴三点共线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个；
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，则必有．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】①解方程
（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，
解得，，，得，，
方程不是倍根方程；
故①不正确；
②若是倍根方程，，
因此或，
当时，，
当时，，
，
故②正确；
③∵pq=2，则：，
，，
，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程的根为：，，
若，则，
即，
，
，
，
，
．
若时，则，，
则，
，
，
，
，
．
故④正确，
正确的有：②③④共3个．
故选：C．
二、填空题（共5小题，共15分）
11. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形．
【答案】(或，答案不唯一）
【解析】根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：；
根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：；
故答案为：(或，答案不唯一）．
12. 一元二次方程的根是_________．
【答案】
【解析】，
，
，
∴或，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为，当______时，四边形是矩形．
【答案】4
【解析】由题意得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：4．
14. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______．
【答案】
【解析】如图，过点D作于，连接，，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长，
∵，
∴，
故的最小值为，
故答案为：．
15. 如图，由点P（14,1），A（，0），B（0，）（），确定的△PAB的面积为18，则的值为_________，如果，则的值为_____________________
【答案】①. 3或12 ②.
【解析】（1）作PC⊥x轴交x轴于点C，
∵P（14，1），A（，0），B（0，），
∴CO=14，BO=AO=a，PC=1，
∴AC=14﹣a，
∵S梯形BOCP=S△AOB+S△PAC+S△ABP，
∴（1+a）×14=a2+×1×（14﹣a）+18，
解得a=3或12；
（2）作PH⊥x轴交x轴于点H，
∵P（14，1），A（，0），B（0，），
∴HO=14，BO=AO=a，PH=1，
∴AH=a﹣14，
∵S梯形BOHP=S△AOB﹣S△PAB﹣S△PAH，
∴（1+a）×14=a2﹣18﹣×1×（a﹣14），
解得a=（负值舍去），
∴a=.
故答案为（1）.3或12；（2）..
三、解答题（共8小题）
16. 按要求解下列方程：
（1）；
（2）．
（1）解：，
，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
∴，
∴或，
∴，．
17. 为了掌握我区中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为分）分为组：第一组；第二组；第三组；第四组；第五组，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽取了_________名学生成绩进行统计？
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中第二组学生成绩所对应的圆心角为_________；
（4）若将得分转化为等级，规定：得分低于分评为“”，分评为“”，分评为“”，分评为“”，根据目前的统计，请你估计全区该年级名考生中，考试成绩评为“”级及其以上的学生大约有多少名？
（1）解：由频数分布直方图可知，第三组有人，
由扇形统计图可知，第三组的人数占被调查人数的，
本次调查共抽取了名；
故答案为：；
（2）解：由频数分布直方图可知，第一组有名学生，第二组有名学生，第三组有名学生，第四组有名学生，
由可知，被调查的人数为，
第五组学生的人数为：(名)，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：由频数分布直方图可知，第二组有名学生，
扇形统计图中第二组对应的圆心角度数为，
故答案为：；
（4）解：由频数分布直方图可知，考试成绩评为“”级及其以上的学生有名，
被调查的学生中考试成绩评为“”级及其以上的学生占被调查人数的，
全区该年级学生考试成绩评为“”级及其以上的学生大约有(名)．
18. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点时做格点．图中A、B，C都是格点，点D在网格线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）填空：与的数量关系是___，位置关系是___；
（2）在图（1）中作矩形，并过点D作直线l，使直线l平分矩形的面积；
（3）在图（2）中取的中点M，在上找一点N，使．
（1）解：∵
∴；
如图：连接，
∵，
∴，即．
（2）解：如图：即为所求．
（3）解：如图：即为所求．
19. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，求代数式的值．
（1）解：∵，
∴方程总有实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
20. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口（出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接），不锈钢栅栏状如“山”字形．
（1）若矩形车棚的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）请问能围成面积为的矩形车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
（1）解：设车棚宽度为，则车棚长度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
答：自行车车棚的长为，宽为．
（2）解：不能围成面积为的自行车车棚，理由如下：
设车棚宽度为，则车棚长度为，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程无解，
∴不能围成面积为的自行车车棚．
21. 如图，在中，四个角的平分线分别相交于点、、、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，分别平分与，
，，
，
，
同理：，
，
四边形是矩形．
（2）解：如图所示，延长，交于，
∵，平分，
，
，
又，
．
平分，平分，，
又，
，．
四边形是平行四边形，
，，
又平分，平分，，
又，
，，
四边形是平行四边形，
．
22. 阅读以下材料，并解决相应的问题．
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下：
将方程变形为，然后画四个长为，宽为x矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，
∵x表示边长，
∴，即．
注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！
（1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，
第一步：将原方程变为，即x（__________________）；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（请在画图区画出示意图，标明各边长）；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______________；解得原方程的一个根为______________
（2）反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是_________（从“①分类讨论，②数形结合，③演绎”三个选项中选择最恰当的一项的序号填空）．
（1）解：第一步：将原方程变为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，如图所示：

第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为；
故答案为：，，；
（2）解：反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是数形结合，
故答案为：②．
23. 【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．
（1）根据以上信息，填空：
①_______°；
②线段之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
则，，，，
∴G、B、E共线，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
∴，
故答案为：①45 ；②；
（2）．
证明如下：如图2，在上截取，连接，
在和中，，
，
，
，即，
，
，
在和中，，
，
，
，
∴，
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，
∵四边形是正方形，
，，
，
由旋转可得，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
．
x
3.23
324
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09