河南省信阳市罗山县八年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）

这是一份河南省信阳市罗山县八年级上学期1月期末考试数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A. 三角形的不稳定性B. 三角形的稳定性
C. 四边形的不稳定性D. 四边形的稳定性
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性，即可得到答案．
【详解】跨海大桥上的结构有许多三角形，这样可以使得大桥更加牢固，体现了三角形的稳定性．
故选B
【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，熟记三角形的稳定性是解题的关键．
2. 木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A. 垂线段最短B. 等腰三角形的“三线合一”
C. 角平分线的性质定理D. 线段垂直平分线的性质定理
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质即可确定答案．
【详解】解：由题意可知，三角尺是等腰的，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的， 因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，理解等腰三角形三线合一（顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）的性质是解题的关键．
3. 火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等．下列火纹图案中，可以看成轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 不是轴对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形，符合题意；
C. 不是轴对称图形，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
【详解】，故选项A不合题意；
，故选项B不合题意；
，故选项C不合题意；
，故选项D符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
5. 如图，是的外角，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，的一个外角，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
6. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ）
A. 54°B. 60°C. 66°D. 76°
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：根据三角形内角和可得
因为两个全等三角形，
所以
故选C.
7. 一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A. 40cmB. 48cmC. 56cmD. 64cm
【答案】C
【解析】
【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和．
【分析】解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，
∵a＝8cm，
∴7a＝56cm，
∴DE＝56cm，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
8. 如图，在正方形网格中有两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点E关于直线l的对称点H，连接交直线l于点P，此时最短，据此结合图形可得答案．
【详解】解：如图所示，作点E关于直线l的对称点H，连接交直线l于点P，此时最短，
由图可知，交直线l于点C，
∴点应选在C点，
故选：C．
9. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可．
【详解】解：原式去分母，方程两边乘以，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
故选：．
10. 某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用（列分式方程），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．
设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件，根据题意即可直接列出方程．
【详解】解：设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件，
根据题意可得：，
故选：．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
11. 若 ，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，代数式求值等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则的逆用公式是解题的关键：．
由同底数幂的乘法法则的逆用公式即可直接得出答案．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
12. 如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得且，则这个正多边形的边数是______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据瓷片为正多边形及，可知正多边形的外角为，进而可求得正多边形的边数．
【详解】解：如图，延长DC，可知∠ECB为正多边形的外角，
∵BC//AD，
∴∠ECB=∠ACD=30°，
∵正多边形的外角和为360°，∠ECB为正多边形的一个外角
∴正多边形的边数为：，
故答案为：12．
【点睛】本题考查正多边形的外角和，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
13. 如图，在中，， 以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为______
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，作角平分线（尺规作图），角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图法及角平分线的性质定理是解题的关键．过点作于点，由三角形的面积公式可得，，于是可得，由作图步骤可知是的平分线，由可得，再结合，由角平分线的性质定理可得，由此即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
由作图步骤可知，是的平分线，
，
，
又，
，
的长为，
故答案为：．
14. “数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是______．
【答案】（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2
【解析】
【分析】根据大矩形的面积=8个小矩形的面积公式进行解答．
【详解】解：根据题意，得（a+b）（a+3b）=a2+3ab+ab+3b2=a2+4ab+3b2．
故答案为：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，平方差公式的几何背景，利用数形结合与多边形的面积解答是解题的关键．
15. 已知，，，，，，，即当n为大于1奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键．
先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
的值每个一循环，
，
且，
，
故答案为：．
四、解答题：本题共8小题，共75分．
16. （1）分解因式：y3+6xy2+9x2y
（2）计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）
【答案】（1）y（y+3x）2；（2）﹣4y+1
【解析】
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）先利用平方差公式、多项式乘以多项式法则计算，再去括号合并同类项即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式
.
【点睛】本题考查了利用提取公因式法、完全平方公式分解因式，利用平方差公式、多项式乘以多项式法则化简整式，熟记各公式和运算法则是解题关键.
17. 如图，已知和是的两条高线，，交于点O．，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形的内角和定理可得，由三角形的高的定义可得，，于是可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形外角的性质可得，于是得解．
【详解】解：，，
，
和是的两条高线，
，，
，，
，
，
的度数是．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高的定义，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角及三角形的高的定义是解题的关键．
18. 如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求的度数．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和定理等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键．
由高的定义可得，再结合运用三角形内角和定理可求得；再根据三角形内角和定理可得，依据角平分线的定义可得、，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴；
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，，
∴．
19. 如图，线段是的中线，分别过点、作所在直线的垂线，垂足分别为、．

（1）请问与全等吗？说明理由；
（2）若面积为10，的面积为6，求的面积．
【答案】（1），见解析
（2）22
【解析】
【分析】（1）利用证明三角形全等即可．
（2）根据中线性质，得到，结合计算即可．
【小问1详解】
，理由如下：
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴．
【小问2详解】
∵，，，
∴，，
∵
∴和是等底同高的三角形
∴
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定和性质，中线的性质是解题的关键．
20. 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
【答案】（1）33°（2）证明见解析
【解析】
【详解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°．
又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°．
由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=∠CAB=33°．
（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA．∴∠CAN=∠CMN．
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC．
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）．
（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数．
（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN="∠MAB" =∠CMN．
从而得证．
21. 一般情况下， 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：，．我们称使得 成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为．
（1）判断数对，是不是“相伴数对”；
（2）若是“相伴数对”，求的值．
【答案】（1）不是“相伴数对”；是“相伴数对”
（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解分式方程，弄清题中的新定义是解答本题的关键．
（1）根据“相伴数对”的定义解答即可；
（2）利用“相伴数对”的定义化简，然后解方程，即可求解．
【小问1详解】
∵1，
∴不是“相伴数对”；
∵1，
∴是“相伴数对”；
【小问2详解】
∵是“相伴数对”，
∴1，
解得：；
经检验，是原方程的解．
22. 洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于生物实验课要求：制作并观察洋葱鳞片叶内表皮细胞临时装片，某校生物老师上周用元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了元，但只比上周多买了斤洋葱．
（1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？
（2）经调查发现，一个洋葱可供名同学使用，两个洋葱正好斤，该校参加生物实验的同学共人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用？
【答案】（1）上周生物老师买的洋葱单价为每斤元；
（2）生物老师至少应再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用．
【解析】
【分析】（）设上周生物老师买的洋葱单价为每斤元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元，由题意得：，然后求解检验即可；
（）设生物老师再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用，根据题意得：，然后解一元一次不等式即可；
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：设上周生物老师买的洋葱单价为每斤元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
答：上周生物老师买的洋葱单价为每斤元；
【小问2详解】
解：设生物老师再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用，
根据题意得：，
，
解得：，
答：生物老师至少应再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用．
23. （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点在的延长线上，连接，求证：．

（2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点在边的延长线上，连接．请判断：①的度数为_________．②线段之间的数量关系是_________．
（3）问题解决：在（2）中，如果，求线段长．
【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，利用等量代换得∠BAD=∠CAE，则可根据“SAS”判断△ABD≌△ACE；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠B=45°，BD=CE，等量代换即可得到结论；
（3）先证明△CDE是直角三角形，再计算BC=2，从而可得CE=3，再运用勾股定理可得DE长.
【详解】（1）证明：和是等边三角形
，且
，即
在和中
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠DAE，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE，
即BC+CD=CE，
故答案为：①；②
（3）由（2）知：
又，
，
在中，，
又，由（2）得
在中，
则线段的长是．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质.