河南省驻马店市第二初级中学九年级上学期1月期末数学试题（解析版）

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九年级数学
一．选择题（共10小题，共30分）
1. 下列函数中不是反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的概念进行判断即可．
【详解】解：∵形如是y关于x的反比例函数，也可表示为或，
∴A、B、C中，，均为反比例函数，不符合题意；
D中，是正比例函数，不是反比例函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的表达式．解题的关键在于掌握反比例函数表达式的形式．
2. 某运动会颁奖台如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的俯视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：解：从上边看是水平排列的等宽的三个矩形，
故选：D．
3. 下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（ ）
A 对角线长度相等B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分D. 一组对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】
【分析】利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质依次判断可求解．
【详解】解：菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
故选项B，C，D不符合题意；
菱形不具有的性质为：对角线长度相等，
故选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，注意熟记各性质定理是解此题的关键．
4. 现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意可以通过列表的方法写出所有的可能性，从而可以得到所得结果之和为9的概率．
【详解】解：由题意可得，同时投掷这两枚骰子，所得的所有结果如下：
则所有结果之和是：
2、3、4、5、6、7、
3、4、5、6、7、8、
4、5、6、7、8、9、
5、6、7、8、9、10、
6、7、8、9、10、11、
7、8、9、10、11、12，
共有36种等可能的结果数，
∴所得结果之和为9的概率是： ，
故选C．
5. 已知如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由得，则可得；再由，，得为平行四边行，由平行四边行的性质得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为平行四边行，
∴，
∴．
故选：A．
6. 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜－1B. m＞0C. m＜1且m≠0D. m＞0且m≠1
【答案】D
【解析】
【分析】由关于的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根,根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m-1≠0且△>0,即2-4(m-1)(-1) >0,两个不等式的公共解即为m的取值范围.
【详解】解：关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根,
（m-1）≠0,且△＞0，
即2-4(m-1)(-1)>0,解得m>0,
m的取值范围为m>0且m≠1,
m>0且m≠1时, 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根.
故选D.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式.
7. 如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（ ）．
A. 4B. 2C. 2.5D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．
连接，如图所示，得到，再结合反比例函数的几何意义即可得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
轴，
，
，
，解得，
故选：D．
8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b＞0，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y＝ax+b的图象经过第一二四象限，反比例函数图象在第一三象限，
只有B选项图象符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
9. 如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长到点D，连接，由网格可得即，即可求出答案．
【详解】解：延长到点D，连接，如图：
，，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
10. 如图，二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，，由对称轴可判断b的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．
【详解】解：①由图象得：，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点，
∴图象与x轴交于另一点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
③∵，对称轴为直线，
∴当时，，
∴，即（m为任意实数），
∴，
∵，
∴，故③错误；
④由②得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故正确的结论有：①④，
故选：D．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 请写出一个经过点的函数表达式：______（写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了函数的定义，设函数表达式为，然后将点−1,1代入即可求解，正确理解函数的定义是解题的关键．
【详解】解：设函数表达式为，
将点−1,1代入，得，
∴，
∴直线的表达式为，
故答案为：．（答案不唯一）
12. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，
根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是，
故答案为：．
13. 如果一个斜坡的坡角的余弦值为，那么该斜坡的坡度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，特殊角的三角函数值，设坡角为，由余弦值为得，最后通过斜坡的坡度，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设坡角为，
∵一个斜坡的坡角的余弦值为，
∴，
∴，
∴该斜坡的坡度为，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为______．（用“”表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴它的对称轴为直线，开口向下，
∴图象上的点离对称轴越远则的值越小，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据旋转的性质可知：，根据勾股定理可以求得的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值；还有一种情况就是点F在点C的左侧时，同理可以求得的值．
【详解】解：作于点G，如图所示，
∵，，点D是的中点，
∴，，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点D运动点时，此时，
同理可得，，，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. 解方程或计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用公式法求解一元二次方程即可；
（）将特殊角的三角函数值代入即可求解；
本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算以及解一元二次方程，掌握公式法求解一元二次方程和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 某中学要求学生全员参与社团活动，为了有序开展好此项工作，学校对学生最喜欢的社团类别进行了调查，设置了文化艺术类、科技创新类、社会实践类、兴趣爱好类（以下分别用，，、表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次参加抽样调查的学生有__________，扇形统计图中部分圆心角的度数为__________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）甲、乙两位同学对，、三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率．
【答案】（1）600，
（2）见解析 （3）列表见解析，
【解析】
分析】本题考查了列表法与树状图法，也考查了统计图．
（1）由B类型人数及其所占百分比可得总人数，用乘以A类型人数所占比例即可；
（2）根据四个类型人数之和等于总人数求出C对应人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：总人数（人），
扇形统计图中A部分圆心角的度数为，
故答案为：600，；
【小问2详解】
解：C类型人数为（人），
如图：
【小问3详解】
解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中两位同学选到同一类别的有3种结果，
所以两位同学选到同一类别的概率为．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为，试求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式判断即可；
（2）根据求根公式算出方程的解，再根据矩形的性质讨论即可；
【小问1详解】
解：∵
∴，，
∴ ，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
小问2详解】
，
，
∴，，
①当为对角线时，，
解得：（不符合题意，舍去），
②当为对角线时，，
解得：；
综合可得，的值为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、求根公式和矩形的性质，准确计算是解题的关键．
19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数的表达式和m值
（2）请根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最大值为______．
【答案】（1）；
（2）或
（3）2
【解析】
【分析】本题考查一次函数、反比例函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法、不等式解集、三角形面积等知识．
（1）将代入得b，即得一次函数的解析式，将代入一次函数解析式得m；
（2）求出，由图可得，根据直线在双曲线下方部分的自变量的范围即的解集，即可求解；
（3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，即得当时，S有最大值，且最大值是2．
【小问1详解】
解：将代入得，
解得，
∴一次函数解析式是，
∵在一次函数的图象上，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得点，
一次函数与反比例函数的交点分别为点和，
由图可得，的解集为：或；
【小问3详解】
解：∵点P是线段上一点，
∴设，，
∴，
∵，且，
∴当时，S有最大值，且最大值是2．
故答案为：2．
20. 如图，已知抛物线经过点．
（1）求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围．
【小问1详解】
解：将代入，
得：，
解得：，
，
，
，
此抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，y的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
21. 黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为传承弘扬黄河文化，某校组织学生到黄河某段流域进行研学．数学兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要测量黄河某处的宽度（不能到对岸）．在如图所示的该段河对岸岸边有一点，以为参照点在河这边沿河边任取两点、，测得，，量得的长为315米，求河的宽度．【参考数据，，】

【答案】河宽约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作高构造直角三角形，根据直角三角形的边角关系即可求出答案，掌握直角三角形的边角关系及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
在中，，
，
，
同理，，
，即，而，，
，
解得，
即河宽约为．

22. 如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为8米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）寒假来临之际，该活动中心工作人员设计了5米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于地面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，求出B，C点的坐标，进而求出点P的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的x的值，再结合抛物线开口向下，进而可以判断得解．
【小问1详解】
解：∵矩形，米，米，
∴米，米，
∴，，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由题意，当时：，
解得：，，
∵抛物线开口向下，
∴当时，，
∵条幅与的水平距离为米，
∴．
23. 综合与实践
如图，这个图案是世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
（1）【观察感知】如图，通过观察，线段与的数量关系是__________；
（2）【问题解决】如图，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
（3）【类比迁移】在（）的条件下，连接交于点，则__________．
【答案】（1）
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据旋转性质可得，，进而证明，即可求解；
（）根据（）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解；
（）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解；
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：．
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，过点作于点，

∵，，
∴，
∴，
即，即，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
，
解得：，
∴，
∴，
1
2
3
4
5
6
1
2,1
2
3
2,3
4
1,4
5
6
B
C
D
B
C
D