河南省驻马店市驿城区部分初中九年级上学期期末考试数学试题（解析版）

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1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列方程为一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2. 下列四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用从正面看到的图叫做主视图判断即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．
【详解】解：A、主视图为矩形，故本选项不符合题意；
B、主视图为矩形，故本选项不符合题意；
C、主视图三角形，故本选项符合题意；
D、主视图为矩形且内部有条虚线，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 是成比例线段，其中，，，的长是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据成比例线段列式计算即可．本题考查了比例的性质，成比例线段，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，，，
故．
故选：C．
4. 如图，四边形是矩形，对角线和相交于点，已知，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
根据矩形的性质可得，在结合即可求得的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴．
故选C．
5. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．根据条件可得，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：由题意可得：，，，
，
，
当测试距离为时，最大“E”字高度为，
，
，
解得：，
∴当测试距离为时，最大的“E”字高度为；
故选：C．
6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可．
本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键．
【详解】解：∵的一元二次方程，
即，
∴，
∴，
故此方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7. 如图，在正方形网格中，点为网格格点，，垂足为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理、求角的正弦值，先由勾股定理求出，得到，再证明，即可得到的值.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
故选：C
8. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（ ）

A. 这一函数的表达式为
B. 当气体体积为40时，气体的压强值为150
C. 当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小
D. 若注射器内气体的压强不能超过400，则其体积不能超过15
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．利用待定系数法解得函数解析式，即可判断选项A；将代入函数解析式并求解，即可判断选项B；由函数图像的增减性，即可判断选项C；求得当时气体体积的值，结合函数图像即可判断选项D．
【详解】解：A．设，由题意知，
所以，即，故该选项正确，不符合题意；
B．当时，，
所以，气球内气体的气压是，故该选项正确，不符合题意；
C．由函数图像可知，气体的压强随着气体体积增大而减小，可知该选项正确，不符合题意；
D．当时，，
所以，为了安全起见，气体的体积应不小于，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
9. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的2倍的位似图形，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律．
根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解．
【详解】解：由题意可得：，且相似比为，
，
，
，
，
故选：B．
10. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴得N、P关于y轴对称，
∴选项A、C错误，
∵在同一个函数图象上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴选项D错误，选项B正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，得出，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 在一个不透明的口袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有20次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为________个．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．用总球的个数乘以摸到红球的概率，即可得出口袋中红球的数量．
【详解】解：，即估计这个口袋中红球的数量为个，
故答案为：．
13. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
14. 已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果．
【详解】解：∵与相似且对应中线的比为，
∴的周长为的周长，
∴的周长，
∴的周长，
故答案为：．
15. 简单探究：如图1，中，，，，求的长．可在上截取点，使，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为______．如图2，在菱形中，与交于点，，，定长线段在对角线上运动，点在点上方，且，连接和．当的值最小时，的长是______．
【答案】 ①. ## ②. 3
【解析】
【分析】根据，，得到，，结合，得到，于是得到，根据．在上截取点，使，连接， 过点A作，且，连接，则四边形是平行四边形，，转化为，根据，当G，F，C三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值，连接交于点M，解答即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
在上截取点，使，连接，菱形中，与交于点，，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点A作，且，
连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴转化为，
∵，
∴当G，F，C三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值，
连接交于点M，
∴当F与点M重合时，取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线定理，两点之间线段最短，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 解方程和计算
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数的运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，特殊角的三角函数值是解题的关键.
（1）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
（2）根据特殊角的三角函数值化简，故可求解．
【小问1详解】
解：（1），
移项得，
，
，
，；
【小问2详解】
解：原式．
17. 瓦岗镇地处伏牛山、桐柏山余脉交汇处，属浅山丘陵地形，河流纵横，易于灌溉，南北地势高，中间地势较平坦，为瓦岗红薯提供了良好的自然环境，如今瓦岗红薯已经成为驻马店市的标志性农产品．小李为了解本村红薯种植户收入增长情况，从全村120户红薯种植户中随机调查10户红薯种植户去年和今年平均每亩的收入（单位：万元）情况，调查结果整理、分析如下：
．10户红薯种植户去年和今年平均每亩的收入情况：
．根据以上数据，得到以下统计量：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的______，______．
（2）请估计全村120户红薯种植户中今年平均每亩的收入不低于2.5万元的有多少户．
（3）西瓜红、板栗香、白玉薯和北京553四种红薯品种深受人民的喜爱，某农户计划明年从这四种红薯品种中选择两种进行大面积种植，请用列表或画树状图的方法求出正好选中西瓜红和板栗香两种品种的概率．
【答案】（1）；
（2）户
（3）
【解析】
【分析】本题考查了中位数和众数的定义，样本估计总体，用列表或画树状图的方法求概率等知识点，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义作答；
（2）根据表，可得今年平均每亩的收入不低于2.5万元的百分比为，用样本估计总体，得出全村120户红薯种植户中今年平均每亩的收入不低于2.5万元的有户；
（3）用列表或画树状图的方法列出所有组合，进而求得正好选中西瓜红和板栗香两种品种的概率．
【小问1详解】
解：去年收入为1.0的有2户，1.5的有2户，2.0的有4户，2.5的有2户，根据中位数定义，可知中位数为2.0，今年收入为1.5的有2户，2.0的有3户，2.5的有2户，3.0的有2户，3.5的有1户，根据众数定义可知，众数为2.0．
故答案为2.0，2.0．
【小问2详解】
解：根据表格可知，从全村120户红薯种植户中随机调查的10户红薯种植户今年平均每亩的收入不低于2.5万元的百分比为，用样本估计总体得全村120户红薯种植户中今年平均每亩的收入不低于2.5万元的有（户）．
答：估计全村120户红薯种植户中今年平均每亩的收入不低于2.5万元的有60户．
【小问3详解】
解：列表如下：A、B、C、D分别表示西瓜红、板栗香、白玉薯和北京553
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中两种组合的结果有2种．
恰好抽中西瓜红和板栗香两品种的概率为．
18. 如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，腰的中点为，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的另外2个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将等腰沿轴方向向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数图象经过点，解答即可．
（2）利用描点法画图象即可．
（3）设平移后点A的坐标为，将代入反比例函数，得，
解答即可．
本题考查了待定系数法求解析式，描点法画图象，平移，熟练掌握待定系数法，平移是解题的关键．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点，
代入得，
，
这个反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：描绘格点及反比例函数图象，如下，
．
【小问3详解】
设平移后点A的坐标为，将代入反比例函数，得，
等腰向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离a为．
19. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）解即可求解；
（2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴,
答：；
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、、、、都是格点．
（1）在图中，画射线，使，交于点，交于点；
（仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务）
（2）在（1）的基础上，
①求证：；
②连接，求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②见解析
【解析】
【分析】（1）连接，交于点M，交于点，则．
（2）①证明四边形是平行四边形，得到，结合，即可证明．
②根据，，得，结合，得到直线垂直平分，得到，根据等腰三角形性质，得平分．
【小问1详解】
解：连接，交于点M，交于点，则．
则即为所求．
【小问2详解】
①解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
②解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴直线垂直平分，
∴，
根据等腰三角形性质，得平分．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂直的判定，线段的垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21. 综合与实践
“山西三日游”的调研分析
请完成“问题解决”中的任务1和任务2．
【答案】任务1：；任务2：元
【解析】
【分析】本题考查了列二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找出题目中的相等关系，并根据等量关系列出方程组．
任务一：设这两个月报名人数的月平均增长率为，列方程，解方程即可求解；
任务二：设每人的团费下调元，根据题意列方程，求解即可
【详解】解：任务1：设这两个月报名人数的月平均增长率为，
由题意，得．
解，得，（不符合题意，舍去）．
所以，．
答：这两个月报名人数的月平均增长率为20%．
任务2：设每人的团费下调元，
由题意，得．
解，得，．
当时，，（不符合题意，舍去）
当时，，
答：下调后每人的团费为800元．
22. 夏天到了，姗姗的妈妈买了一个防蚊罩以保护饭菜（如图1），将罩子开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形．姗姗测得罩子的直径为40厘米，罩子内壁的最大高度为20厘米，她以罩子左边缘点为原点、所在的水平线为x轴建立平面直角坐标系（如图2）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）某天，姗姗将一盘菜沿水平线（圆形盘子直径与重合）放置在罩子下，盘子左侧边缘离O点的水平距离为4厘米，她想在盘子右侧紧挨盘子沿水平线再放置高度为6厘米的一碗稀饭（碗的俯视图也是圆形，其直径与重合），已知盘子和碗的直径分别为20厘米、12厘米，要使罩子紧贴水平桌面，请通过计算说明：她这样放，罩子能否接触到碗？
【答案】（1）
（2）她这样放，罩子不会接触到碗
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）求出当时，y的值，再与碗的高度进行比较即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵罩子的直径为40厘米，罩子内壁的最大高度为20厘米，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
∵抛物线经过原点O，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∵，
∴她这样放，罩子不会接触到碗．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
23. 已知：中，，，正方形的顶点在上、顶点、在上．
（1）如图1，若点落在上时，正方形的边长是多少？
（2）如图2，
①当时，______；
②当时，______．
（3）如图3，若、、分别是上任意三点，、、、、、在边上，正方形、正方形、正方形的顶点、、共线吗？为什么？
【答案】（1）
（2）①4，②
（3）三点共线，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点A做于点H，利用正方形的性质，对称性，正切函数解答即可．
（2）①根据前面的证明，得，当时，
得到，解答即可；
②当时，，解答即可．
（3）连接，连接 令，利用正切函数知识，证明等角，解答即可．
【小问1详解】
解：如图（1），过点A做于点H，
，

四边形DEFG是正方形
，．


由对称可知：



所以正方形DEFG的边长是．
【小问2详解】
①解：根据前面的证明，得，
当时，得到，
故答案为：4；
②当时，，
故答案为：．
【小问3详解】
解：、、三点共线，理由如下：
连接，连接 令
由（1）知
是正方形
，
；
同理可得：，
，
、共线，
同理可得：、共线；
、、三点共线．
红薯种植户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
收入（万元）
去年
2.0
1.0
10
1.5
2.5
2.0
1.5
2.0
2.5
2.0
今年
2.5
1.5
1.5
2.0
3.0
2.5
2.0
3.0
3.5
2.0
平均数
中位数
众数
不低于2.5万元的百分比
收入（万元）
去年
1.8
m
2.0
今年
2.35
2.25
n
背景
随着“跟着悟空游山西”主题线路的发布，山西成为近期热度最高的旅游目的地之一．某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“山西三日游”旅行的定价和报名人数进行调研．
素材1
活动推出后，月份报名参加“山西三日游”的人数为人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计月份的报名人数将达到人．
素材2
该旅行社“山西三日游”活动的初步方案为：人起组团，每人的团费为元．经调查发现，若每人的团费每降低元，平均每个团的报名人数会增加人，但每人的团费不低于元．
问题解决
任务1
求从月份到月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率．
任务2
若该旅行社要使平均每个团的总团费为元，求下调后每人的团费．