高中数学北师大版 (2019)必修 第二册垂直关系优秀学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册垂直关系优秀学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
1．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；
②m∥α；
③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中真命题的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面α，β，且α∩β＝b，则“a⊥b”是“a⊥α”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则下列结论正确的是（ ）
A．平面PAB与平面PBC垂直
B．△PDC为钝角三角形
C．平面PBC与平面PDC垂直
D．BD⊥PC
（多选）4．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下判断，其中正确的有（ ）
A．AD⊥平面A1B1CD
B．A1B∥平面ACD1
C．异面直线AD1与B1C所成角为60°
D．B1D⊥平面ACD1
5．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB＝90°，M是PB的中点．
（1）求证：BC⊥平面PAC．
（2）若PA=AC=12BC=2，求AM与平面PBC所成角的正弦值．
6．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，点E，F分别是AB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）若AB，AD，AP两两垂直且相等，证明：EF⊥平面PCD．
7．如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD，在翻折的过程中．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD．
8．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB．
9．如图示，正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点．
（1）求证：PQ⊥BQ；
（2）在线段AB上是否存在一点N，使面PCN⊥面PQB？并证明你的结论．
10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3AA1，D为AB的中点．
（1）证明：AB⊥平面CC1D．
（2）求异面直线BC1与CD所成角的余弦值．
（3）在C1D上是否存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC1？若存在，求C1EED的值；若不存出在，说明理由．
▉题型2 平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
（多选）11．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是线段AD，BC上的动点（不含端点），且MN∥AB，MN与AC交于点E．现将四边形MNCD沿直线MN折起，使平面MNCD⊥平面ABNM，则（ ）
A．AM⊥CN
B．AC与MN所成角为定值
C．∠AEC为定值
D．存在点M、N，使得直线AC与平面CDMN所成角为π3
12．已知边长为2的正方形ABCD，沿对角线BD折起，得到三棱锥A﹣BCD，当该三棱锥体积最大时，线段AC的长为 ．
13．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝AD＝2，四边形ABCD为正方形，E、M分别为AD、BC的中点．
（1）求证：EM∥平面SCD；
（2）求证：平面SAD⊥平面SCD；
（3）在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，求CNCS；若不存在，说明理由．
14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，A1A＝AC＝2，BC＝1，E是A1C1的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝∠CDA＝30°，PA⊥平面ABCD，PD＝3PE，PC＝3PF，AB＝1，PA＝2．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为a，点R是棱PC的中点，点Q是底面ABCD内任意一点，点Q到侧面PAB，PBC，PCD，PDA的距离分别为d1，d2，d3，d4．
（1）证明：平面PBC⊥平面BRD；
（2）求d1+d2+d3+d4；
（3）记PQ与侧面PAB，PBC，PCD，PDA所成的角分别为α，β，γ，δ，证明：cs2α+cs2β+cs2γ+cs2δ＞209．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝30°，∠CDA＝45°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，PA＝2AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．
18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E，F分别为棱CD，B1C1的中点，G是棱A1B1上的一点，A1G＝3GB1，H是棱AB上的一点，AH=14AB．
（1）求证：平面HGF∥平面AEC1；
（2）求证：平面CDD1C1⊥平面AEC1．
19．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，点E是棱PA的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；
21．如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BE⊥AC，垂足为E，BF⊥AD，垂足为F．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求证：AE•AC＝AF•AD．
题型1 直线与平面垂直
题型2 平面与平面垂直